2024-2025学年福建省厦门三中八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年福建省厦门三中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一个选项正确）1．（4分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“立夏”、“小满”，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标是（）A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）3．（4分）下列图形具有稳定性的是（）A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．钝角三角形4．（4分）下列运算正确的是（）A．a2•a5＝a10 B．（a2）3＝a6 C．（3ab）2＝3a2b2 D．a2+a2＝2a45．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，下列结论中不正确的是（）A．D是BC中点 B．AD平分∠BAC C．AB＝2BD D．∠B＝∠C6．（4分）将一副三角板如图放置，使点D落在AB上，如果EC∥AB（）A．45° B．50° C．60° D．75°7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，大于为半径画弧，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，则△ACG的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．58．（4分）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，若AC＝BD，AB＝ED，则∠ACB等于（）A．∠EDB B．∠BED C．∠EBD D．∠ABF9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，C（4，4），点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，则OA+OB等于（）A．8 B．9 C．10 D．1110．（4分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），连接OC，在运动过程中（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题有6小题，每小题4分共24分）11．（4分）计算：（x3）3＝；（﹣2a3）2＝．12．（4分）五边形的外角和的度数是．13．（4分）如图，已知∠B＝∠D＝90°，请添加一个条件（不添加辅助线），使△ABC≌△ADC，依据是．14．（4分）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为．15．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，则BD＝．16．（4分）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”．例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”．如图，在△EFG中，若∠G＝2∠F，则∠F的度数α的取值范围为．三、解答题（本大题有9大题，共86分）17．（8分）（1）（a2）3•a5；（2）（2x2）3+x4•x2．18．（8分）如图，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB19．（8分）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝4cm，AD，BD的长及∠BCD的度数．20．（8分）如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且AB＝75km．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向（1）求∠ACB的度数；（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．21．（8分）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，9）＝，＝，（﹣2，﹣32）＝．（2）令（2，6）＝x，（2，7）＝y，（2，42），试说明下列等式成立的理由：（2，6）+（2，7）＝（2，42）．22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）在y轴上有一动点P，使PA+PB的距离最小，直接写出P点的坐标．（3）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，直接写出所有符合条件的点D坐标．23．（10分）如图，已知点A、B以及直线l，AE⊥l（1）过点B作BF⊥l，垂足为点F；（2）在直线l上求作一点C，使CA＝CB；（要求：第（1）、（2）小题用尺规作图，并在图中标明相应字母，不写作法．）（3）在所作的图中，连接CA、CB，若∠ACB＝90°24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1）点D在x轴正半轴上，点E为第一象限内一点，CE＝CD．（1）证明：∠EBC＝∠CAB；（2）取DE的中点F，连接OF，试判断OF与AC的位置关系25．（14分）情景探究【问题情景】学习了“最短路径问题”后，张老师结合七年级学习的坐标系的知识，将课本上的“饮马问题”放置在坐标系中，在平面直角坐标系中，A（0，2），B（4，3），在x轴上找一点C【方法探究】（1）小明按照课堂上学习的方法在图1先画出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点C，则此时AC+BC的值最小，利用S△A′OB＝S△A'OC+S△BOC列方程求出点C的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点C的坐标；【类比推广】（2）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址”问题放在坐标系中，设计了如下问题：如图2，A（0，2），B（5，﹣3），直线m经过点D（0，﹣1），且与x轴平行，N，使得MN⊥x轴，且AM+BN的值最小，并求出点M，N的坐标；【拓展创新】（3）如图3，在平面直角坐标系中，A（0，6），B（6，0），C是OA的中点，求点D的坐标．

2024-2025学年福建省厦门三中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一个选项正确）1．（4分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“立夏”、“小满”，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，A选项图形不是轴对称图形，不符合题意，B选项图形不是轴对称图形，不符合题意，C选项图形是轴对称图形，符合题意，D选项图形不是轴对称图形，不符合题意，故选：C．2．（4分）点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标是（）A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）【解答】解：点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为（﹣3．故选：A．3．（4分）下列图形具有稳定性的是（）A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．钝角三角形【解答】解：具有稳定性的是钝角三角形．故选：D．4．（4分）下列运算正确的是（）A．a2•a5＝a10 B．（a2）3＝a6 C．（3ab）2＝3a2b2 D．a2+a2＝2a4【解答】解：A、a2•a5＝a6，故该项不正确，不符合题意；B、（a2）3＝a7，故该项正确，符合题意；C、（3ab）2＝8a2b2，故该项不正确，不符合题意；D、a5+a2＝2a3，故该项不正确，不符合题意；故选：B．5．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，下列结论中不正确的是（）A．D是BC中点 B．AD平分∠BAC C．AB＝2BD D．∠B＝∠C【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD．∴AD平分∠BAC，无法确定AB＝2BD．故A、B、D正确．故选：C．6．（4分）将一副三角板如图放置，使点D落在AB上，如果EC∥AB（）A．45° B．50° C．60° D．75°【解答】解：∵EC∥AB，∴∠ADF＝∠E＝45°，∴∠DFC＝∠A+∠ADF＝30°+45°＝75°，故选：D．7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，大于为半径画弧，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，则△ACG的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由作法得AG平分∠BAC，∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，所以△ACG的面积＝×4×1＝7．故选：A．8．（4分）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，若AC＝BD，AB＝ED，则∠ACB等于（）A．∠EDB B．∠BED C．∠EBD D．∠ABF【解答】解：在△ABC与△DEB中，，∴△ABC≌△DEB（SSS），∴∠ACB＝∠EBD．故选：C．9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，C（4，4），点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，则OA+OB等于（）A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N，则∠CMA＝∠CNB＝90°，∵C（4，4），∴CN＝CM＝5，∵∠MON＝∠CNO＝∠CMO＝90°，∴∠MCN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠MCN，∴∠ACM＝∠BCN，在△ACM和△BCN中，，∴△ACM≌△BCN（ASA），∴AM＝BN，∴OA+OB＝OA+ON+BN＝OA+ON+AM＝ON+OM＝4+4＝6．故选：A．10．（4分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），连接OC，在运动过程中（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：如图，以OA为边向左侧作等边三角形AOE，∴OA＝EA＝OE，∠OAE＝∠AOE＝60°．∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠BAC﹣∠OAB＝∠EAO﹣∠OAB，即∠OAC＝∠EAB，在△OAC和△EAB中，∴△OAC≌△EAB（SAS），∴OC＝EB．∴当BE⊥x轴时，BE最短．∵A（0，6），∴OA＝2，∴OE＝6．∵∠AOE＝60°，∠AOB＝90°，∴∠BOE＝30°，∴，即在运动过程中．故选：B．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分共24分）11．（4分）计算：（x3）3＝x9；（﹣2a3）2＝4a6．【解答】解：（x3）3＝x4；（﹣2a3）8＝4a6．故答案为：x8；4a6．12．（4分）五边形的外角和的度数是360°．【解答】解：五边形的外角和是360°．故答案为：360°．13．（4分）如图，已知∠B＝∠D＝90°，请添加一个条件（不添加辅助线）AD＝AB，使△ABC≌△ADC，依据是HL．【解答】解：添加AD＝AB．理由如下：在Rt△ABC与Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．故答案为：AD＝AB，HL．14．（4分）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为12．【解答】解：分情况讨论：①当三边是2，2，2时，不符合三角形的三边关系；②当三角形的三边是2，5，3时，此时周长是12．故填12．15．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，则BD＝10．【解答】解：如图，连接AD．∵AB的垂直平分线交BC于D，∴AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝15°，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝30°．又∵在△ABC中，∠C＝90°，∴AD＝2AC＝10．故填：10．16．（4分）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”．例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”．如图，在△EFG中，若∠G＝2∠F，则∠F的度数α的取值范围为0°＜α≤45°或α＝或或54°．【解答】解：设∠F＝α＝x，则∠G＝2α＝2x，线段EM是等腰线段，∴EM＝EG，ME＝MF，∴∠F＝∠MEF＝x，∠EMG＝∠G＝3x，∴∠MEG＝180°﹣4x＞0，解得：x＜45°，即2°＜α＜45°；如图2所示：①∵GM为等腰线段，∴FN＝GN，EN＝NG，∵∠F＝x，∠EGF＝2x，∴∠FGN＝∠F＝x，∠ENG＝3x，∴∠E＝x，∵∠F+∠E+∠EGF＝180°，∴x+x+2x＝180°，解得：x＝45°，即α＝45°；②∵∠F＝x，∠EGF＝2x，∴∠E＝180°﹣3x，当EN＝NG时，∠EGN＝∠E＝180°﹣3x，∴∠FNG＝360°﹣6x，∠FGN＝4x﹣180°，当FN＝FG时，∠F＝∠FGN，∴360°﹣6x＝5x﹣180°，11x＝540°，x＝；当NG＝FG时，∠FNG＝∠F，360°﹣3x＝x，7x＝360°，x＝；如图7，FN为等腰线段，∴FN＝EN，NG＝FG，∵∠EFG＝x，∠G＝2x，∴∠E＝180°﹣3x＝∠EFN，∴∠FNG＝∠EFG+∠EFN＝360°﹣2x，∴∠NFG＝4x﹣180°，∵NG＝FG，∴∠FNG＝∠NFG，即360°﹣6x＝5x﹣180°，10x＝540°，x＝54°；综上可知：0°＜x≤45°或x＝或x＝，即2°＜α≤45°或α＝或，故答案为：0°＜α≤45°或α＝或或54°．三、解答题（本大题有9大题，共86分）17．（8分）（1）（a2）3•a5；（2）（2x2）3+x4•x2．【解答】解：（1）（a2）3•a2＝a6•a5＝a11；（2）（2x2）3+x6•x2＝8x3+x6＝9x3．18．（8分）如图，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB【解答】证明：在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS）．19．（8分）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝4cm，AD，BD的长及∠BCD的度数．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∵CD⊥AB，∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，∵AB＝4cm，∴BC＝2cm，BD＝3cm，∴AD＝AB﹣BD＝4﹣1＝5cm．20．（8分）如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且AB＝75km．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向（1）求∠ACB的度数；（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．【解答】解：（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣20°＝70°，∠ABC＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣40°＝70°；（2）由（1）得：∠BAC＝∠ACB＝70°，∴BC＝AB＝75km，∴75÷5＝15（km/h），即轮船的速度为15km/h．21．（8分）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，9）＝2，＝4，（﹣2，﹣32）＝5．（2）令（2，6）＝x，（2，7）＝y，（2，42），试说明下列等式成立的理由：（2，6）+（2，7）＝（2，42）．【解答】解：（1）∵32＝5，∴（3，9）＝6；∵（﹣）4＝，∴（﹣，）＝4；∵（﹣2）5＝﹣32，∴（﹣2，﹣32）＝6；故答案为：2，4，6；（2）设（2，6）＝x，8）＝y，42）＝zx＝6，2y＝5，2z＝42，∵6×5＝42，∴2x×2y＝4z，∴2x+y＝2z，∴x+y＝z，∴（5，6）+（2，42）22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）在y轴上有一动点P，使PA+PB的距离最小，直接写出P点的坐标．（3）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，直接写出所有符合条件的点D坐标．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C6即为所作；（2）如图所示，在（1）基础上1B，交y轴于点P，则点P即为所求；由图得P（0，7）；（3）如图所示，以B，C，点D的坐标为（0，﹣1）或（3．23．（10分）如图，已知点A、B以及直线l，AE⊥l（1）过点B作BF⊥l，垂足为点F；（2）在直线l上求作一点C，使CA＝CB；（要求：第（1）、（2）小题用尺规作图，并在图中标明相应字母，不写作法．）（3）在所作的图中，连接CA、CB，若∠ACB＝90°【解答】解：（1）如图所示，BF即为所求；（2）如图所示，点C即为所求；（3）证明：∵AE⊥l，∴∠AEC＝90°，∠1+∠2＝90°．∵∠ACB＝90°，∴∠5+∠2＝90°．∴∠1＝∠8，在△AEC和△CFB中∴△AEC≌△CFB（AAS）．∴AE＝CF，EC＝BF，∴EF＝EC+CF＝AE+BF．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1）点D在x轴正半轴上，点E为第一象限内一点，CE＝CD．（1）证明：∠EBC＝∠CAB；（2）取DE的中点F，连接OF，试判断OF与AC的位置关系【解答】（1）证明：∵A（﹣1，0），5），1）∴AO＝CO＝BO＝1．∵CO⊥AB，∴AC＝BC，△AOC，∴∠CBO＝∠BCO＝∠ACO＝∠CAO＝45°，∠ACB＝90°，即∠ACD+∠BCD＝90°．又∵CE⊥CD，∴∠ECB+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠ECB．在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（AAS），∴∠EBC＝∠CAB．（2）OF∥AC．理由如下：过F作FL⊥OC于点L，FK⊥OB于点K，∴∠FLO＝∠FLC＝∠FKO＝90°，∵CO⊥BO，∴∠COB＝90°，∴∠LFK＝90°，∵CE＝CD，点F是DE的中点，∴CF⊥DE，∴∠CFL+∠LFD＝90°．又∵∠KFD+∠LFD＝90°，∴∠CFL＝∠KFD．∵CE⊥CD，点F是DE的中点，∴．在△CFL与△DFK中，，∴△CFL≌△DFK（AAS），∴FL＝FK．又∵FL⊥OC，FK⊥OB，∴OF平分∠COB，∴∠COF＝∠BOF＝45°．又∵∠CAO＝45°，∴∠BOF＝∠CAO，∴OF∥AC．25．（14分）情景探究【问题情景】学习了“最短路径问题”后，张