数学学案：课堂导学比较法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一，利用作差法比较两个数的大小【例1】设x，y，z均为正数,且xy+yz+zx=1,求证：x+y+z≥.思路分析：要证x+y+z≥，只需证（x+y+z)2≥3,然后再用作差比较法。解答：∵(x+y+z)2-3=(x+y+z）2-3（xy+yz+zx）=x2+y2+z2—xy—yz—zx=［（x-y)2+(y-z)2+（z-x）2]≥0,∴（x+y+z）2≥3。又x>0,y>0,z>0,x+y+z〉0,∴x+y+z≥.温馨提示利用作差比较法证明不等式的一般步骤是：（1)作差;(2)变形：可以利用分解因式，配方，判别式等手段;(3)确定符号：这部分是此题的给分点,故应对确定符号的理由逐一阐述.二,利用作商法比较大小【例2】已知a〉0,b〉0，求证:aabb≥abba。思路分析：直接作差不易进行下去，考虑到不等式的两边都是指数形式，因而先对两边取对数进行化简。证明：∵=aa-bbb—a=()a—b，当a≥b〉0时，由于≥1,a—b≥0，∴()a-b≥1.当0<a〈b时,由于0<<1，a—b〈0,∴()a-b>1。∴aabb≥abba.温馨提示比商法一般步骤：(1)作商；（2）变形:一般用指数函数的性质进行变形；（3）确定与1的大小关系.三，比较法的综合应用【例3】甲，乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走;乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m≠n，问甲，乙两人谁先到达指定地点?解析：设从出发地点至指定地点的路程是s，甲,乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，依题意有m+n=s,+=t2.∴t1=,t2=。t1—t2=—=,其中s,m，n都是正数,且m≠n，于是t1-t2<0,即t1〈t2，从而知甲比乙首先到达指定地点.温馨提示在作差后，根据具体特点，需重新组项,因式分解成若干因式的乘积的形式。各个击破类题演练1设t=a+2b,s=a+b2+1,则下列t与s的大小关系中正确的是()A.t>s B。t≥s C.t〈s D.t≤s解析:s—t=（a+b2+1）-(a+2b）=(b-1)2≥0.∴s≥t.答案:D变式提升1设a,b∈R,且a+b≥1,求证:a3+b3+3ab≥1.证明：因为a3+b3+3ab—1=（a+b)3-3a2b-3ab2+3ab=（a+b-1)［(a+b）2+(a+b）+1］—3ab（a+b—1)=(a+b-1）（a2+b2-ab+a+b+1）=（a+b-1）［（a—b)2+(a+1）2+(b+1）2］≥0,故a3+b3+3ab≥1.类题演练2设a〉b>0，求证:.证明：用求商法证。∵=>1。∴原不等式成立.变式提升2求证:aabb≥（ab）（a>0,b>0)。证明:，若a〉b>0，则〉1,〉0,故（)>1；若0〈a〈b,则0〈〈1,<0，故（)>1；若a=b>0,则aabb=(ab).综述，aabb≥（ab).类题演练3已知a，b是正数，且a≠b，求证:a3+b3〉a2b+ab2.证明：（a3+b3）—(a2b+ab2）=（a3-a2b)+(b3-ab2）=a2（a—b)—b2(a-b)=（a2—b2）(a—b）=（a—b）2(a+b），∵a，b是正数,∴a+b〉0.又a≠b，∴(a—b）2〉0.∴（a-b）2（a+b)>0,即