数学学案：课堂导学第二讲第一节圆周角定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、圆周角定理、圆心角定理及其推论【例1】在⊙O中,∠A=α,则∠OBC等于(）图2-1-1A.2αB。90°-αC.180°-2αD.90°+α解法一：连结OC,则∠BOC=2∠A=2α,在△OBC中,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB。∴∠OBC=（180°-∠BOC）=（180°-2α)=90°-α。解法二:延长BO交⊙O于点D,连结CD.∵∠BCD=90°,∠D=∠A=α，在Rt△BCD中，∠OBC=90°—∠D=90°-α。解法三:延长BO交⊙O于点D,∵∠BOC=2∠A=2α，∴∠COD=180°—2α。∴∠OBC=∠COD=（180°—2α)=90°—α.解法四：延长BO到D，连结CD,则的度数为180°.∵∠A=α，∴的度数为2α.∴的度数等于减去的度数,即的度数为180°—2α.又∵∠OBC的度数等于度数的一半，∴∠OBC=（180°-2α）=90°—α.答案：B温馨提示圆周角、圆心角、弧之间以统一的单位:度为桥梁,相互转化，融会贯通。二、利用圆周角、圆心角证明和计算【例2】已知△ABC中，AB=AC，E为AB上一点，且AE=AB,以AB为直径作半圆交BC于D,连结AD、CE交于F点.求证：AF=FD。图2—1—4证明：作DH∥CE，交AB于H，∵AB为直径,∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴CD=BD。∴BH=EH。又∵AE=AB，∴AE=EH.又∵EF∥DH,∴AF=FD。温馨提示本题在证明中利用了本节推论2,在圆中与直径有关的题目，经常利用该结论，转化为直角三角形或等腰三角形去解决.【例3】如图2—1—6，在△ABC中,AD⊥BC于D,DF⊥AC于F,DE⊥AB于E.求证:（1)AP·DP=EP·FP；（2）△AEF∽△ACB。图2-1—6思路分析：欲证AP·DP=EP·FP,只需证△APE∽△FPD，只需证∠1=∠2。证明:(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴E、F在以AD为直径的圆上.∵=，∴∠1=∠2.∴△APE∽△FPD。∴.∴AP·DP=EP·FP。(2）∵∠C+∠CAD=90°,∠2+∠CAD=90°，∴∠2=∠C.又∵∠1=∠2，∴∠1=∠C.∴△AEF∽△ACB.各个击破类题演练1如图2-1-2,在⊙O中,∠ABO=55°，则∠ACB等于（)图2—1—2A.35°B。45°C.50°D。60°解析:连结OA,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∴∠AOB=180°-∠ABO—∠BAO=70°。又∵∠ACB=＜0,∴∠ACB=×70°=35°.答案：A变式提升1如图2—1-3,=，在上任取一点P，PB、PC与AD的交点分别为E、F，则图中相似三角形的组数是（)图2-1—3A。2B。3C.4解：∵,∴∠B=∠PDE。又∠AEB=∠PED，∴△ABE∽△PED.同理，△APF∽△CDF.∵=,∴∠APB=∠CPD。∵，∴∠PAD=∠PCD.∴△APE∽△CPD。同理，△ABP∽△FDP.答案:C类题演练2如图2—1-5，DE分别为⊙O中与的中点，连结DE分别交弦AB、AC于M、N，求证:AM·AN=DM·EN.图2-1-5思路分析:欲证AM·AN=DM·EN,只需证.证明:连结AD、AE，△ADM∽△EANAM·AN=DM·EN.温馨提示本题利用推论1，该结论在圆中经常用来证明角相等。类题演练3如图2—1-7，过A点的圆截△ABC的AB边于E,截AC边于F,截BC边于P、Q,若EF∥BC,AQ⊥BC,求证