36利用导数研究不等式恒(能)成立问题（精讲）-2023年高考数学（新高考地区）（原卷版）

3.6利用导数研究不等式恒(能)成立问题【题型解读】【知识储备】1.恒成立与能成立问题的解决策略大致分四类：=1\*GB3①构造函数，分类讨论；②部分分离，化为切线；③完全分离，函数最值；=4\*GB3④换元分离，简化运算；在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点．【题型精讲】【题型一端点效应处理不等式求参】例1（2022·山东济南历城二中高三月考）已知函数f(x)＝ex－eq\f(1,2)x2－ax－1，g(x)＝cosx＋eq\f(1,2)x2－1．(1)当a＝1时，求证：当x≥0时，f(x)≥0；(2)若f(x)＋g(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．【题型精练】1．（2022·天津·崇化中学期末）设函数f(x)＝(1－x2)ex．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求实数a的取值范围．2.（2022·山东济南高三期末）设函数f(x)＝(1＋x－x2)ex(e＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1＋2x2恒成立，求实数a的取值范围．【题型二分离参数法处理不等式求参】方法技巧分离参数法解决恒(能)成立问题的策略(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.例2（2022·山东青岛高三期末）已知f(x)＝xlnx，g(x)＝x3＋ax2－x＋2．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．【题型精练】1．（2022·天津市南开中学月考）已知函数f(x)＝ex＋ax2－x．(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥eq\f(1,2)x3＋1，求a的取值范围．2.（2022·安徽省江淮名校期末）已知函数f(x)＝ex－xlnx，g(x)＝ex－tx2＋x，t∈R，其中e为自然对数的底数．(1)求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若g(x)≥f(x)对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，求t的取值范围．【题型三最值法处理不等式求参】方法技巧最值法处理不等式求参根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．例3（2022·河南高三期末）已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．【题型精练】1．（2022·广东·高三期末）已知a∈R，设函数f(x)＝aln(x＋a)＋lnx．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≤＋lneq\f(x,a)－1恒成立，求实数a的取值范围．【题型四同构法处理不等式求参】例4（2022·黑龙江工农·鹤岗一中高三期末）已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna．(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．【题型精练】1.（2022·全国高三课时练习）已知函数f(x)＝eax－x．(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线的斜率为1，求f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)≥eaxlnx－ax2对x∈(0，e]恒成立，求a的取值范围．【题型五双变量不等式求参】例5（2022·辽宁省实验中学分校高三期末）已知函数f(x)＝eq\f(a＋1,x)＋alnx，其中参数a<0．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)＝2x2f′(x)－xf(x)－3a(a<0)，存在实数x1，x2∈[1，e2]，使得不等式2g(x1)<g(x2)成立，求a的取值范围．【题型精练】1.（2022·江苏·昆山柏庐高级中学期末）设f(x)＝eq\f(a,x)＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3．(1)如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．2.（2022·山东·历城二中期末）设函数f(x)＝eq\f(e(x2－ax＋a),ex)(a∈R)．(1)若曲