2021版数学必修 第一册人教A版第五章三角函数讲义

Chapters

第五章三角函数

5.1任意角和弧度制

5.1.1任意角

【学习目标】1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.理解并掌握终边相同的角的概念,

能写出终边相同的角所组成的集合.3.了解象限角的概念.

知识梳理梳理教材夯实基础

-------N-------

知识点一任意角

1.角的概念：

角可以看成平面内一条射线绕着它的端点雌所成的图娶.

2.角的表示：

如图，0A是角a的始边,0B是角a的终边，O是角a的顶点.角a可记为“角a”或“Na”

或简记为“a”.

OA

思考角的概念中主要包含哪些要素？

答案角的概念包含的三要素为：顶点、始边、终边.

3.角的分类：

名称定义图示

正角按逆时针方向旋转形成的角上

负角按顺时针方向旋转形成的角

零角一条射线妞作任何旋转形成的角0*---------A(B)

知识点二角的加法与减法

设a,4是任意两个角，二1为角a的相反角.

（l）a+小把角a的终边旋转角A

（2）a—£：a—6=a+（—6）.

知识点三象限角

把角放在平面直角坐标系中，使隹的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那

么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角:如果角的终边在坐标轴上，就认为这

个角不属于任何一个象限.

思考“锐角”"第一象限角”“小于90。的角”三者有何不同？

答案锐角是第一象限角也是小于90。的角，而第一象限角可以是锐角，也可以大于360。，

还可能是负角，小于90。的角可以是锐角，也可以是零角或负角.

知识点四终边相同的角

所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合5=（加囚=a+k360。，女£Z},即

任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.

思考终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？

答案终边相同的角不一定相等，它们相差360。的整数倍；相等的角终边相同.

-思考辨析判断正误匚

1.第二象限角是钝角.（X）

2.终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.（J）

3.终边相同的角有无数个，它们相差360。的整数倍.（J）

题型探究探究重点素养提升

-------------------------------------------------------------N------------------

一、任意角的概念

例1下列结论：

①三角形的内角必是第一、二象限角；

②始边相同而终边不同的角一定不相等；

③小于90。的角为锐角；

④钝角比第三象限角小；

⑤小于180。的角是钝角、直角或锐角.

其中正确的结论为（填序号）.

答案②

解析①90。的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；

②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；

③小于90。的角可以是零角，也可以是负角，故③不正确；

④钝角大于一100。的角，而一100。的角是第三象限角，故④不正确；

⑤0°角或负角小于180。，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确.

反思感悟理解与角的概念有关的问题关键在于正确理解象限角与锐甭、直角、钝角、平角、

周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的

技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.

跟踪训练1若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为()

A.120°B.-120°C.-60°D.60°

答案B

4

解析由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为一五X360。=-120。.

二、终边相同的角及象限角

例2将下列各角表示为七360。+〃(心2,0。—＜360。)的形式，并指出是第几象限角.

(1)420°；(2)-510°；(3)10200.

解(1)420°=360°+60°,

而60。角是第一象限角，故420。是第一象限角.

(2)-510°=-2X360°+210°,

而210。是第三象限角，故一510。是第三象限角.

(3)1020°=2X360°+300°,

而300。是第四象限角，故1020。是第四象限角.

反思感悟首先把各角写成2360。+。(&£2,0。＜。＜360。)的形式，然后只需判断a所在的象限

即可.

跟踪训练2(1)在四个角20。，-30°,100°,220。中，第二象限角的个数为()

A.0B.1C.2D.3

答案B

(2)与一460。角终边相同的角可以表示成()

A.460。+k360。，kGZ

B.100。+k360。，&£Z

C.2600+k360°,kH

D.-260°+^360°,kGZ

答案C

解析因为一460。=260。+(—2)X360。，故一460。可以表示成260。+&-360。，gl,故选C.

三、区域角的表示

例3已知角a的终边在图中阴影部分内，试指出角a的取值范围.

解终边在30。角的终边所在直线上的角的集合为与=｛雨=30。+/180。,女£2｝,终边在180°

一75。=105。角的终边所在直线上的角的集合为52=｛。汝=105。+/180,kGZ),因此，终边

在图中阴影部分内的角a的取值范围为｛。|30。+"180。・。<105。+》180。，k^Z].

反思感悟表示区域角的三个步骤

第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界：

第二步：分别标出起始和终止边界对应的一180。〜180。范围内的角a和p,写出最简区间

｛x\a<x<p];

第三步：起始、终止边界对应角％夕再加上360。的整数倍，即得区域角集合.

跟踪训练3如图所示，写出顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分

的角的集合.

解如题图(1)所示，以08为终边的角有330。角，可看成是一30。,

・••以08为终边的角的集合分别是：

0=｛小=75°+七360°,Jtez｝,

52=｛小=-30。+2・360。，kGZ].

・♦•终边落在阴影部分的角的集合为

｛瞅360。-30。~4・360。+75。，k^Z].

如题图(2)所示，以OB为终边的角有225。角，可看成是一135。，

，终边落在阴影部分的角的集合为

｛<9|-1350+6360。W8W135。+(360。,依Z｝.

■核心素养之逻辑推理■

确定na及彳所在的象限

典例已知a是第二象限角，求角卷所在的象限.

解方法一是第二象限角，

，k3600+90°<a<k360°+180°伙eZ).

kok

：,2-3600+450<2<2.3600+90°()teZ).

当k为偶数时，令k=2〃(〃£Z),得

”•360。+45畤<〃.360。+90°,

这表明髓第一象限角；

当《为奇数时，令£=2〃十得

“•360。+225°<^<n-360°+270°,

这表明髓第三象限角.

学为第一或第三象限角.

方法二如图，

先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、

二、三、四，则标有二的区域即为翻终边所在的区域，故翱第一或第三象限角.

延伸探究

1.在本例条件下，求角2a的终边的位置.

解・・・。是第二象限角，

k360°+90°<a<Ar-360°+180°(2GZ).

：.k-720Q+180。v2"k720。+360°(AGZ).

工角2a的终边在第三或第四象限或在)，轴的非正半轴上.

2.若本例条件中角a变为第三象F艮角，求角卷是第几象限角.

解如图所示，

先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、

二、三、四，则标有三的区域即为角F的终边所在的区域，故角与为第二或第四象限角.

［素养提升］分类讨论时要对&的取值分以下几种情况进行讨论：A被〃整除；及被〃除余1；

女被〃除余2,…，人被〃除余〃一1.然后方可下结论.几何法依据数杉结合，简单直观.通

过该类问题，提升逻辑推理和直观想象等核心素养.

随堂演练基础巩固学以致用

1.与一30。终边相同的角是（）

A.-330°B.150°C.30°D.330°

答案D

解析因为所有与一30。终边相同的角都可以表示为。=%360。+（—30。），取k=1,得

a=330°.

2.一240。是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案B

解析因为一240。角的终边落在第二象限，故为第二象限角.

3.下列说法正确的是（）

A.锐角是第一象限角B.第二象限角是钝角

C.第一象限角是锐角D.第四象限角是负角

答案A

解析由于锐角范围是0。<0<90。，显然是第一象限角；

一200。是第二象限角，但不是钝角；380。是第一象限角，但不是锐角；330。是第四象限角，

但不是负角.

4.终边与坐标轴重合的角a的集合是（）

A.{a|a=^360°,k^Z}

B.{a|a=kl80°+90°,k^Z]

C.{a|a=kl80。,k^Z]

D.{a|a=k90。，&£Z}

答案D

解析终边在坐标轴上的角大小为90。或90。的整数倍，所以终边与坐标轴重合的角的集合为

{a|a=&・90°,kGZ\,故选D.

5.已知角a的终边在如图阴影表示的范围内（不包含边界），那么角a的集合是.

答案［砒・3600+45°va4360。+150°,kS\

解析观察图形可知，角a的集合是{砒SGOo+dSyzvASGOo+lSO。，k^Z].

-课堂小结•

1.知识清单：

⑴任意角的概念.

（2）终边相同的角与象限角.

（3）区域角的表示.

2.方法归纳：数形结合，分类讨论.

3.常见误区：锐角与小于90。角的区别，终边相同角的表示中漏掉ZWZ.

课时对点练注重双基强化落实

一基础巩固

1.一870。角的终边所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

解析一870。=一3乂360。+210。,

・・・一870。是第三象限角,故选C.

2.与一457。角的终边相同的角的集合是（）

A.{a|a=457°+^360°,k^Z}

B.{a|a=97°+k360°,&£Z}

C.仅m=263。+4・360。，k£Z\

D.（雨=一263。+大360。，k£Z）

答案C

3.下面各组角中，终边相同的是（）

A.390°,690°B.-330°,750°

C.480°,-420°D.3000°,-840°

答案B

解析因为一330°=一360°+30°,750°=720°+30。,

所以一330。与750。终边相同.

4.下面说法正确的个数为（）

①第二象限角大于第一象限角；

②终边在x轴非负半轴上的角是零角；

③钝角是第二象限角.

A.0B.IC.2D.3

答案B

解析第二象限角如120。比第一象限角390。要小，故①错；360。的整数倍的角终边都在.1轴

非负半轴上，故②错；③中钝角是第二象限角是对的.所以正确的只有1个.

5.若a是第四象限角，则180。一1是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案C

解析可以给a赋一特殊值一60。，

则180。-a=240。，故180。一a是第三象眼角.

6.50。角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是一.

答案一1030°

解析顺时针方向旋转3周转了一(3X360。)=一1080。.

又50。+(—1080°)=-1030°,故所得的角为一10300.

7.与一2019。角终边相同的最小正角是.

答案1410

解析因为一2019。=-6义360。+141。，

所以所求角为141°.

8.在0。〜360。范围内，与角一60。的终边在同一条直线上的角为.

答案120°,300°

解析根据终边相同角定义知，与一60。终边相同角可表示为夕=-60。+k360。伙£2),当k

=1时夕=300。与一60。终边相同，终边在其反向延长线上且在0。〜360。范围内的角为120°.

9.在0。〜360。范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.

(1)-150°；(2)650°.

解(1)因为一150。=-360。+210。，所以在0。―360。范围内，与一150。角终边相同的角是210。

角，它是第三象限角.(2)因为650。=360。+290。，所以在0。〜360。范围内，与650。角终边相

同的角是290。角，它是第四象限角.

10.写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合.

解先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得

(I){a|300+L360。WaW150°+&36Q。，4£Z}.

(2){a|l50°+A-360°WaW390°+》360°,攵£Z}.

▽综合运用

11.若a=kl80°+45°（A：£Z）,则:x在（）

A.第一或第三象限B.第一或第二象限

C.第二或第四象限D.第三或第四象限

答案A

解析当&=2m+l（〃代Z）时，

a=2m-\80°+225°=帆360°+225°,

故。为第三象限角；

当左=2〃?（m£Z）时，a=m-3600+45°,

故a为第一象限角.

故a在第一或第三象限.

12.若a是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（）

A.900-aB.90°+a

C.360°-aD.180°+a

答案C

解析特例法，取a=30。，可知C正确.作为选择题，用特例求解更简便些.一般角所在的

象限讨论，应学会用旋转的方法找角所在的象限.如，a+90。，将角«的终边逆时针旋转90。,

a—90。，则将a的终边顺时针旋转90。，角180。+。的终边为角a的终边反向延长线，180。

一a,先将角。的终边关于x轴对徐，再关于原点对称，即可得到180。一a的终边等等.

13.已知角a的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么a的取值范围是一.

答案{a|n-l800+30°<a</rI8004-150°,〃£Z）

解析方法一（并集法）

在0。〜360。范围内，终边落在阴影内的角为30。<。<150。和210。*<330。.

所以窃£（砒,360。+30°<«4360。+150。,MZ}U{a|k360°+210°<a<A3600+330。，％£Z}=

{a\2k-\80°+30°va<22・1800+150°,A£Z}U{a|（2k+1）.180°+30°va〈（2A+1）•180。+150。，A£Z}

={a\n\800+30。<“<〃•180。+150。，〃£Z}.

方法二（旋转法）

观察图形可知，图中阴影成“对角型”区域，其中一个区域逆（或顺）时针旋转180。，恰好与

另一个区域重合，由此可知公£{刖180。+30。<。<〃/80。+150。,〃仁Z}.

14.若角a满足180。*<360。，角5a与。有相同的始边与终边，则角。=.

考点终边相同的角

题点终边相同的角、象限角

答案270°

解析・・•角5a与a具有相同的始边与终边，

・・・5a=23600+a,得4a=6360。，k^Z,

，Q=k90。，kGZ,

X180°<a<360°,上当Z=3时，a=270°.

亍拓广探究

15.已知角2a的终边在x轴的上方，那么a是第象限角.

答案一或三

解析由题意知k3600<2a<180°+k360。/£Z),故180°<a<90°+kl80。(2£Z),按照人的奇

偶性进行讨论.当&=2〃(〃£Z)时，〃SGOOvavgOo+zzSGOoSEZ),・・.a在第一象限；当左=2〃

+1(〃£Z)时，180o+w3600<a<270o4-n-360°(neZ),在第三象限.故a是第一或第三象

限角.

16.已知a,尸都是锐角，且a+万的终边与一280。角的终边相同，a一万的终边与670。角的终

边相同，求角a,£的大小.

解由题意可知

。+4=-280。+k360。，kGZ.

Va,£为锐角，

.•.00<a+^<180°.

取2=1,得a+4=80。，①

。一«=670。+k360。，&£Z.

Va,£为锐角，

・•・-90°<a-/?<90°.

取％=—2,得。一£=一50。，②

由①②得a=15。，4=65。.

5.1.2弧度制

【学习目标】1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系2理解“1弧度的角”

的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数.

知识梳理梳理教材夯实基础

■■■■■■■■■■■■■■■■--------------------------\-------

知识点一度量角的两种单位制

1.角度制：

⑴定义：用度作为单位来度量角的单位制.

(2)1度的角：周角的春.

2.弧度制：

(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.

(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.

知识点二弧度数的计算

思考比值;与所取的圆的半径大小是否有关？

答案一定大小的圆心角a所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关.

知识点三角度与弧度的互化

角度化弧度弧度化角度

360°=2;trad2兀rad=360。

180。=1rad7trad=18O°

rad〜0.01745rad

1OV1rad5730°

度数x^=弧度数弧度数x(祟)。=度数

知识点四弧度制下的弧长与扇形面积公式

设扇形的半径为R,弧长为/,。(0＜。＜2兀)为其圆心角，则

(I)弧长公式：l=aR.

(2)扇形面积公式：S=^lR=^aR2.

思考扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？

答案扇形的面积公式与三角形的面积公式类似.实际上，扇形可看作是一曲边三角形，弧

是底，半径是底上的高.

预习小测自我检验

1.18°=rad.

答案T5

2•米--------•

答案540

3.若a号则。是第象限角.

答案一

4.圆心角为李瓜度，半径为6的扇形的面积为.

答案6兀

解析扇形的面积为/x62xT=6兀

题型探究探究重点素养提升

---------------------------------------\------------

一、弧度制的概念

例1下列说法正确的是()

A.1瓠度的圆心角所对的弧长等于半径

B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大

C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等

D.用弧度表示的角都是正角

考点弧度制

题点弧度制定义

答案A

解析对于A,根据弧度的定义知，“1瓠度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；

对于B,大圆中I瓠度的圆心角与小圆中I瓠度的圆心角相等，故B错误；对于C,不在同

圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C错误；对于D,用弧度表示的角也

可以不是正角，故D错误.

反思感悟对弧度制定义的三点说明

(1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值.

(2)在弧度制下，“弧度”二字或“rad”可以省略不写，如2rad可简写为2.

(3)用弧度与度去度量同一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不同的.

跟踪训练1下列各说法中，错误的是()

A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B.1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角

C.根据弧度的定义，180。一定等于兀弧度

D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关

答案D

解析根据角度和瓠度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无

关，而是与瓠长与半径的比值有关，所以D是错误的，其他A,B,C正确.

二,角度制与弧度制的互化

例2把下列角度化成弧度或弧度化成角度：

(1)72°；(2)-300°；(3)2；(4)-y.

解⑴72。=72义奇=尊

⑵一300°=-300X-j^=—y；

⑶2=2X(号)。=(等入

(4)一,=一倍X黑。=一40。.

反思感悟角度与弧度互化技巧

在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式兀rad=180。是关键，由它可以得到：度数、念=

1ov

弧度数，弧度数X。患)。=度数.

跟踪训练2已知a=15。，“=%，7=1，J=105。，°=招，试比较a,0,y,仇0的大小.

解a<p<y<0=(p.

三、与扇形的弧长、面积有关的计算

例3已知扇形的周长为10cm,面积为4cm2,求扇形圆心角的弧度数.

解设扇形圆心角的瓠度数为次0(兴2冗)，弧长为/cm,半径为Rem,

74-2/?=10,①

依题意有h,

]/R=4.②

①代入②得r2—5/?+4=0,解之得用=1,&=4.

当R=1时，/=8,此时，6=8rad>2兀rad舍去.

21

当R=4时，1=2,此时，0=z=](rad).

综上可知，扇形圆心角的弧度数为3rad.

延伸探究

1.已知一扇形的圆心角是72。，半径为20,求扇形的面积.

解设扇形瓠长为/,因为圆心角72。=72义焉=§rad,

所以扇形弧长/=|a|-r=§X20=8心

于是，扇形的面积5=呆=3乂8北乂20=80兀

2.已知一扇形的周长为4,当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？

解设扇形圆心角的狐度数为伏0<小2冗)，弧长为/,半径为r,面积为S,

则/+2r=4,所以/=4-2，信?'<2),

所以S=^/-r=2X(4—2r)Xr=—r2+2r=—(r—1)2+1,

所以当r=l时，5最大，且Smax=l,

…cl4-2X1

因此，0=~=j=2(rad).

反思感悟扇形的弧长和面积的求解策略

(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S=勺R=&R2(其中/是扇形的弧长，R是扇形的半径,

a是扇形圆心角的弧度数，0va<2?i).

(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问邈，关键是分析题目中

已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.

跟踪训练3已知扇形的半径为10cm,圆心角为60。，求扇形的弧长和面积.

解已知扇形的圆心角。=60。=争半径/"=10cm,

则瓠长/=a・r=1X10=当「cm),

于是面积S=i/r=zX-^X10=当(cm2).

随堂演练基础巩固学以致用

1.下列说法中，错误的是（）

A.半圆所对的圆心角是冗rad

B.周角的大小等于2兀

C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径

D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度

答案D

解析根据弧度的定义及角度与瓠度的换算知A,B,C均正确，D错误.

2.若。=-2rad,则a的终边在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

3.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为（）

J4八14

A.~nB.一彳■兀

77

C/nD.—[gn

答案B

77

解析显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了/周，转过的弧度为一5X2冗

14

=一4兀

47r

4.在半径为10的圆中，子的圆心角所对弧长为（）

40兀20TI200TI400兀

A3D.3

答案A

解析由于r=10,"=与，所以弘长/=「以=竽.

5.周长为9,圆心角为1rad的扇形面积为.

9

答案-

2

2r+/=9,r=3,

解析由题意可知j所以

1=3,

所以S=^/r=^.

■课堂小结・

1.知识清单：

(1)弧度制的概念.

(2)弧度与角度的相互转化.

(3)扇形的弧长与面积的计算.

2.方法归纳：消元法解方程组.

3.常见误区：弧度与角度混用.

课时对点练注重双基强化落实

-----------------------N--------

Y基础巩固

1.一120。化为弧度为()

5n兀〃2n3

A.—^71B.-2c.—J7TD.一彳兀

答案C

TT

解析由于l°=jgQrad,

所以一120。=-120乂念=一普，故选C.

1oUJ

2.若圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则()

A.扇形的面积不变

B.扇形的圆心角不变

C.扇形的面积增大到原来的2倍

D.扇形的圆心角增大到原来的2倍

答案B

解析・・・/=|a|R,.••同=(.

当R,/均变为原来的2倍时，同大变.

而5=刎?2中，・.・。不变，变为原来的4倍.

3.用弧度制表示终边与150。角相司的角的集合为()

A.}/=一器+2桁，kS]

B%b=^+k360。,kez|

c\p夕=专+24兀，&WZ\

“4+2E,k^Z]

答案D

解析150。=150乂焉=知，故终边与角150。相同的角的集合为｛m=^+2E,kCZ）.故

选D.

4.圆的半径为小该圆上长为/的弧所对的圆心角是（）

2323

A.gradB./radC.§7rD.开

答案B

3

/2r3

解析由弧度数公式〃=;,得a=：=2，

因此圆瓠所对的圆心角是卷rad.

5.集合｛a5旧｝中角所表示的范围（阴影部分）是（）

答案C

解析人为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y=x左上部分（包含边界），欠为奇数时

集合对应的区域为第三象限内直线y=工的右下部分（包含边界）.故选C.

66rad=度，rad=—480°.

答案15-y

解析台=噌=15°，—480。=-480乂念=一空

1Z1Z1OUJ

7.把角一690。化为2E+a（0Wa<2兀，的形式为.

答案一4兀+5

解析方法一一690。=一（690乂焉）=一条.

因为一磊1=-4兀+5，所以一690。=-4九+专

方法二一6900=-2X360°+30°,

则一690。=—4兀+

8.在扇形中，已知半径为8,弧长为12,则圆心角是弧度，扇形面积是

3

答案-

248

解析

S=1/-r=1x12X8=48.

9.将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第儿象限角.

(1)-1725°：(2)-60°+360WeZ).

解(1)-1725。=75。-5X3600=-5X2TI+,

=一喘，是第一象限角.

(2)-600+360。•仁一*;X60+2兀/

IOU

=一胃+2E(&£Z),是第四象限角.

10.已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.

(1)求弦AB所对的圆心角a的大小；

(2)求a所在的扇形的弧长I及弧所在的弓形的面积S.

解(1)由。。的半径r=lO=ABf

知aAOB是等边三角形，

.*.«=408=60。=全

(2)由(1)可知r=10,

瓠长/=ar=1X10=3匕

S=T/r=zXX10=^?^,

乙乙DD

而S^AOB=Q-AB=^X10X5、5=25小,

V综合运用

11.下列表示中不正确的是()

A.终边在x轴上角的集合是｛a|a=履，kGZ)

B.终边在y轴上角的集合是｛aa芍+桁，&£Z

C.终边在坐标轴上角的集合是号，代ZJ

D.终边在直线y=x上角的集合是1aa=^+2E,Z£Z｝

答案D

解析对于A,终边在x轴上角的集合是｛a|a=E,AEZ｝,故A正确；

对于B,终边在y轴上的角的集合是1a|aJ+E,kS1,故B正确；

对于C,终边在x轴上的角的集合为｛a|a=E,kGZ),终边在y轴上的角的集合为

[aa=：+E,kGZ),其并集为，々a=y,kGZ],故C正确；

对于D,终边在直线y=x上的角的集合是1a[a=：+E,kb卜故D不正确.

12.圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为()

A.1B.f

琮吟D.跨

答案c

解析设该弦所对的圆周角为a,

则其圆心角为2a或2兀-2a,

由于弦长等于半径，

所以可得2a=]或2TT—2a=],解潺a=5或a=^.

13.设集合M="a。=自一小k《ZpN=｛a|一肝人加｝,则MCN=.

因为左£Z,所以k=-1,0,1,2,所以MHN=｛一票—I，袭，yj.

14.已知•扇形的弧长为27r管，面积2TI端，则其半径，=,圆心角为

答案25

解析设圆心角度数为。，因为扇形的瓠长为号，面积为号=£乂号乂「，

解得y2,由于扇形的瓠长为号=m=2a,解得a奇

“拓广探究

15.扇形圆心角为等半径为小则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为

答案2：3

解析如图，设内切圆半径为r,

则r=1,

所以011=兀（§2=詈,

17

广

兀

S匹4

可3-6

备32.

»=以=

2

所

工-

3-

16.如图，动点P,。从点44,0）出发，沿圆周运动，点。按逆时针方向每秒钟转力弧度，点。

按顺时针方向每秒钟转器弧度，求P,。第一次相遇时所用的时间及P,Q点各自走过的弧长.

解设P,Q第一次相遇时所用的时间是/秒,

则吟+/.一5=2瓦,

3

所以r=4秒,

即P,Q第一次相遇时所用的时间为4s.

P点走过的弧长为专乂4=与3

Q点走过的瓠长为号乂4=空.

5.2三角函数的概念

5.2.1三角函数的概念

【学习目标】1.借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.2.掌握任意角三角

函数（正弦、余弦、正切）在各象限的符号.3.会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦、

正切.4.掌握公式并会应用.

知识梳理梳理教材夯实基础

■■■■■■■■■■■■■■---------------------------------------------------------N-----------------

知识点一任意角的三角函数的定义

设。是一个任意角，a£R,它的终边。P与单位圆相交于点P（x,y）,

点P的纵坐标工叫做a的正弦函数，记作sina,即sina=\；点P的横坐标工叫做Q的余弦

函数，记作cosa,HPcosa=x：把点P的纵坐标与横坐标的比值?叫做。的正切，记作tana,

即tana=*xW0).

正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为：

正弦函数丁=5耐心x£R；

余弦函数y=cosx,x£R；

正切困数丁=1211工，AH，十版（攵匕Z）.

思考三角函数值的大小与点尸在角。终边上位置是否有关？

答案三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角。的

终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.

知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号

1.图示:

2.口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.

知识点三公式一

sin(a+227r)=sina,

cos((z+2kn)=cosa,

tan(a+2E)=lana,

其中2£Z.

终边相同的角的同一三角函数的值相等.

思考同一三角函数值相等时，角是否一定相等或相差周角的整数倍？

答案不一定，如sin30。=sin150。=：.

■思考辨析判断正误-

1.sinQ表示sin与a的乘积.(X)

2.设角a终边上的点P(x,y),r=|OP|KO,则sina=：,且)，越大，sina的值越大.(X)

3.终边相同的角的同一三角函数值相等.(V)

4.终边落在y轴上的角的正切函数值为0.(X)

题型探究探究重点素养提升

---------------------------N--------

一、任意角三角函数的定义及应用

例1(1)已知角a的终边与单位圆的交点为电，yjtXO),则tana=.

答案.

解析因为点噌，在单位圆上，则卷+产=1,

44

所以y=_g,所以tana=一§.

(2)已知角a的终边落在射线1y=2A(X20)上，求sina,cosa的值.

解设射线y=2x(x20)上任一点P(xo,泗)，

则|OP|=「=向端+1,

*«*.yio=2xo»:・r=y/3xo,

..vo2小xov5

..sina=y=,,cosa=-7=5-

延伸探究

1.若将本例(1)中条件Z的终边与单位圆的交点为噌，;。《))”改为“Q的终边经过点

P(—3,—4)”,求角a的正弦、余弦和正切值.

解由已知可得|OPl=d(-3)2+(-4)2=5.

如图所示，设角Q的终边与单位圆交于点Po(x,y).

分别过点P,凡作x轴的垂线PM,PoMo,

则|MP|=4,|Mo尸o尸一》,

|0M=3,|OMo|=f

AOMPs^OMoPo,

工且,____lA/oPol~\MP\4

于是，sma_y—]__|0孔|="^「=_于

x|OMo|-\OM\3

cosa-x-T~_|OPol-\OP\~一V

ysina4

tana—x—cosa—T3.

2.若将本例(2)中条件“a的终边落在射线y=2x(x20)上”，换为“a的终边落在直线y=2r

上”，其结论又如何呢？

解(1)若a的终边在第一象限内，

设点尸(4方)(公>0)是其终边上任意一点,

因为r=|OP|=。咋+4/=3a

“7.y2a2A/5x

所以即『广甚=5,85。=;=8=亍

(2)若。的终边在第三象限内，

设点/>3勿)(〃<0)是其终边上任意一点,

因为r=\OP\=62+4〃2=一小〃3<0),

y2a2^/5xaA/5

所以sina

—-fa5，c°SQ〒二而=一5-

反思感悟利用三角函数的定义求值的策略

(1)已知角a的终边在直线上求a的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：

①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值.

②注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a,8)(ar0),则

b

对应角的正弦值sin"=声+护,余弦值cosa,正切值ian7=7

(2)当角的终边上的点的坐标以参数的影式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.

跟踪训练1已知角a的终边过点P(-3a,44)(aW0),则2sina+cosa=

答案1或一1

解析因为r=N(—3]+(旬2=5同，

①若a>0,则r=5a,角a在第二象限.

.v4a4x—3。3

s,n『片才予cos«=7=^=一亍

83

所以2sina+cosa=^—^=1.

②若a<0,则r=-5m角a在第四象限，

4a4—3a3

sina="-=—7,cosa=~-=7.

-5a5—5a5

g3

所以2sina+cosa=-5+5=-1.

二、三角函数值符号的运用

例2(1)已知点尸(tana,cosa)在第四象限，则角a的终边在()

A.笫一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

(2)下列各式：

①sin(—100°)；②cos(—220°)；③lan(-10)；@cosn.

其中符号为负的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案(1)C(2)D

tana>0,

解析(1)因为点P在第四象限，所以有八

cosa<0,

由此可判断角a的终边在第三象限.

(2)—100。在笫三象限，故sin(—100。)<0；—220。在第二象限，故cos(—220。)<0；

—10£(一全，一3兀)，在第二象限，故tan(—10)<0,cos7t=—1<0.

反思感悟判断三角函数值正负的两个步骤

(1)定象限：确定角Q所在的象限.

(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦来判断.

跟踪训练2已知点?因11%8$(1)在第三象限，则角a的终边在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

三、公式一的应用

例3计算下列各式的值:

(l)sin(-l395°)cos11100+cos(-1020°)sin750°；

(2)sin(-^)+cos^tan4H.

解(1)原式

=sin(-4X360°+45°)cos(3X3600+30°)+cos(-3X360°+60°)sin(2X360°+30°)

=sin450cos300+cos600sin30°

=亚义亚+1义1=亚+1=1+#

~22十2*2-4十4-4-

(2)原式=sin(—27t+§+cos(27t+匍tan(47r+0)=sin看+cos知X0=；.

反思感悟利用诱导公式一求解任意角的三角函数的步骤

跟踪训练3（l）cos405。的值是（）

正

12

A.2一

答

案

解

析

Q

)sin

案

答

析

，

解

71sin鼻+tan£=坐+上

3一

随堂演练---------基--础-巩-固学、-以-致-用

1.已知角。的终边经过点（一4,3）,则cosQ等于（）

A.7B.TC.D.—T

答案D

2.3：!（—315。）的值是（）

A—©B」C巫D1

答案c

解析sin（-315°）=sin（-360°+45°）=sin45。=拳

3.若sinycos0>0,则0在()

A.第一或第四象限B.第一或第三象限

C.第一或第二象限D.第二或第四象限

答案B

解析因为sin0-cosGO,

所以sin0<0,cos8<0或sin^>0,cosGO,

所以夕在第一象限或第三象限.

4.tan（一号）=.

答案<3

解析tan（一号+tan（-6兀+§=tan1=小.

5.y=sinx+tanx的定义域为

答案x乃节+E,kWZ

XER,

解析要使函数有意义，需满足{n_

x#2+E,AGZ.

・•・函数的定义域为卜卜4+E,kez}.

-课堂小结・

1.知识清单：

(1)三角函数的定义及求法；

(2)三角函数在各象限内的符号；

(3)公式一•

2.方法归纳：负角化为正角、大角化为小角的化归思想；角的终边位置上点的不确定引起的

分类讨论思想.

3.常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域

为卜工4+E,kRZr.

课时对点练注重双基强化落实

1/基础巩固

1

1.已知角。的终边与单位圆交于点（一半,-