湖北省鄂东南省级示范高中2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（含解析）

湖北省鄂东南省级示范高中学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题考试时间：2024年11月14日下午15:00-17:00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数，则的虚部为（

）A．2i B． C．2 D．2．已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．3．已知，则在方向上的投影向量的坐标为（

）A． B． C． D．4．圆与圆的公共弦长为（

）A． B． C． D．5．已知平面向量满足.则向量与向量的夹角为（

）A． B． C． D．6．一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4，5，6的6个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和不超过6”，事件“摸出的两个球的编号都大于3”，事件“摸出的两个球中有编号为4的球”，则（

）A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是对立事件C．事件与事件是互斥事件 D．事件与事件是互斥事件7．如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（

）A． B． C． D．8．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法不正确的是（

）A．若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为B．不与坐标轴平行或重合的直线，其方程一定可以写成两点式C．是直线与直线垂直的充要条件D．是直线与直线平行的充要条件10．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内的一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（

）A．的最小值为B．当与垂直时，直线与平面所成的角的正切值为C．三棱锥体积的最小值为D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为11．已知曲线，点为曲线上任意一点，则（

）A．曲线的图象表示两个圆 B．的最大值是C．的取值范围是 D．直线与曲线有且仅有2个交点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为.13．在平面直角坐标系Oxy中，圆上存在点到点的距离为2，则实数的取值范围为.14．已知实数满足，则的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在中，已知点边上的高线所在的直线方程为，角的平分线所在的直线方程为.(1)求直线AC的方程；(2)求直线AB的方程.16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.(1)求；(2)若的面积为，求BC边上中线的长.17．黄石二中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组50,60，第二组60,70，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.(1)求出频率分布直方图中a，b的值，并估计此次竞赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差；(3)甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率.18．如图，在四棱锥中，为等边三角形，，为AD的中点.(1)求证：平面平面；(2)若点在线段上运动（不包括端点），设平面平面，当直线与平面所成角取最大值时，求平面与平面夹角的余弦值.19．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数且，那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知直线，直线，点为和的交点.(1)求点的轨迹方程；(2)点为曲线与轴正半轴的交点，直线交曲线于A，B两点，与A，B两点不重合，直线MA、MB的斜率分别为，且，证明直线过定点，并求出该定点；(3)当点在曲线上运动时，求的最小值.1．C解析：因为，所以，其虚部为：2.故选：C2．B解析：运用两点间的斜率公式，，，过点的直线与线段AB有公共点时，如图所示，直线斜率的取值范围是.

故选：B.3．D解析：因为，所以，，所以，所以在方向上的投影向量的坐标为.故选：D.4．C解析：圆①与圆②，①－②得，即公共弦方程为，又圆的半径为，圆心为，圆心到直线距离，所以公共弦长为.故选：C.5．A解析：已知，根据向量模长公式.因为，将其两边平方可得.根则有.，所以；，所以.代入上式可得，化简得，所以.，解得.因为，所以.故选：A.6．D解析：解：由题意可知：所以基本事件为：，；；，所以，，，对于A，因为，而，故错误；对于B，因为，所以事件与事件不是对立事件，故错误；对于C，因为，则，所以事件与事件不是互斥事件，故错误；对于D，因为，，所以，所以事件与事件是互斥事件，故正确.故选：D.7．A解析：依题意，，在四棱台中，，设，则四点共面，.故选：A8．B解析：依题意，平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，设直线的方向向量为，，，∴，令，∴直线与平面所成角的正弦值为.故选：B.9．ACD解析：对于A选项，直线的斜率为时，倾斜角的范围是.当不在这个区间时，不能直接说直线的倾斜角为.例如时，，但直线倾斜角.所以A选项说法不正确.

对于B选项，不与坐标轴平行或重合的直线，它有两个不同的点.两点式方程（且）适用于这种直线，所以其方程一定可以写成两点式，B选项说法正确.

对于C选项，对于直线和，若两直线垂直，则.对于直线与直线，由垂直条件可得，即，解得或.所以是两直线垂直的充分不必要条件，C选项说法不正确.

对于D选项，若两直线平行，则.对于直线与直线，由平行条件可得.由得，即，解得.当时，，，，不满足，所以两直线不平行.所以不是两直线平行的充要条件，D选项说法不正确.故选：ACD.10．ABC解析：如图，令中点为中点为，连接MN，又正方体中，为棱的中点，可得，平面平面，又，且平面平面平面，又平面，且平面平面，又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面，的轨迹为线段，对A，将平面和平面展开到一个平面内，的最小值即点和点连线的距离，由题意易得，所以，从而可得取最短距离时，是的中点，且，又，所以，所以，故A正确；对B，的轨迹为线段与平面ABCD所成的角即与平面所成的角，F点到平面的距离为点在平面的射影P在上靠近点的四等分点，，故直线与平面ABCD所成的角的正切值为，故选项B正确；对C，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为，所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小，此时，所以体积最小值为，故选项C正确；对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时，由已知得此时，所以在底面的射影为底面外心，，所以底面为直角三角形，所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为，由，可得外接球半径，其外接球的表面积为，故选项D错误．故选：ABC.11．ACD解析：对于A，由得，即，所以或，所以曲线表示以为圆心，为半径的两个圆．故A正确.对于表示到原点距离的平方再加1，如图，根据两圆关于原点对称，故最大值考虑一种情况即可，即为.故B错误.对于表示点与点连线的斜率.如图，设过点且与圆相切的直线为，由直线与圆相切得或故C正确.对于D，由C知，时，则直线为，与圆M相切.圆心N到直线距离，故直线为，与圆N相切.直线与曲线有且仅有两个交点.故D正确.故选：ACD.12．或解析：当直线过原点时,因为直线过原点和点，则斜率.直线方程为，即.

当直线不过原点时,设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，直线的截距式方程为.因为直线过点，将点的坐标代入截距式方程.解得.所以直线方程为，化为一般式为.

故所求直线方程为或.故答案为：或.13．解析：圆的标准方程为，故圆是以为圆心，1为半径的圆，的轨迹是以为圆心，2为半径的圆.依题意，两圆有交点，则，两边平方得，解得，所以实数的取值范围为.故答案为.14．解析：设Ax1,因为，，所以、为圆上的两点.如图：

则.又，所以，取中点，则.作直线：，作，，，，垂足分别为，，，.所以又，所以.即.所以.故答案为：15．(1)(2)解析：（1）边上的高线所在的直线方程为，边可设为又点在AC边上，，求得直线AC的方程为.（2）由，解得设点关于直线对称的点，解得,又点在直线AB上，，则求得直线AB的方程为：，即.16．(1)(2)解析：（1）由题设得于是故由正弦定理得又，故.（2）由（1）知，所以是顶角为，底角为的等腰三角形，即，，设BC边上中线的长为，则有..17．(1)，(2)第二组、第四组的方差是(3)解析：（1）由题意可知：，解得可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以平均数等于，（2）设第二组、第四组的平均数与方差分别为，且两组频率之比为，成绩在第二组、第四组的平均数成绩在第二组、第四组的方差，故估计成绩在第二组、第四组的方差是.（3）设“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，“丙解出该题”为事件，“甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题”为事件，由题意得，所以，所以，所以乙、丙各自解出该题的概率为，则，因为，所以，因为相互独立，所以，所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为.18．(1)证明见解析(2)解析：（1）证明：连，又，即，均为等边三角形，，所以四边形为菱形．取中点，连.为等边三角形，，又，即，又平面.平面.又平面平面平面.（2）解：平面平面平面PCD又平面平面，建立如图的空间直角坐标系，易得，，令，，令平面法向量为，，令，可得：，即，，令，当，，所以平面的法向量，，设平面的法向量，令，，得设二面角的夹角为，19．(1)(2)证明见解析，（）(3)解析：（1）当时，，此时，交点为当时，由，斜率为t，由，斜率为，综上，.直线恒过，直线恒过，若为的交点，则，设点，所以点的轨迹是以EF为直径的圆，又因为当代入方程得到不成立，所以点的轨迹不包含点.则圆心为EF的