专题02超几何分布(典型例题题型归类练)

专题02超几何分布(典型例题+题型归类练)目录一、必备秘籍二、典型例题类型一：超几何分布的概率问题类型二：利用超几何分布求分布列、期望和方差三、题型归类练一、必备秘籍1、超几何分布一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品．从件产品中随机抽取件(不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，其中，，，，，，，则称随机变量服从超几何分布．2、公式中个字母的含义—总体中的个体总数—总体中的特殊个体总数(如次品总数)—样本容量—样本中的特殊个体数(如次品数)注意：(1)“由较明显的两部分组成”:如“男生、女生”，“正品、次品”；(2)不放回抽样；(3)注意分布列的表达式中，各个字母的含义及随机变量的取值范围.二、典型例题类型一：超几何分布的概率问题例题1．（2022·全国·高三专题练习）为发展业务，某调研组对，两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为.(1)求的值；(2)若一次抽取4个城市，①假设抽取出的小城市的个数为，求的可能值及相应的概率；【答案】(1)；(2)①X的可能取值为0，1，2，3，4，相应概率见解析；②.【详解】（1）从个城市中一次抽取2个城市，有种情况，其中全是小城市的有种情况，则全是小城市的概率为，解得（负值舍去）.（2）①由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，4，相应的概率分别记为，，，，，.感悟升华（核心秘籍）1、判断一个实验是否服从超几何分布的标准：试验对象由较明显的两部分组成；有时候有明显的标志：不放回.2、注意再求分布列时不漏，不重复.例题2．（2022·全国·高三专题练习）幸福农场生产的某批次20件产品中含有件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有件．(1)若，求取出的产品中次品不超过1件的概率；(2)记，则当为何值时，取得最大值．【答案】(1)(2)（1）记“取出的产品中次品不超过1件”为事件A，则.因为，，所以.则取出的产品中次品不超过1件的概率是.（2）因为，则.若，解得∵则故当时，；当时，；所以当时，取得最大值.感悟升华（核心秘籍）1、由题意可知随机变量X服从超几何分布，2、，利用作商法判断的大小变化．当递增；当递减类型二：利用超几何分布求分布列、期望和方差例题1．（2022·广东·高三阶段练习）千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化、总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”，“日落云里走，雨在半夜后”·····.某同学为了验证“天上钩钩云，地上雨淋淋”的现象，在气象局获取了200天的天气情况数据，得到如下2x2列联表：天上钩钩云地上雨淋淋总计下雨未下雨出现60100未出现70总计附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(1)根据所给数据，将上述列联表补充完整，并根据小概率值=0.01的独立性检验，分析出现“天上钩钩云”与次日的“地上雨淋淋”是否有关.(2)按分层随机抽样的方式在该地区统计的“地上雨淋淋”中下雨的天数中随机抽取9天，再从这9天中任意选取3天，记其中未出现“天上钩钩云”的天数为，求的分布列与期望.【答案】(1)表格见解析，认为该地区出现“天上钩钩云”与次日的“地上雨淋淋”有关；(2)分布列见解析，.【详解】（1）零假设为：出现“天上钩钩云”与次日的“地上雨淋淋”无关.根据所给数据，完成下面的列联表（表中数据单位：天），具体如下：天上钩钩云地上雨淋淋总计下雨未下雨出现6040100未出现3070100总计90110200所以：，容易判断出：，所以根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，即认为该地区出现“天上钩钩云”与次日的“地上雨淋淋”有关.（2）依题意，在该地区统计的“地上雨淋淋”中下雨的天数中随机抽取9天，出现“天上钩钩云”的天数天，未出现的天数有天，从中任意选取3天，的取值可能为0，1，2，3，则有：，，，．则的分布列为0123故.例题2．（2022·广东·福田外国语高中高三阶段练习）为了了解一个智力游戏是否与性别有关，从某地区抽取男女游戏玩家各名，其中游戏水平分为高级和非高级两种．(1)根据题意完善下列列联表，依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为智力游戏水平高低与性别有关联高级非高级合计女男合计(2)按照性别用分层抽样的方法从这些人中抽取人，从这人中抽取人作为游戏参赛选手；(ⅰ)若甲入选了人名单，求甲成为参赛选手的概率；(ⅱ)设抽取的名选手中女生的人数为，求的分布列和期望．附：，．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)表格见解析，可以认为H0成立，认为“智力游戏水平高低与性别无关”(2)(ⅰ)(ⅱ)分布列见解析，（1）由题意得到如下的列联表：高级非高级合计女男合计零假设：H0:智力游戏水平高低与性别无关.由于．故依据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，认为“智力游戏水平高低与性别无关”（2）(ⅰ)甲成为参赛选手的概率

(ⅱ)

根据分层抽样的特征人中男女各人，女生的人数的所有取值为，，，，；

；

；随机变量的分布列：．感悟升华（核心秘籍）1、判断一个实验是否服从超几何分布的标准：试验对象由较明显的两部分组成；有时候有明显的标志：不放回.2、判断模型属于超几何分布的概率模型后，可以根据超几何概率模型请求分布列数学期望和方差.三、题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）北京某高校有20名志愿者报名参加2022年北京冬奥会服务工作，其中有2名老师，18名学生.若从中随机抽取名志愿者，用X表示所抽取的n名志愿者中老师的人数.(1)若，求X的分布列与数学期望；(2)当n为何值时，的概率取得最大值?最大值是多少?【答案】(1)分布列见解析，(2)时，取得最大值（1）当时，X的所有可能取值为0，1，2，则，，，所以X的分布列为X012P.（2）的概率为，，且.因为，当且仅当，即时等号成立，所以当时，的概率取最大值，最大值是.2．（2022·全国·高三专题练习）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）年份2015201620172018201920202021新能源汽车销量占比(1)从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；(2)从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，（1）由汽车销量图得7年中有6年汽车总销量不小于5.5万辆，则随机选取一年，这一年该地区汽车总销量不小丁5.5万辆的概率为．（2）由图表得新能源汽车20152021年的销量如下表：年份2015201620172018201920202021新能源汽年销量0.06250.1120.1680.2750.4560.541.16新能源汽车销量超过0.5万辆的年份有2个，不超过0.5万辆的年份有5个，则随机变量X可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为所以．3．（2022·全国·高三专题练习）北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱.8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.(1)求乙闯关成功的概率；(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【答案】(1)(2)分布列见解析，，甲（1）乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A，则.（2）由题意知随机变量X所有可能取值为0，1，2，3，，，，，故X的分布列为X0123P所以.所以甲闯关成功的概率为，因为，所以甲比乙闯关成功的可能性大.4．（2022·新疆·乌市八中高三阶段练习（理））《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布，并把质量差在内的产品为优等品，质量差在内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理优等品与一等品统称为正品现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：(1)根据频率分布直方图，求样本平均数(2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）[参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，].(3)假如企业包装时要求把3件优等品球和6件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为，求的分布列以及期望值.【答案】(1)70(2)0.8186(3)分布列见解析，1（1）由频率分布直方图可知，.（2）由题意可知，样本方差，故，所以，该厂生产的产品为正品的概率：.（3）X所有可能值为0，1，2，3.，，，.所以的分布列为数学期望.5．（2022·福建·宁德市高级中学高三阶段练习）第七次全国人口普查是对中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调查.某地区通过在市民中随机抽取了300户进行询查，在选择自主填报或入户登记的户数与户主年龄段（45岁以上和45岁及以下）分布如下列联表所示：现统计得出样本中自主填报的人数占样本总数的50%.45岁以上（含45岁）的样本占样本总数的，45岁以下且入户登记的样本有120户.入户登记自主填报合计户主45岁及以上户主45岁以下120合计(1)将题中列联表补充完整：通过计算判断，有没有99%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系？(2)根据（1）中列联表的数据，在自主填报的户数中按照户主年龄段用分层抽样的方法抽取了6户.若从这6户中随机抽取3户进行进一步复核，记所抽取的3户中“户主45岁以下”的户数为，求的分布列和数学期望.附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中，.【答案】(1)表格见解析，有；(2)分布列见解析，2.（1）由样本中自主填报的人数占样本总数的50%，所以自主自主填报的人数为人，所以由表可得户主45岁及以上入户登记的人数有30人，又因为45岁以上（含45岁）的样本占样本总数的，所以45岁以上（含45岁）的人数有人，所以补充后的列联表为：入户登记自主填报合计户主45岁及以上305080户主45岁以下120100220合计150150300，所以有99%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系.（2）这6户中户主45岁以上2户，45岁及以下4户，则的可能值为1，2，3，则，，．的分布列为123P所以，的数学期望．6．（2022·广西南宁·高三阶段练习（理））广西新高考改革方案已正式公布，根据改革方案，将采用“3+2+1”的高考模式．其中，“3”为语文、数学、外语3门参加全国统一考试．选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学、生物6门．由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际情况，首先在物理和历史中选择1门，再从政治、地理、化学、生物中选择2门，形成自己的“高考选考组合”．(1)由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解高一新生选科的需求，随机选取100名高一新生进行调查，得到如下统计数据，判断是否有的把握认为“选科与性别有关”？选择物理选择历史合计男生4050女生合计30100(2)该校将从参与调查的学生中抽取2人进行访谈，设选到“选择历史”的人数为，求的分布列和数学期望．附：．0.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】(1)有的把握认为“选科与性别有关”；(2)分布列见解析，期望为.（1）将列联表补充完整得，选择物理选择历史合计男生401050女生302050合计7030100由独立性检验得所以有的把握认为“选科与性别有关”（2）由题意，的取值为.，则的分布列为7．（2022·河南安阳·高三阶段练习（理））某地出现新冠肺炎疫情，这次疫情持续了6周，根据每周统计的新增病例的情况，得到下面的统计表：第周123456新增病例数10255540155(1)有人从该地的人口数据电子信息表中，随机抽取了6000人，结果发现里面有2人是这次疫情新增的病