第01讲平面向量的概念及其线性运算精讲

第01讲平面向量的概念及其线性运算(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量的概念角度1：平面向量的概念与表示角度2：模角度3：零向量与单位向量角度4：相等向量高频考点二：向量的线性运算角度1：平面向量的加法与减法角度2：平面向量的数乘高频考点三：共线向量定理的应用第四部分：高考真题感悟第一部分：知第一部分：知识点精准记忆1、向量的有关概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量表示方法：向量或；模或.（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示.特别的：非零向量的单位向量是.（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；特别的：与任一向量平行或共线.（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.2、向量的线性运算2.1向量的加法①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.2.2向量的减法①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.2.3向量的数乘向量数乘的定义:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：①②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.3、共线向量定理①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．4、常用结论4.1向量三角不等式①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）；②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）；记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立；4.2中点公式的向量形式：若为线段的中点，为平面内任意一点，则.4.3三点共线等价形式：（，为实数），若，，三点共线第二部分：课前自我评估测试第二部分：课前自我评估测试一、判断题1．（2022·全国·高一课前预习）判断下列结论是否正确.（1）若与都是单位向量，则；()（2）方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量；()（3）直角坐标平面上的轴，轴都是向量；()（4）若与是平行向量，则；()（5）若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合；()（6）海拔、温度、角度都不是向量.()【答案】

错误正确

错误

错误

正确正确【详解】（1）若与都是单位向量，而单位向量方向不一定相同，故不能得到；（2）方向为南偏西的向量与北偏东的向量是方向相反的向量，因而是共线向量；（3）轴与轴有方向但是没有长度，因而轴，轴都不是向量；（4）若与是平行向量，则与方向相同或相反，模不一定相等；而相等向量必须长度相等，方向相同，故不能得到；（5）若用有向线段表示的向量与不相等，则终点一定不相同，即点M与N不重合；（6）海拔，温度，角度都是数量，只有大小没有方向，不是向量.2．（2022·全国·高一专题练习）若与都是单位向量，则.()【答案】错误【详解】因与都是单位向量，则与长度相等，而它们的方向不确定，即与不一定相等，所以命题：“若与都是单位向量，则.”不正确.故答案为：错误3．（2022·全国·高一专题练习）如果，那么>.()【答案】错误【详解】向量不能比较大小，所以错误.4．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）若向量，则或

()【答案】错误【详解】，但是方向不确定，因此不能判断或，故错误，故答案为：错误.5．（2022·江苏·高一专题练习）方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量.()【答案】√如图所示，分别在O点的南偏西和北偏东作向量与，根据几何关系，O、A、B三点共线，所以与共线，所以说法正确﹒故答案为：√第三部分：典型例题剖析第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量的概念角度1：平面向量的概念与表示例题1．（2022·上海·复旦附中高一期中）①加速度是向量；②若且，则；③若，则直线与直线平行．上面说法中正确的有（

）个．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】由向量的定义知，加速度是向量，所以①正确；当，满足且，但不一定平行，所以②不正确；若，则直线与直线平行或在一条直线上，所以③不正确.故选：B.例题2．（2022·全国·高一课时练习）给出如下命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量与平行，则与的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．综上，正确的命题是①③．故选：B．例题3．（2022·全国·高一课时练习）如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为，写出图中给出的长度为的所有向量中，（1）与向量相等的向量；（2）与向量共线的向量；（3）与向量平行的向量.【答案】（1），；（2），，，，；（3），，，，.【详解】（1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，；（2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，；（3）与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，.角度2：模例题1．（2022·浙江省定海第一中学高一期中）已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【详解】因为，均为单位向量，它们的夹角为，所以，所以.故选：C例题2．（2022·全国·高一专题练习）在边长为的正三角形中，的值为A． B． C． D．【答案】D【详解】以、为邻边作菱形，则，由图形可知，的长度等于等边的边上的高的倍，即，因此，，故选：D.例题3．（2022·上海市复旦中学高一期中）是的_____________条件.【答案】充分不必要【详解】，充分性成立；或，必要性不成立，是的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.角度3：零向量与单位向量例题1．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期中）下列关于零向量的说法正确的是（

）A．零向量没有大小 B．零向量没有方向C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线【答案】D【详解】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；零向量与任意向量共线，D正确．故选：D.例题2．（2022·广东东莞·高一期中）下列说法错误的是（

）A．若，则 B．零向量与任一向量平行C．零向量是没有方向的 D．若两个相等的向量起点相同，则终点必相同【答案】C【详解】对A，零向量的模长为0，故A正确；对B，零向量与任一向量平行，故B正确；对C，零向量的方向是任意的，故C错误；对D，相等向量若起点相同则终点相同，D正确；故选：C例题3．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知向量，则与向量垂直的单位向量的坐标为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【详解】易知是与垂直的向量，，所以与平行的单位向量为或，故选：D．角度4：相等向量例题1．（2022·山西·大同市第三中学校高一期中）在菱形中，与相等的向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：因为为菱形，所以，，故A、C错误；对于B：，故B正确；对于D：，故D错误；故选：B例题2．（多选）（2022·山东菏泽·高一期中）设点是平行四边形的对角线的交点，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．与共线【答案】AD【详解】因点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则O是AC中点，即有，A正确；平行四边形对角线长不一定相等，则与不一定相等，B不正确；点A，O，B不共线，C不正确；平行四边形ABCD中，，即有与共线，D正确.故选：AD例题3．（2022·全国·高一专题练习）如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：(1)与相等的向量有哪些？(2)的相反向量有哪些？(3)与的模相等的向量有哪些？【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)由相等向量定义知：与相等的向量有.(2)由相反向量定义知：的相反向量有.(3)由向量模长定义知：与的模相等的向量有.题型归类练1．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）下列命题正确的是（

）A．向量与是相等向量B．共线的单位向量是相等向量C．零向量与任一向量共线D．两平行向量所在直线平行【答案】C【详解】对于A，，故A错误；对于B，两个单位向量虽然共线，但方向可能相反，故B错误；对于C，因为零向量没有方向，所以与任何向量都是共线的，故C正确；对于D，两个平行向量所在的直线可能重合，故D错误；故选：C.2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（

）A．且 B． C． D．【答案】D【详解】对于A，当且时，或，A错误；对于B，当时，，B错误；对于C，当时，或，C错误；对于D，当时，，D正确．故选：D．3．（多选）（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一期中）下列命题中，不正确的是（

）A．若为单位向量，且，则B．若，，则C．D．若平面内有四点，则必有【答案】ABC【详解】对于A，，与同向或反向，或，A错误；对于B，若，则，，但与可能不共线，B错误；对于C，，C错误；对于D，，，D正确.故选：ABC.4．（2022·上海交大附中高一阶段练习）下列数学符号可以表示单位向量的是______（选项之间不需要分隔符号）①

②

③

④【答案】②④【详解】对于①，因为，所以不表示单位向量，对于②，因为，所以表示单位向量，对于③，因为表示两个单位向量的数量积，结果是一个数，所以不表示单位向量，对于④，因为表示与同向的单位向量，所以④符合题意，故答案为：②④5．（2022·全国·高一专题练习）在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图．(1)写出与向量共线的向量；(2)求证：．【答案】(1),(2)证明见解析【解析】.(1)据题意，与向量共线的向量为：,；(2)证明：是平行四边形，且，分别为边，的中点，，且，四边形是平行四边形，，且，．高频考点二：向量的线性运算角度1：平面向量的加法与减法例题1．（2022·广东·华南师大附中高一期中）下列向量运算结果错误的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D正确；故选：A例题2．（2022·广东·深圳中学高一期中）如图，在中，点是线段上靠近的三等分点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】在中，点M是线段上靠近B的三等分点，则，所以.故选：B例题3．（2022·河北·沧县中学高一期中）化简：（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：，＝，故选：B．例题4．（2022·广东·福田外国语高中高一期中）如图，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题图，.故选：A例题5．（2022·北京通州·高一期中）如图，在平行四边形中，与交于点，，，则下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A选项，，A错；对于B选项，，B错；对于C选项，，C对；对于D选项，，D错.故选：C.例题6．（2022·河南安阳·高一阶段练习）在等边中，为重心，是的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】DO为的重心，延长AO交BC于E，如图，E为BC中点，则有，而D是的中点，所以.故选：D角度2：平面向量的数乘例题1．（2022·北京通州·模拟预测）设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若为非零向量，且存在负数，使得，则共线且方向相反，，充分性成立；当时，的夹角可能为钝角，此时不存在复数，使得，必要性不成立；“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件.故选：A.例题2．（2022·重庆一中高一期中）在中，为的中点，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，所以，.故选：D例题3．（2022·江苏淮安·高一期中）设为基底，已知向量，，，若，，三点共线，则的值是（

）A．2 B．4 C．2 D．3【答案】B【详解】因，，则，因A，B，D三点共线，则，即，，而，则有，即，又与不共线，于是得，解得，所以k的值是.故选：B题型归类练1．（2022·江苏常州·高一期中）如图平面四边形ABCD中，，则可表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】∵，∴，∵，又，∴，即.故选：D.2．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，，，，A错误，B错误；，C错误；，D正确.故选：D.3．（2022·全国·高一专题练习）设向量，，求．【答案】##【详解】故答案为：4．（2022·四川成都·高一期中（文））如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，F为线段AC上的一点，且，记．(1)用向量表示﹔(2)用向量表示．【答案】(1)(2)(1)解：由题可知：，，，所以．(2)解：．5．（2022·江西·芦溪中学高一阶段练习）如图所示，已知，，，，，，试用表示下列各式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)(2)(3)高频考点三：共线向量定理的应用例题1．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知向量，，则“存在实数，使得”是“，共线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由存在实数，使得，可得共线；但当时，共线，此时不一定存在实数，使得．故选：A．例题2．（2022·全国·高一专题练习）设为基底向量，已知向量，，，若，，三点共线，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】易知，又A，B，D三点共线，所以存在实数，使得，即，则，所以的值是.故选：A例题3．（2022·全国·模拟预测）在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为（

）A．9 B．8 C．4 D．2【答案】A【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），所以，故，当且仅当，即时等号成立，故选：A例题4．（2022·广东·广州市海珠中学高一期中）如图．在中，已知，，与交于点，，，则_________（用，表示）．【答案】【详解】∵M、E、C三点共线，则B、E、N三点共线，则则可得解得∴故答案为：．例题5．（2022·浙江·宁波咸祥中学高一期中）设两个非零向量与不共线，（1）若，，，求证：，，三点共线；（2）试确定实数，使和共线．【答案】（1）证明见解析；（2）.（1）证明：，，，，共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．（2）和共线，∴存在实数λ，使，即，.，是两个不共线的非零向量，，.题型归类练1．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期中）已知，是两个不共线向量与共线，则t的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为与共线，所以，所以，解得，故选：A．2．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期中（理））已知不共线的两个向量与共线，则实数t等于（

）A．2 B． C． D．【答案】C【详解】因为与共线，所以有且仅有唯一的实数，满足，则，解得.故选：C.3．（2022·湖南师大附中高一期中）如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设，，则（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】B【详解】由题意得，因为M、O、N三点共线，所以，解得，故选B．4．（2022·江苏宿迁·高一期中）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】因