数学学案：课堂导学函数的应用（Ⅱ）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、给出函数模型的问题【例1】某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）,B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2).（注：利润与投资单位:万元)（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式，并写出它们的函数关系式。(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A、B两种产品的生产，问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）?解析：(1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x)万元,由题设f(x)=k1x，g（x）=k2，由图知f（1）=,∴k1=.又g(4）=，∴k2=.从而f(x)=x(x≥0）,g(x)=（x≥0)。（2）设A产品投入x万元,则B产品投入10-x万元。设企业利润为y万元。y=f(x）+g(10-x）=+,∴0≤x≤10。令=t，则y=+t=（t）2+(0≤t≤）.当t=时,ymax=≈4,此时x=10=3.75.答：当A产品投入3。75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约4万元.温馨提示本问题一般有三类:（1）直接给出函数解析式;（2）给出函数图象，根据图象上的关键点求出解析式；(3）给出函数类型，自己设出解析式,利用待定系数法求出解析式。二、构造函数模型【例2】按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r,设本利和为y，存期为x,写出本利和y随存期x变化的函数式。如果存入本金1000元,每期利率为2。25％,试计算5期后的本利和是多少?思路分析：复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期的利息.解：已知本金为a元，1期后的本利和为y1=a+a×r=(1+r）a；2期后的本利和为y2=a（1+r）+a(1+r）r=a(1+r）2;3期后的本利和为y3=a(1+r)3;…x期后的本利和为y=a（1+r）x,将a=1000，r=2。25%,x=5代入上式得y=1000（1+2.25%）5=1000×1。02255。由计算器算得y=1117.68（元）。答：函数式为y=a（1+r）x，5期后的本利和为1117。68元。温馨提示在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题,如果原来产值的基础为N，平均增长率为p,则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式y=N（1+p)x表示。解决平均增长率的问题，要用到这个函数式.三、函数模型的综合应用【例3】如下图,河流航线AC段长40千米，工厂B位于码头C正北30千米处，原来工厂B所需原料由码头A装船沿水路到码头C后，再改陆运到工厂B,由于水运太长,运费颇高，工厂B与航运局协商在AC段上另建一码头D,并由码头D到工厂B修一条新公路，原料改为按由A到D再到B的路线运输，设｜AD｜=x千米（0≤x≤40）,每10吨货物总运费为y元，已知每10吨货物每千米运费水路为1元,公路为2元.(1)写出y关于x的函数关系式；（2)要使运费最省,码头D应建在何处?思路分析：依题意，每10吨货物总运费y为从A到D的水路运费与从D到B的陆路运费之和，因｜AD｜=x千米，水路运费为（x·1）元，陆路长度由勾股定理求得，陆路运费为（·2）元,不难建立y与x的函数关系式.解：（1)由题意|BD|=，易得每10吨货物总运费y=x+2，0≤x≤40。（2)由（1）得y-x=2。两边平方,得(y-x）2=4(2500—80x+x2）.整理得3x2—2(160—y)x+10000-y2=0。①Δ=4(160—y）2—4×3×（10000-y2）≥0。解得y≥40+30或y≤40-30（舍去）.此时，将y=40+30代入方程①，得x=40-10∈［0,40］.∴当x=40-10时，y取最小值,即当码头建在AC段上与A相距（40—10）千米时，可使运费最少。温馨提示（1）对于应用问题中所提出的问题，要认真领会、理解，要注意观察问题的结构特征，揭示内在联系，挖掘隐含条件,根据实际问题准确地得到函数关系式,进而利用有关的数学知识和函数性质实施解题。（2)对于本题要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系,寻找已知量与未知量之间的内在联系,然后将这些内在联系与数学知识联系建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程观点来解，则可使应用问题化生为熟，尽快得到解决.各个击破类题演练1某商品在近100天内，商品的单价f（t)(元)与时间t(天）的函数关系式如下：f（t）=销售量g（t）与时间t(天）的函数关系式是g（t)=（0≤t≤100,t∈Z)。求这种商品在这100天内哪一天的销售额最高。解析：依题意该商品在近100天内日销售额F（t）与时间t(天)的函数关系式为F(t）=f（t）·g(t)=（1）若0≤t≤40,t∈Z,则F(t)==，当t=12时，F(t）max=(元）.(2)若40＜t≤100，t∈Z，则F(t）=()()=（t-108)2，∵t=108>100,∴F（t）在（40,100］上递减。∴当t=41时,F(t）max=745。5.∵〉745。5，∴第12天的日销售额最高.变式提升1某服装市场今年一月、二月、三月分别销售1万件、1。2万件、1。3万件服装，为了预测以后各月的销售趋势，以这三个月的销售量为依据,用一个函数模拟销售量y与月份x之间的关系,模拟函数可以选用二次函数或y=a·bx+c(a,b,c为常数），已知四月份的实际销售量为1。37万件,试问用以上哪个函数作为模拟函数较好,求出此函数.解析：由条件知f（1）=1，f（2)=1.2，f(3）=1.3.若用二次函数，可设f（x）=ax2+bx+c，则解得a=∴f(x)=x2+x+.当x=4时,f(4)=13.。若用f（x)=a·bx+c，则解得∴f(x)=·（）x+。此时当x=4时，f(4)==13。5。又知四月份的实际销售量为1.37，由此可知选用f(x）=·()x+，∴用y=a·bx+c作模拟函数较好。类题演练2某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题：（1)写出该城市人口总数x(万人)与年份x(年）的函数关系式；（2）计算10年后该城市人口总数；（精确到0.1万人)(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人。（精确到1年）解析：（1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×（1+1。2%）;2年后该城市人口总数为y=100×(1+1。2%)+100×（1+1.2%）×1.2％=100×(1+1.2％)2；3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%）2+100×(1+1。2％）2×1。2%=100×（1+1.2%)3;……x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2％）x。（2）10年后人口数为100×(1+1。2%）10≈112。7(万人).(3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100×（1+1。2％)x=120，x=log1。012=log1。0121。20≈15(年）。类题演练3某公司生产一种产品每年需投入固定成本0.5万元，此外每年生产100件产品还需要增加投资0。25万元.经市场调查知这种产品的年需求量为500件,售出的这种产品数量为t（百件）时，销售所得收入约为5t（万元）(t≤5).（1)若该公司这种产品的年产量为x(百件），设该公司生产并销售这种产品所得的利润为当年产量x的函数f（x),求f（x);(2)当该公司的年产量为多大时,当年所得的利润最大？解析：产品生产件数与售出件数之间的关系,有两种情况，若生产量不超500件,则能全卖出,若生产超过500件，则只能售出500件,所以要应用分段函数求解。（1)由题意知：当0＜x≤5时，产品全部售出,当x>5时，产品只能售出5（百件）。∴f(x）=即f(x）=（2)当0＜x≤5时,f（x）=x2+4.75x-0。5，∴当x=4。75时，f（x)max=10。78125（万元)。而当x〉5时，f（x)=12—0。25x<12—0.25×5=10。75（万元）。∴当年产量为475件时，利润最大.变式提升3学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌.已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7，问30名工人应当如何分组（一组制课桌,另一组制椅子），能使完成全部任务最快？解析：设x名工人制课桌，(30-x)名工人制椅子,一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子,所以制作100张课桌所需时间为