2021-2022学年新教材苏教版高中数学必修第二册全册各章综合测验合集含答案解析

苏教版高中数学必修第二册各章综合测验

第九章平面向量..........................................................1

第十章三角恒等变换.....................................................13

第十一章解三角形.......................................................27

第十二章复数...........................................................39

第十三章立体几何初步...................................................49

第十四章统计...........................................................66

第十五章概率...........................................................79

模块综合测验...........................................................90

第九章平面向量

一、单选题(每小题5分，共40分)

1.已知向量a=(l,2),b=(-2,-4),|c|=V5，若(a+b>c=|，则a与c

的夹角0为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【解析】选C.设c=(x,y),

贝!］由(a+b)・c=|，得x+2y=-|.

_a.cx+2yi

ycos0=m=许=-2，即m2。。.

2.已知两点A(2,-1),B(3,1),与®平行且方向相反的向量a可能是()

A.(1,-2)B.(9,3)

C.(-1,2)D.(-4,-8)

【解析】选D.®=(3-2,1+1)=(1,2),

因为(-4,-8)=-4(1,2),所以(-4,-8)满足条件.

3.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量期同方向的单位向量为()

停，4）

A.B.

层，I）

C.D.

【解析】选A.由已知得，期=（3,-4）,

所以期|=5,因此与®同方向的单位向量是

5^=11，/.

4.已知0是直线AB外一点，C,D是线段AB的三等分点，且AC=CD=DB.

如果OA=3ei,OS=3e2,那么0t）等于（）

A.ei+2e2B.2ei+e2

212

3e]+3e2D.gei+§e2

【解析】选A.如图所示,

ot）=oA+At）=oA+|®=oA+j（o6-oA）=|oA+|06=

ei+2e2.

5.（2021•浙江高考）已知非零向量a,b,c,贝（］a,c=b・c是a=b的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.若c_La且c_Lb，则a-c=b-c=0,

但a不一定等于b,故充分性不成立.

右a=b,则a-c=b-c,故必要性成AZ.

故"a-c=b-c”是“a=b”的必要不充分条件.

6.O为平面上的定点,A,B,C是平面上不共线的三点，若(谛-Ot)(06

+Ot-20A)=0,贝!!AABC^()

A.以AB为底边的等腰三角形

B.以BC为底边的等腰三角形

C.以AB为斜边的直角三角形

D.以BC为斜边的直角三角形

【解析】选B.因为06-ot=cfi,ofi+ot-2OA=ofi-oA+ot-

oA=Afe+At，所以0(Afi+&)=0,所以AABC为以BC为底边的等

腰三角形.

7.已知向量a=(sin[a+聿)，,b=(4,4cosa-小)，若a±b，则sin(a+第

11

ABcV3D

-V43-4-44-

【解析】选B.由a_Lb得a-b=0,

即4sin(a+1+4cosa-仍=0,

1

兀

班

以

所-na+---

-si34

、

‘1

兀

++一

a4731二sina3=4-

、

、

8.如图，在平面四边形ABCD中，AB±BC,AD±CD,ZBAD=120°,AB=

AD=1.若点E为边CD上的动点，则AfeBfc的最小值为()

C

E,

\

A

21325

A.T7B.5C.T7D.3

lo2lo

【解析】选A.以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图的平面直角坐标

系，

因为在平面四边形ABCD中，AB=AD=1,ZBAD=120°,

所以A(0,0),B(l,0),D1-；,

设C(l,m),E(x,y),

所以比=[l，m考，&)=[[，当，

因为AD±CD,

解得m=#，即C(1,小),

因为E在CD上,

由C,E,D三点共线,

厂、巧山

/苕-y42

得二一=----1，即x=6y-2,

因为Afe=(x,y),Bfi=(x-1,y),

所以AfeBfi=(x,y)-(x-1,y)=x2-x+y2=(\［3y-2*-小y+2+y2=4y2

-5^3y+6,

令f(y)=4y2-5/y+6,yg坐，#.

因为函数f(y)=4y2-5小y+6在［乎,平］上单调递减，在］平,4］上单调

递增，

所以f(y)min=4x|^^j-5小+6=||.

71

所以碇B£的最小值为法.

二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对的得5分，选对但不全的得2分,

有选错的得0分)

9.下列说法错误的是()

A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小

C.向量的大小与方向有关

D.向量的模可以比较大小

【解析】选ABC.向量不能比较大小，但是向量的模是实数，可以比较大小.

10.下列命题错误的是()

A.若aIIb,则a与b的方向相同或相反

B.若allb,bile,则allc

c.若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等

D.a=b,b=c,贝！］a=c

【解析】选ABC.由于零向量的方向是任意的，且规定与任意向量平行，故取a

=0，则对于任意的向量b,都有allb,A错误；取b=0,则对于任意的向量a,

c都有aIIb,bIIc,B错误；两个单位向量互相平行,方向可能相反,C错误；

由两个向量相等的概念可知D正确.

11.已知向量期与向量乱共线，下列关于向量碇的说法中，正确的为（）

A.向量友与向量赢一定同向

B.向量友与向量期一定共线

C.向量友与向量就一定相等

D.向量友与向量阮一定共线

【解析】选BD根据共线向量的定义,可知油,At这三个向量一定为

共线向量，B,D正确.

12.已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量Xi,X2,X3,X4,X5和yi,y2,

ya,y4,ys均由2个a和3个b排列而成.记S=xi-yi+x2-y2+x3-ya+X4-y4+x5-ys,

Smin表示S所有可能取值中的最小值.则下列说法正确的是（）

A.S有5个不同的值

B.a±b，贝［］Smin与|a|无关

C.若aIIb,则Smin与|b|无关

D.若|b|>4|a|,贝（JSmin>0

【解析】选BD.由已知得，S的取值依据含a2的个数，分三类：有0个az,有1

个a2,有2个a?.分别得S的取值为Si=4|a||b|-cos0+b2,S2=2|a||b|cos0+a2+

22

2b,S3=2a+3b2(记0为a,b的夹角).S至多有3个不同的值,故A错误；若

a±b，则。=90。，易知Smin=S1=b2=|b|2,与|a|无关,故B正确；若aIIb,则S

的三个值均与|b|有关,所以Smin一定与|b|有关,故C错误；若|b|〉4|a|,则Si>-

16a2|cos0|+16a2=16a2(l-|cos0|)>0,S?>-8a2|cos0|+a2+32a2=a2(33-8|cos

9|)>0,S3>0,所以Smin>0,故D正确.

三、填空题(每小题5分，共20分)

7T

13.已知单位向量a,b的夹角为w，则|a-b|=.

【解析】单位向量a,b的夹角为鼻,

贝！］|a-b|=a2-2ab+b2=1-2xlxlx|+1=1.

答案：1

14.(2020・全国工卷)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a±b，贝Um

【解题指南】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标

表示，求得结果.

【解析】由a_Lb可得a-b=0,

又因为a=(l,-1),b=(m+1,2m-4),

所以ab=l-(m+1)+(-l)-(2m-4)=0,即m=5.

答案：5

I2.

15.已知P为^ABC所在平面内一点，且满足#=5At建,贝！］AAPB

的面积与AAPC的面积之比为.

【解析】由题意，得5邛=&+2期,

得2耶-2®=碇-耶-2AP,

得-2修+PS)=P^,如图所示,

C

E

以PA,PB为邻边作口PAEB,

则C,P,E三点共线，连接PE交AB于点0,

贝卮=2EP=40t».

、SAAPB2s△APO2|OP|1

所以==~i^V=9.

SAAPCSAAPCFD2

答案：1：2

16.已知点P(-3,0),M(1,2),A(0,b),Q(a,0)(a>0)满足PA&=0,A,

M,Q三点共线，则b=.

【解析】PA=(3,b),能=(a,-b),由PX•於=0得3a=b2①，抽=(-

1,b-2),=(a-1,-2),A,M,Q三点共线,所以MAIIM^,

即(b-2)(a-1)=2②，由①②及a>0得b=-1或b=3.

答案：-1或3

四、解答题(共70分)

17.(10分)已知|a|=l,|b|=V2.

(1)若a11b且同向，求a-b；

(2)若向量a,b的夹角为135°,求|a+b|.

【解析】⑴若aIIb且同向，则a与b的夹角为0°,此时ab=|a||b|=啦.

(2)|a+b|=yj(a+b)2=^/a2+b2+2a-b=弋1+2+2啦cos135。=1.

18.(12分)已知非零向量ei,e2不共线.

⑴如果◎=ei-e2,Bt：=3ei-e2,Ct)=3d-5e2,求证A,B,D三点共线；

⑵欲使kei+e2和ei+ke2共线,试确定实数k的值.

【解析】⑴因为◎=ei-e2,Bt)=氏+Cb=3ei-e?+3ei-5e2=6©-e2)

=6处.所以期，就)共线，且有公共点B,所以A,B,口三点共线.

(2)因为kei+e2与ei+ke?共线,所以存在实数X，使kei+e?=k(ei+kez),即(k

k-X=0z

-九)ei=(九k-l)e2,由于ei与e2不共线,只能有彳所以k=±1.

Xk-1=0z

19.(12分)已知在四边形ABCD中，E,F分别是AD,BC的中点，求证：Ef

=|(Afi+Dt).

【证明】证法一：如图1,首先建立平面直角坐标系.

设A(xi,yi),B(X2,y2),C(x3,ys),D(x4,y4),

则有期=(X2-xi,y2-yi),

氏=(X3-X4,y3-y4).

所以;(◎+比)=X2-X1+X3-X4,y2-yi+y3-y4

-I22,

又因为E,F分别是AD,BC的中点，

/AC\

所以EX〕+X4yi+y4FX2+X3y2+y3

、

X2+X3-Xl-X4y2+y3_yi_y4

所以品

227

所以E?=1(Afi+比).

证法二：如图2,Ef=E£)+Dt+C?，①

E?=E1+A6+BP，②

①与②相加得，2的=氏+期,

所以E?=1(Dt+◎).

20.(12分)已知a=(cosa,sina),b=(cosP,sin0),且|ka+b|=小|a-kb|(k>0).

(1)用卜表示数量积ab；

⑵求ab的最小值，并求出此时a与b的夹角.

【解析】(l)fi|ka+b|=V3la-kb|,

得(ka+b)2=3(a-kb)2

所以k2a2+2kab+b2=3a2-6kab+3k2b2

所以g-3)a2+8ka-b+(1-3k2)b2=0.

又a=(cosa,sina),b=(cosP,sinP),

故|a|=|b|=1,

所以k2-3+8ka-b+1-3k2=0,

2k2+2k2+1

所以a-b=飞1==•

k2+1i(n

(2)由(1)得a-b=w^=4[k+Q.

由函数单调性得f(k)=((k+J在(0,1]上单调递减，在(1,+oo)上单调递增，

所以当k=1时，f(k)min=f(l)=1(1+1)=1.

设此时a与b的夹角为e,

EIcab1

贝hos。=丽=2，

又O°W0W18O°,所以<=60。.

21.（12分）已知向量a=（1,小），b=（-2,0）.

⑴求a-b的坐标以及a-b与a之间的夹角；

（2）当te[-1,1]时，求|a-tb|的取值范围.

【解析】⑴因为a-b=（l,小）-（-2,0）=（3,小）,

所以a-b的坐标为（3,小）.

设a-b与a之间的夹角为9,

(a-b)-a3x1+小乂仍

贝！］cos0=----------=I----~%,

la-b||a|勺9+3义71+3

兀

而0<0<71，故。=石.

⑵因为a-tb=(l,市)-t(-2,0)=(l+2t,^3),

所以|a-tb|=吊(1+2t)2+3

所以t=-；时，|a-间的最小值为小,

t=1时，|a-tb旧勺最大值为2季,

故la-tb|的取值范围为[5,2^3].

22.（12分）已知向量a=,；sinx+坐cosx）和向量b=（1,f（x））,且aIIb.

(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；

⑵已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若有(Aq)=小，BC=小,

sinB=,求AC的长度.

【解析】由aIIb得;f(x)=；sinx+坐cosx

所以f(x)=sinx+^/3cosx=2sin[x+g

_9jr

(l)f(x)的最小正周期为T=1=2兀，

当sin(x+»=1时,f(x)max=2.

(2)由白-||二小

得2sinA二小,

所以sinA等,由黑=篇，

回

/日…BCsinB57,

得AC=^^=^r=2.

2

第十章三角恒等变换

一、单选题（每小题5分，共40分）

1.（2020•全国ID卷）已知2tan。-tan=7,则tan。=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【命题意图】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.

1+tan0

【解析】选D.由题意可知2tan0-=7

1-tan0z

整理得：2tan0-2tan20-1-tan0=7-7tan0,

解得tan0=2.

2.若sina+cosa=也，则tana+马M的值为（）

A.1B.2C.-D.-2

sinacosa1

【解析】选B.tana+^^+-=~

idiiacosasmasmacosa

-

1

-

2

所以

八tana+;t-a-n--a-=2.

3.函数y=sinQx+1J+sinQx-gj的最小值为（）

A.\[2B.-2C.-\[2D.73

【解析】选C.y=sin（^2x+sinQx-裔

=sm・c2xcos兀+cosc2xsi・n兀+si,nc2xcos兀-

cos2xsin7=sin2x,

所以函数y的最小值为-V2.

什止f371L则sin住+争=()

4.右sin(兀-a)=-3且口金(兀，~2

D.小

A-3B-6C,6

J5

【解析】选B.sin(7i-a)=sina=-3/

口(3*

又a*,司,

所以cosa=-A/1-sin2a=-A/1

J

Scosa=2cos-1，,£仔，挈

但—A/C0Sa+1-A/-3+1,@

cos2--\l2--\l2--6/

r-r-.v..伊工a'a乘

所以sm[2+2)=cos2=-6-

5.已知函数f(x)=cos2(j+x)-cos2|j-x)，则底）等于（）

3113

A-16B16C-4D-4

【解析】选A.f(x)=cos2(j+x)-cos2(j-x)

1+cos(j+2x)1+cos(j-2x)

"2,2，

1-sin2x1+sin2x1-sin22x

-2,2-4，

6.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在

小-1

生产和科研实践中得到了非常广泛的应用0618就是黄金分割比1=七一的近

1-2sin227°

似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°,则一7--=()

t\]4-t2

V5-11

A.4B.-2-C.2D.2

1-2sin227°

【解析】选口把t=2sin18。代入I----

日4-t2

________cos54°____________sin36°_1

2sin18°^4-4sin218°4sin18°cos18°''

7.设^ABC的三个内角为A,B,C，向量m=(/sinA,sinB),n=(cosB，小

cosA),若m-n=1+cos(A+B),贝(]C=()

兀c兀八12兀5兀

A-6B-3CT口.豆

【解析】选C.因为nrn=小sinAcosB+sinB-

事cosA=小sin(A+B)=让sinC=1-cosC,

所以sin(c+袭)=|，又因为0<C<7i,

所以C+5=y，故C=专.

8.在^ABC中，若sin(B+C)sin(B-C)=sin2A,贝！]^ABC是()

A.等腰三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

【解析】选C.因为0<A<7i,所以sinA>0,同理sinC>0,

因为sin2A=sin（B+C）sin（B-C）

=sin（兀-A）sin（B-C）=sinAsin（B-C）,

所以sin（B-C）=sinA=sin（B+c）,

则sinBcosC-cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC可得cosBsinC=0,

兀

所以cosB=0,因为0<B<rt,所以B=2•

因此AABC是直角三角形.

二、多选题（每小题5分，共20分，全部选对的得5分，选对但不全的得2分,

有选错的得0分）

9.已知9£（0,兀），sine+cosk：，则下列结论正确的是（）

（it\3

A.ee6,叼B.cose=-m

37

C.tan9=-aD.sin0-cos9=5

【解析】选ABD.因为sin0+cos0=|①，

22

所以（sin0+cos0）=,

即sin20+2sin0cos0+cos20=表,

24

所以2sin0cos。二-三，因为,兀），

所以sin0>0,cos0<0,

所以（需,加）,

/.\249

所以（sin0-cos0J=1-2sin0cos。二三,

7

所以sin0-cos0=②，

43

①加②得sin9=^,①减②得cos。=-§,

4

八sin。54

所以

八tan0=cos70=-733,

-5

10.已知a,P是锐角,cosa=乎,cos(a-P)=圭护，贝'cosB=()

A•乎B书

C.兴D.一堂

【解析】选AC.由a是锐角,cosa=

则sina=1-cos2a;手

又a,B是锐角，则-,o)

/口(兀兀

得a-pGl-2/2

又cos(a-P)

则sin(a-位=

贝(]cosp=cos[a-(a-P)]=cosacos(a-P)+

sinasin(a-防李噜苦x喀

=3卡世，得cosB邛或cosB邦.

11.关于函数f(x)=3sinxcosx+3#sin2x-+1,下列命题正确的是(

A.由f(xi)=f(x2)=1可得Xl-X2是兀的整数倍

B.y=f(x)的表达式可改写成f(x)=3cos(2x-

+1

C.y=f(x)的图象关于点件,1)对称

7T

D.y=f(x)的图象关于直线x=-记对称

【解析】选BD.因为f(x)=3sinxcosx+3乖)sin2x-+1所以f(x)=|sin2x

-cos2x+1

=3sinRx-§+1.

A.由f(x)=3sin(2x-皆+1=1

得sin(2x-T=0,又函数的最小正周期T=兀，则xi-X2是弓的整数倍,

故A错误，

B.f(x)=3sin(2x-§+1

=3cos-Rx-圳+1=3cos管-2x)+1=3cos(2x-3+1,故B正确，

C.当x=学时，sin(2x苧-=sin佟-1)=siny=-；加，即函数关于

存，1)不对称，故C错误，

D.当x=若时，sin2x[-冷=

sin(-1-力)=sin(-&=T,是最小值，则y=f(x)的图象关于直线x=-

对称,故D正确.

_jr_____

12.已知0<a<P<2，且tana,tan0是方程x2-kx+2=0的两不等实根，则下

列结论正确的是()

A.tana+tanP=-kB.tan(a+P)=-k

C.k>2y/2D.k+tana>4

【解析】选BCD.因为tana,tanp是方程x2-kx+2=0的两不等实根,

所以tana+tan0=k,tanatan0二2,

tana+tan0k

tan(a+p)=-----------------=----=-k,

1-tanatan3-1

兀一

由0<a<P<2,tanaztanp均为正数，

则tana+tanp=k>2^/tana-tanp=2\[2,当且仅当tana=tanp时取等号，等号

不成立，

k+tana=2tana+tan^>2yj2tana,tanp=4,当且仅当2tana=tanp时取等号.

三、填空题（每小题5分，共20分）

yl1-2sin10°cos10°

13.化简：

cos10°-1-cos2170°

71-2sin10°cos10。4sin210°-2sin10°cos10°+cos210°

【解析】

cos10°-[1-cos2170°cos100-A/sin2170°

|sin10°-cos10°|cos10°-sin10°cos10°-sin10°

=--------------------=i

cos10°-Isin170°|COSIQ°-|sin(180°-10°)|cos10°-sin10°

答案：1

2

14.(2020•全国II卷)若sinx=-T,贝!]cos2x二

281

-

2X-1-2--

X-2X39-9

答案：g

15.定义运算d=ad-be,若cosa=,

sinasin0

=，0<p<a<^，贝Up=

cosacosB

sinasinP

【解析】根据题意得到=sinacosP-sin0cosa=sin(a-Pj=

cosacosP

3小

14

cosP=cos[a-(a-0)]=cosacos(a-0)+

sinasin(a-0),

又0<p<a<^,所以0<a-P<^,

cosa-P1-=U'

14s1兀

又cosa=y,sina=7，贝!!cosP=/,P=.

今I=I案•-3

16.已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P（-

tan(-a)+sin匕+a

a_

3,73)，则；tan2a+tan

cos(兀-a)sin(-3兀-a)

cosa=¥,tana=-^.

【解析】由题意得sina=3,

tan(-a)+sine+a近近

-tana+cosa3-22

cos(兀-a)sin(_3兀-a)-cosa)-sinaV313

X

22

1

2tanaasina/

tan2a=-=-4,tan2=2+小.tan2a+tan

1-tan2a1+cosa1-也

12

a

2=2

2

答案:"32

四、解答题（共70分）

17.(10分)已知.

⑴若sina=5，求sin（a+的值；

a+

⑵若cos[fj=5，求sina的值.

【解析】（1）因为sina=小,a£（0,

所以cosa,

近.12sfH2^5V15+275

所以sin+=2sina+2cosa=J。+]（）=[（）•

⑵因为a£（0,3，所以a+看JOT,

又因为cos[a+看）=乎,

所以sin（a+聿）=2^,

所以sina=sin[+聿）-*

4sin（a+春4cos（,

2^15小2VB-小

=10_io=io—

18.（12分）已知2sinx=cosx.

（1）求sin2x-sinxcosx的值；

x

（2）若7I<X<2TI，求tan]的值.

【解析】⑴由2sinx=cosx得tanx二;，

sin2x-sinxcosxtan2x-tanx1

贝!]sin2x-sinxcosx=----------------------=---------------

sin2x+cos2xtan2x+15.

X

2tanT1

..,21xx/口xr

(2)方)去一lanx="=2=>tano+4tan]-1=0,得tan]二-2±\/5,

1-tan]

j3兀兀x37iY

由兀vx<2兀及tanx=/>0得兀<xvg,贝%<了,所以tan2=-2-y[5.

_13兀

方;去二：由兀vx<2兀及tanx=/>0得兀〈xvg,

xXX

从而•亚维fXSini2sin]cos2

sinx_

/Anusmx=-cosx=-5,tan~

5z_x

一cos22cos21+cosx

19.(12分)在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识

来研究，在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两

角差的余弦公式：cos(a-P)=cosacos0+sinasinp.

具体过程如下：如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆。，以Ox为始边作角

a,0.它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B.

则01=(cosa,sina),OB=(cosP,sinP),

由向量数量积的坐标表示，有：G•㊄二

cosacosP+sinasinp,设OA,OS的夹角为0,贝(JOAOS=|0A|-|OS|cos0

=cos0=cosacos3+sinasin0,

另一方面,由图⑴可知，a=2kn+P+0；

由图(2)可知a=2k兀+P-B于是a-P=2k兀土。,k£Z.所以cos(a-0)=cos8,也

有cos(a-P)=cosacosP+sinasinp,所以,对于任意角a,0有：cos(a-P)=

cosacosP+sinasin3(Ca-p)

此公式给出了任意角a,p的正弦、余弦值与其差角a-P的余弦值之间的关系，

称为差角的余弦公式,简记作Ca-B.有了公式Ca一°以后，我们只要知道cosa,

cosP,sina,sin0的值,就可以求得cos(a-0)的值了•

阅读以上材料,利用图(3)单位圆及相关数据(图中M是AB的中点),采取类似

方法(用其他方法解答正确同等给分)解决下列问题：

⑶

(1)判断a=-J—。而是否正确？(不需要证明)

|OJvl|

、a+Pa-P

(2)证明：sina+sin0=2sin-cos.

【解析】⑴因为对于非零向量11,en是n方向上的单位向量,又|优|=1且

/1与8共线，

所以优=—^。而正确.

同

..P-a

(2)因为M为AB的中点则OM_LAB从而在《AM中加1|=|0A|.cos—

P-a

=cos2

又优苏1,ot=[cos"^sin"^,

|网12Z；

(c^•c\

_cosa+cospsina+smp

'2)'

a+B1(••r＞、

所以sin0上]sma+smp

P-aI2

cos

a+Pa-P

即sina+sinP=2sincos.

jr

20.(12分)已知函数f(x)=sin(2x+4)-cos2x+1,xGR.

⑴若X寺周，求函数f(x)的值域；

4

(2)已知a为锐角且f(a)=3,

求sin(2a+春的值.

【解析】⑴因为f(x)=sinQx+春-cos2x+1

兀兀

=sin2xcos+cos2xsin不一cos2x+1

1

sin2x+5cos2x-cos2x+1

一2

1

sin2x-cos2x+1=sin2X+L

一2-6)

入_兀「兀5兀

令t=2x-j,

则sinte弓，1，即f(x)£2,2

故函数f(x)的值域为性，2.

(2)由f(a)=sin(2a-1+1=1

nsin"a-W=],又因为a为锐角，

所以2a焉，又sin（2a用=|<|，所以2（1-看£（0舄,

即有cos12a-寿=平.

所以sin（2a+=sin[（2a+1

兀711+2水

=sm2a-ICOS2+cos2a-Isin3=-'

21.（12分）如图所示,在直角坐标系xOy中，点

A（2,0）,B（-2,0），点P,Q在单位圆上,以x轴正半轴为始边,以射线

OP为终边的角为0,以射线OQ为终边的角为（p,满足（p-。.

⑴若,求oAQA.

⑵当点P在单位圆上运动时,求函数f(e)=邓•腌的解析式,并求f(e)的最

大值.

【解析】⑴由题图可知，ZPOA=0=,ZQOA=1=y.OAQA=

OA-(oA-g)=OA2-OA=22-2xlxcos=4+^/3.

(2)由题意可知P(cos0,sin,Q(cos(p,sin(p).

因为cos(p=cos[e+野=-sin9,sincp=

sin10+,=cos0,所以Q(-sin0,cos0).

所以耶=(cos0-2,sin0),=(-sin0+2,cos0).

所以f(0)==(cos0-2)(2-sin0)+sin0cos0=2cos0-sin0cos0+

2sin0-4+sin0cos0=2吸sin-4.

当。=2k7i+去(k£Z)时,f(e)取得最大值2y/2-4.

I兀x\

22.(12分)已知函数f(x)=4sin+^\-sinx+(cosx+sinx)(cosx-sinx)-1.

(1)求满足f(x)>l的实数X的取值集合.

(2)当a>-2^2时，若函数g(x)=1f(2x)+a-f(x)-a-^-x)-a-1

在[-["的最大值为2,求实数a的值.

【解析】(Df(x)=21-cosg+x]-sinx+cos2x-sin2x-1=(2+2sinx)sinx+1

-2sin2x-1=2sinx,由f(x)=2sinx>l,

兀5兀

得x£4+2k兀,玉~+2k?i,(k£Z).

1

(2)g(x)=sin2x+asinx-acosx-ga-1,

令sinx-cosx=t,

则sin2x=1-t2,

所以y=l-t2+at-^a-1=-t2+at-a=-ft-2+y-日a.

因为t=sinx-cosx=y[2sin(x-争,

]兀兀,=兀兀兀

所以-V2<t<l.

①当-啦埼口,

a2]

即-25<a<2时，ymax=了-1a,

a2J

由4-]2=2,得22-22-8=0,

解得a=-2或a=4(舍),

②当叁>1,即a>2时，在t=1处ymax=-1,

由T-1=2得2=6.因止匕a=-2或a=6.

第十一章解三角形

一、单选题（每小题5分，共40分）

1.在AABC中，A=60。，B=75。，a=10,则c等于（）

A.5^2B.IOJ2C.D.5册

【解析】选C.因为A=60。，B=75。，所以C=180。-A-B=45。，所以由正弦

asinClOsin45°]即

定理知c=M=^60^=3

2.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=小,c=2,cosA

2

=3，则b=()

A.^2B.小C.2D.3

【解析】选D.由余弦定理得4+b2-2x2bcosA=5,整理得3b2-8b-3=0,解

得6=3或6=-1倍).

,—a+b+c

3.在AABC中，A=60°a=V13,贝U-------------------------=()

sinA+sinB+sinC

A巡B迎C迎D2s

.3JJ.3•3\.J•J

a+b+c_a_

【解析】选B.由正弦定理和比例的性质可得-----------------

sinA+sinB+sinCsinA一

正2y[39

sin60°一3

4.在AABC中,若®•双=2且NBAC=30。，则AABC的面积为()

A.y/3B.2^3C.坐D.

【解析】选C.由已知得电•双=|®||双330。=2,所以◎||&1=东,

SAABC=T|Afi||At：|sin30°=141V3

又忑叼=3

5.在AABC中，D是边BC上一点，若AD±AC,

sinZBAC=,AD=3,AB=3^/2,BD=()

A.y/3B.2C.2小D.3

【解析】选A.画出图象如图所示.

由诱导公式得sinZBAC=sin[/BAD+习