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学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精课堂导学三点剖析一、圆周角定理、圆心角定理及其推论【例1】在⊙O中,∠A=α,则∠OBC等于()图2-1-1A.2αB。90°-αC.180°-2αD.90°+α解法一:连结OC,则∠BOC=2∠A=2α,在△OBC中,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB。∴∠OBC=(180°-∠BOC)=(180°-2α)=90°-α。解法二:延长BO交⊙O于点D,连结CD.∵∠BCD=90°,∠D=∠A=α,在Rt△BCD中,∠OBC=90°—∠D=90°-α。解法三:延长BO交⊙O于点D,∵∠BOC=2∠A=2α,∴∠COD=180°—2α。∴∠OBC=∠COD=(180°—2α)=90°—α.解法四:延长BO到D,连结CD,则的度数为180°.∵∠A=α,∴的度数为2α.∴的度数等于减去的度数,即的度数为180°—2α.又∵∠OBC的度数等于度数的一半,∴∠OBC=(180°-2α)=90°—α.答案:B温馨提示圆周角、圆心角、弧之间以统一的单位:度为桥梁,相互转化,融会贯通。二、利用圆周角、圆心角证明和计算【例2】已知△ABC中,AB=AC,E为AB上一点,且AE=AB,以AB为直径作半圆交BC于D,连结AD、CE交于F点.求证:AF=FD。图2—1—4证明:作DH∥CE,交AB于H,∵AB为直径,∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴CD=BD。∴BH=EH。又∵AE=AB,∴AE=EH.又∵EF∥DH,∴AF=FD。温馨提示本题在证明中利用了本节推论2,在圆中与直径有关的题目,经常利用该结论,转化为直角三角形或等腰三角形去解决.【例3】如图2—1—6,在△ABC中,AD⊥BC于D,DF⊥AC于F,DE⊥AB于E.求证:(1)AP·DP=EP·FP;(2)△AEF∽△ACB。图2-1—6思路分析:欲证AP·DP=EP·FP,只需证△APE∽△FPD,只需证∠1=∠2。证明:(1)∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴E、F在以AD为直径的圆上.∵=,∴∠1=∠2.∴△APE∽△FPD。∴.∴AP·DP=EP·FP。(2)∵∠C+∠CAD=90°,∠2+∠CAD=90°,∴∠2=∠C.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠C.∴△AEF∽△ACB.各个击破类题演练1如图2-1-2,在⊙O中,∠ABO=55°,则∠ACB等于()图2—1—2A.35°B。45°C.50°D。60°解析:连结OA,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∴∠AOB=180°-∠ABO—∠BAO=70°。又∵∠ACB=<0,∴∠ACB=×70°=35°.答案:A变式提升1如图2—1-3,=,在上任取一点P,PB、PC与AD的交点分别为E、F,则图中相似三角形的组数是()图2-1—3A。2B。3C.4解:∵,∴∠B=∠PDE。又∠AEB=∠PED,∴△ABE∽△PED.同理,△APF∽△CDF.∵=,∴∠APB=∠CPD。∵,∴∠PAD=∠PCD.∴△APE∽△CPD。同理,△ABP∽△FDP.答案:C类题演练2如图2—1-5,DE分别为⊙O中与的中点,连结DE分别交弦AB、AC于M、N,求证:AM·AN=DM·EN.图2-1-5思路分析:欲证AM·AN=DM·EN,只需证.证明:连结AD、AE,△ADM∽△EANAM·AN=DM·EN.温馨提示本题利用推论1,该结论在圆中经常用来证明角相等。类题演练3如图2—1-7,过A点的圆截△ABC的AB边于E,截AC边于F,截BC边于P、Q,若EF∥BC,AQ⊥BC,求证
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