数学学案：课堂导学第一讲第三节相似三角形的判定

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、相似三角形的判定【例1】在△ABC中,EF∥BC,DF∥AB，求证:（1)△AEF∽△FDC;（2）=1.图1(1)证法一：∵EF∥BC，∴∠AFE=∠C.又∵DF∥AB,∴∠A=∠DFC.∴△AEF∽△FDC。证法二:∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC。又∵DF∥AB，∴△ABC∽△FDC。∴△AEF∽△FDC。(2)思路分析：证明=1可以考虑=（其中y+z=x），进行证明=，=.证明:∵DF∥AB，∴=.又∵EF∥BC，∴=.∴=+==1。二、利用本节预备定理证明平行【例2】如图1-3-4,线段EF平行于ABCD的一边AD,BE与CF交于一点G,AE与DF交于点H。求证：GH∥AB。图1-3-4证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC。∵EF∥AD，∴△HEF∽△HAD。∴=.∵EF∥BC，∴△GEF∽△GBC.∴=.∴=.∴,即.∴GH∥AB。三、利用相似三角形探究【例3】如图1—3-6，E为△ABC的边AC上一点,=，连结BE。图1—3—6(1）若G为BE的中点,连结AG并延长交BC于D,求BD∶DC的值.(2）若BG∶GE=2∶1,则BD∶DC的值将如何变化?（3)若的值由改变为,G仍为BE中点，求BD∶DC.解析：（1）过E作EH∥BC交AD于H,则在△BDG和△EHG中，∴△BDG≌△EHG。∴BD=EH.又∵EH∥CD,∴==。∴=.（2)如图1-3-7，过E作EH∥BC交AD于H，则△BDG∽△EHG。图1—3—7∴==。∴BD=2EH.又∵EH∥DC,∴==。∴==。（3）原理同(1）。===。各个击破类题演练1如图1-3—2，梯形ABCD中，D∥BC（AD＜BC）,E为AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于G，交BD于F。求证:EF·CG=EG图1证明:∵AE∥BC，∴△AEG∽△BCG。∴。又∵ED∥BC,∴△DEF∽△BCF.∴=。∵E为AD的中点，∴=。∴=.∴EF・CG=EG・CF。温馨提示要切实注意三角形相似的顶点对应关系,此题还有其他证法。变式提升1如图1-3-3,ABCD中,AD=5,AB=10，AE=4，且AF⊥BC,求CE为何值时,△ADE∽△ABF?图1—3-3解析：若△ABF∽△ADE，而△ABF为直角三角形，故△AED也为直角三角形。∴ED==3。又∵BCD中，AB=CD=10，∴CE=CD—DE=10—3=7.类题演练2如图1—3-5，已知DE∥AB，EF∥BC，求证：DF∥AC.图1—3-5证明:∵DE∥AB,∴△ODE∽△OAB。∴=.又∵EF∥BC，∴△OEF∽△OBC。∴=。∴=.∴DF∥AC。类题演练3如图1—3—8,P为ABCD对角线BD上的任意点,过P任作直线EF,交BC的延长线于F,分别交DC、BA于G、H,交DA的延长线于E.(1）求证：PH・PE=PF・PG.（2)当P位于BD上什么位置时,PE=PF且PH=PG？图1-3-8（1）证明：∵DG∥BH，∴△PDG∽△PBH.∴=.又∵DE∥BF,∴△PED∽△PFB。∴=。∴=。∴PH・PE=PF・PG。（2）解析:显然，当P位于BD的中点时,(1)中两组三角形由