数学学案：课堂导学函数的零点

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、考查函数零点的概念【例1】求下列函数的零点.（1)f(x）=kx+b(k≠0）；(2）f(x)=2x2-5x+2;(3）f（x）=x3+2x—3.思路分析：求函数的零点即是求f(x）=0的根,分解因式即可.解：（1）f（x）=k（x+）,∴零点为.（2)f（x）=(x—2）（2x-1)，∴零点为2、.(3）f(x）=x3—1+2x-2=(x-1）（x2+x+1)+2(x—1)=（x-1)（x2+x+3)，∵x2+x+3=（x+)2+>0恒成立，∴f（x)零点为1。二、利用零点的性质求参数【例2】函数y=x2+2px+1的零点一个大于1，一个小于1，求p的取值范围.思路分析：二次函数的零点即函数图象与x轴的交点，因此借助二次函数图象，利用数形结合法来研究.解法一:记f（x）=x2+2px+1，则函数f（x）的图象开口向上,当f(x)的零点一个大于1,一个小于1时，即f(x）与x轴的交点一个在（1,0）的左方,另一个在（1,0)的右方,∴必有f（1)<0,即12+2p+1〈0.∴p〈—1。∴p的取值为（-∞,—1)。解法二：设y=x2+2px+1的零点为x1、x2，则得p〈-1。三、应用函数零点【例3】求证：方程5x2—7x—1=0的根一个在区间(—1,0)内，另一个在区间(1,2）内。思路分析:证明方程5x2-7x-1=0的两个根分别位于(-1，0）和（1,2)内，即证在(—1，0）和(1,2）上分别有一个零点.证明：设f（x）=5x2-7x—1=0，则f（-1)=5+7-1=11,f（0)=—1，f（1)=5—7—1=-3，f(2)=20—14—1=5。由于f(—1）·f(0)=-11<0，f(1）·f(2）=—15<0,且f（x）=5x2—7x-1的图象在R上是连续不断的,∴f(x)的图象在（-1,0)和（1,2）上分别有交点，即方程5x2—7x-1=0的根一个在（—1，0）内,另一个在（1，2）内。温馨提示判断函数f(x）是否在（x1，x2）上存在零点，除验算f（x1）·f(x2)<0是否成立外,还需考查函数的图象在(x1,x2)上是否连续不断。若判断根的个数问题，还需结合函数的单调性进行。各个击破类题演练1求下列函数的零点.(1)f(x）=x3+1；(2)f（x）=.解析：（1)f（x)=(x+1)(x2-x+1）,∴f（x）零点为—1。(2）f(x）=,令=0，得x=—1.∴f(x)零点为—1.变式提升1若f(x）=ax-b(b≠0）有一个零点3,则函数g(x）=bx2+3ax的零点是_______.解析：∵f（x)=ax—b的零点是3,∴f(3）=0，即3a-b=0,也就是b=3a。∴g（x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx（x+1）.∴g（x)零点为-1，0。答案:-1，0类题演练2已知函数f(x)=x2+（a2-1）x+(a—2）的一个零点小于1,另一个零点在1与2之间。求实数a的取值范围。解析：函数的大致图象如图,则即∴0〈a〈1或—2<a〈—。变式提升2m为何实数时，函数f（x）=mx2-（1—m）x+m有零点？解析：若m=0,函数为f(x)=—x，∴有零点x=0。当m≠0时，由已知，Δ=(1—m)2—4m2∴3m2+2m∴—1≤m≤且m≠0。综上，当m∈［—1,]时，函数有零点.类题演练3若函数y=f(x）在区间（-2,2）上的图象是连续不断的，且方程f（x）=0在（—2，2)上仅有一个实根,则f（—1)·f(1)的值()A。大于0B.小于0解析:由于函数f(x)在（—2，2)上的图象是连续的,且f（x)=0在(-2,2）上仅有一个实根，则有f(2)·f(-2）〈0。若f（1）·f（-1)〈0，则f(x）在(—1,1）上必有零点,即方程f(x）=0在(-1,1）上必有根;反之，由f（2)·f（-2)<0，却不一定有f(1）·f(—1）<0,也可能有f（1)·f(—1）〉0，如图所示。∴选D。答案：D变式提升3若函数f（x)=ax2—x—1仅有一个零点，求实数a的取值范围.解析：(1）a=0，则f（x）=-x-1为一次函数,易知函