《信号与系统分析》课件第4章

第4章连续时间信号与系统

的复频域分析

4.1拉普拉斯变换

4.2单边拉普拉斯变换的性质4.3拉普拉斯变换的MATLAB实现4.4拉普拉斯逆变换4.5部分分式展开及拉普拉斯逆变换MATLAB实现4.6连续系统的复频域分析

4.1拉普拉斯变换

4.1.1单边拉普拉斯变换在实际应用中，大多数情况下仅仅涉及因果信号和因果系统，即t<0时输入信号和输出信号均为零。为此定义信号的单边拉普拉斯变换如下：(4-1)其中,s为复变量,s=σ+jω,σ、ω为实数。积分下限从0-开始是考虑到信号f(t)在t=0处可能包含有冲激或不连续点，一般情况下我们将积分下限写为0，只在必要时(即f(t))在t=0处含有冲激或不连续时)才将之写为0-。F(s)的逆变换表示为(4-2)这样式(4-1)和式(4-2)便构成单边拉氏变换对。这里有表示取正变换，用表示取逆变换。F(s)和f(t)分别称为象函数与原函数。f(t)与F(s)的关系简记为。从本节开始，我们将单边拉氏变换简称为拉氏变换，除非特别指明，所涉及的拉氏变换均指单边拉氏变换。4.1.2拉普拉斯变换的收敛域

从定义可知，式(4-1)中的积分收敛，信号f(t)的拉氏变换F(s)才存在。这说明，一个信号的拉氏变换由代数表示式和使该表示式能成立的变量s值的范围共同确定。一般把使式(4-1)积分收敛的s值的范围称为拉氏变换的收敛域(RegionofConvergence),简记为ROC。也就是说，ROC是由这样一些s=σ+jω组成，对这些s来说，e-σtf(t)的傅里叶变换收敛。为进一步讨论ROC，下面先介绍零、极点的概念。

1.s平面与零、极点

借助复平面(又称为s平面)可以方便地从图形上表示复频率s。如图4-1所示，水平轴代表s的实部，记为Re[s]或σ,垂直轴代表s的虚部，记为Im[s]或jω,水平轴与垂直轴通常分别称为σ轴与jω轴。如果信号f(t)绝对可积，则可从拉氏变换中得到傅里叶变换：F(jω)=F(s)|σ=0或等价写为F(jω)=F(s)|s=jω在s平面上，σ=0对应于虚轴，因此，通过沿虚轴对拉氏变换求值便可得到傅里叶变换。

jω轴把s平面分为两半，jω轴左边区域称为左半平面，jω轴右边区域称为右半平面。在左半平面上，s的实部为负，在右半平面上，s的实部为正。图4-1

s平面在工程上最常遇到的拉氏变换的形式是有理分式，即F(s)为两个多项式之比，称为有理拉氏变换。其一般表示式可写为(4-3)将分子与分母分别进行因式分解后，F(s)可写为(4-4)式中，zk是分子多项式的根，称之为F(s)的零点；pk是分母多项式的根，称之为F(s)的极点。在s平面上，用符号“”表示零点的位置，用符号“×”表示极点的位置，如图4-1所示。该图称为F(s)的零极点图。显然，除了常数bm,F(s)由s平面上的零、极点位置唯一确定。

2.单边拉氏变换收敛域的特性单边拉氏变换的ROC是s平面上某一条直线Re[s]=σ0的右边，若变换是有理的，则ROC位于最右边极点的右边。也就是说，由单边拉氏变换的表示式即可唯一确定其ROC。故在讨论单边拉氏变换时，可以不标出ROC。【例4-1】确定指数信号f(t)=e-atU(t)(a>0,实数)的拉氏变换及其收敛域，并画出零极点图。解将f(t)代入式(4-1),得为求e-(s+a)t的极限，利用s=σ+jω,得到现在若σ>-a,则当t→∞时,e-(σ+a)t→0,此时若σ≤-a,则F(s)不存在,因为积分不收敛。因此,该信号拉氏变换的ROC是σ>-a,或者等效为Re[s]>-a。图4-2的阴影部分代表ROC,极点位于s=-a处。图4-2

【例4-1】的收敛域和零极点图4.1.3常用信号的拉普拉斯变换1.单位阶跃信号U(t)所以(4-5)2.单边指数信号eatU(t)(a为任意常数)所以(4-6)3.单位冲激信号δ(t)所以(4-7)4.2单边拉普拉斯变换的性质

拉氏变换的性质与傅里叶变换相似。在下面的讨论中，我们假设4.2.1线性特性(4-8)式中,a1,a2为常数。【例4-2】求单边余弦信号cosω0tU(t)和单边正弦信号sinω0tU(t)的拉氏变换。解由欧拉公式，得而故由线性特性(4-9)类似地，由可得(4-１0)4.2.2时移特性(4-11)【例4-3】求图4-3所示的矩形脉冲的象函数。图

4-3

【例4-3】图解f(t)=U(t)-U(t-τ)

因为所以本例中和

的ROC均为Re[s]>0,极点均在s=0处。但有一个s=0的零点，抵消了该处的极点，相应地ROC扩大为整个s平面。4.2.3复频移(s域平移)特性,s0为任意常数(4-12)【例4-4】求e-atcosω0tU(t)及e-atsinω0tU(t)的象函数。解因为由s域平移特性，有和4.2.4尺度变换(时-复频展缩)特性(4-13)【例4-5】求U(at),a>0的拉氏变换，并由此说明U(at)=U(t)。解令,则,由尺度变换特性得所以4.2.5时域卷积定理

类似于傅里叶变换的卷积定理，在拉氏变换中也有时域卷积定理与复频域卷积定理，时域卷积定理在系统分析中更为重要。若f1(t)和f2(t)为因果信号，即对t<0,f1(t)=f2(t)=0,则(4-14)4.2.6微分定理1.时域微分(4-15)特别地，对因果信号，有(4-16)【例4-6】信号f(t)如图4-4所示，分别通过直接计算和微分特性求的拉氏变换。图4-4

【例4-6】图解由图4-4可得所以下面用微分特性重推此结果。记,则,由微分特性得2.复频域微分(s[HTH]域微分)推广至一般情形(4-17)【例4-7】求tU(t)和tnU(t)的拉氏变换。解因为由复频域微分特性，得即同理(4-19)4.3拉普拉斯变换的MATLAB实现

MATLAB提供了计算符号函数正、反拉氏变换的函数：laplace和ilaplace，其调用形式为

F=laplace(f)

f=ilaplace(F)上两式右端的f和F为时间函数和拉氏变换的数学表示式。通常还需要使用函数sym和syms将一般变量转换为“符号变量”，比如s=sym(str)或symsxyt等，其中str是字符串。

【例4-8】用laplace和ilaplace求：(1)f(t)=e-2tcos(at)u(t)的拉氏变换。(2)的拉氏逆变换。(3)的拉氏逆变换。解求解的代码如下(1)

%programch4-8-1symsat;F=laplace(exp(-2*t)*cos(a*t)),%orcandoitlikethis:%f=sym(′exp(-2*t)*cos(a*t)′);%F=laplace(f)运行结果为F=(s+2)/((s+2)2+a^2)(2)

%programch4-8-2symss;F=1/［(s+1)*(s+2)］;f=ilaplace(F);运行结果为f=exp(-t)-exp(-2*t)(3)%programch4-8-3clear;symss;F=(3*s+4)/［(s+1)*(s+2)^2］;f=ilaplace(F)运行结果为f=exp(-t)+2*t*exp(-2*t)-exp(-2*t)【例4-9】用MATLAB求解【例4-2】。解求解的代码如下：

%programch4-9symsw0t;F1=laplace(sin(w0*t))F2=laplace(cos(w0*t))运行结果如下：

F1=

w0/(s^2+w0^2)F2=

s/(s^2+w0^2)【例4-10】用MATLAB求解【例4-3】,设τ=1。

解求解的代码如下：%programch4-10R=0.02;t=-2:R:2;f=stepfun(t,0)-stepfun(t,1);S1=2*pi*5;N=500;k=0:N;S=k*S1/N;L=f*exp(t′*s)*R;L=real(L);S=［-fliplr(S),S(2:501)］;L=［fliplr(L),L(2:501)］;subplot(2,1,1);plot(t,f);xlabel(′t′);ylabel(′f(t)′);axis(［-2,2,-0.5,2］);title(′f(t)=u(t)-u(t-1)′);subplot(2,1,2);plot(S,L);xlabel(′s′);ylabel(′L(s)′);title(′f(t)的拉普拉斯变换′);运行结果如图4-5所示。图4-5

【例4-10】图【例4-11】用MATLAB求解【例4-4】。解求解的代码如下：%programch4-11symsaw0t;F1=laplace(exp(-a*t)*sin(w0*t))F2=laplace(exp(-a*t)*cos(w0*t))运行结果如下：

F1=

w0/((s+a)^2+w0^2)F2=

(s+a)/((s+a)^2+w0^2)【例4-12】用MATLAB求解【例4-7】。解求解的代码如下：

%program4-12symsat;F1=laplace(t)F2=laplace(t*exp(-a*t))运行结果如下：

F1=

1/s^2F2=

1/(s+a)^24.4拉普拉斯逆变换

在系统分析中，为了最终求得系统的时域响应，常需要求象函数的拉氏逆变换。直接利用式(4-2)计算逆变换需要复变函数理论和围线积分的知识，这已超出了本书的范围。实际上，常常遇到的象函数是有理函数，对于这种情况，通过部分分式展开，将F(s)表示为各个部分分式之和便可得到逆变换，无需进行积分运算。下面我们就讨论通过部分分式展开求有理函数逆变换的方法。假设式中an-1,an-2,…,a1,a0,bm,…,b0皆为实数，m和n为正整数。如果F(s)是非标准有理函数(即m≥n)，则用长除法把F(s)表示为(4-20)的形式，其中(注意若m<n,则Ck=0,F1(s)=F(s))此时分子多项式N1(s)的阶数低于分母多项式的阶数(即为真分式),可以用部分分式展开法确定F1(s)的逆变换。而对于式(4-20)中的第一项，利用及时域微分特性，可以找出中各项的逆变换为(4-21)其中,δ(k)(t)表示冲激函数δ(t)的第k阶导数。因此，下面仅需讨论真分式F1(s)的部分分式展开。为此，将分母作因式分解，把F1(s)表示为其中pk,k=1,2,…,n为极点按照极点的不同特点，部分分式展开有以下几种情况。4.4.1极点为实数且无重根

设p1,p2,…,pn为F1(s)互不相同的实极点，则F1(s)可分解为以下部分分式之和(4-22)和式中各项的拉氏逆变换可以由下式得到从而可得到F1(s)的逆变换。为了确定式(4-22)中第k个系数Ak,k=1,2,…,n,将式(4-22)两边乘以(s-pk)并令s=pk，则有

(4-23)【例4-13】设，求其逆变换。解对F(s)进行部分分式展开，写出用式(4-23)求出A1,A2,A3于是故f(t)=e-tU(t)-2etU(t)+e-2tU(t)【例4-14】求的拉氏逆变换f(t)。解F(s)不是真分式，首先用长除法将F(s)表示为真分式与s的多项式之和得到将第三项有理真分式作部分分式展开，得其中所以从而f(t)=δ′(t)+2δ(t)+4e-2tU(t)-2e-3tU(t)4.4.2极点为复数且无重根如果D(s)=0有复根，由于D(s)是实系数的，因此复根是成共轭对出现的，即F1(s)有共轭复数极点。此时仍可由式(4-23)计算各展开系数，但计算要麻烦一些。根据共轭复数的特点可以采取以下方法。不妨设F1(s)的共轭极点为-α±jβ,则F1(s)可表示为记则于是F1(s)可展开为(4-24)用式(4-23)求得A1,A2由于F2(s)是实系数的，故不难看出A1与A2呈共轭关系，假定A1=|A1|ejθ

A2=A*1=|A1|e-jθ

则如果把式(4-24)中共轭复数极点有关部分的逆变换以f0(t)表示，则(4-25)【例4-15】求F(s)=的拉氏逆变换。解利用式(4-25)可以得到在变换式含有复数极点时，也可在展开式中将共轭极点组合成具有实系数的二次项，以避免复数运算，我们通过下面的例子说明这种方法。

【例4-16】求的拉氏逆变换。解复数共轭极点为s=-1±j,可以将F(s)展开为其中于是将上式通分后，令其分子与F(s)的分子相等，便可求出B1与B2。于是可得

4s2+6=2［(s+1)2+1］+(B1s+B2)(s-1)

=(2+B1)s2+(4-B1+B2)s+(4-B2)由s2系数相等得出B1=2,由常数项相等得出B2=-2,因此于是f(t)=(2et+2e-tcost-4e-tsint)U(t)4.4.3极点为多重极点如果分母多项式D(s)=0含有多重根，不失一般性，设p1为r重根，而其余的为单根。此时F1(s)可表示为可以将F1(s)按如下形式作部分分式展开(4-26)即存在r个关于该极点的部分展开式，且相应的展开式系数A1k可由下式求得(4-27)利用式(4-29)及复频移特性求各项的逆变换，得到(4-28)【例4-17】求的拉氏逆变换。解对F(s)进行部分分式展开，写出用式(4-46)及式(4-50)求A1,A21,A22,得所以从而逆变换为f(t)=(e-t+2te-2t-e-2t)U(t)。4.5部分分式展开及拉普拉斯逆变换的MATLAB实现

MATLAB提供了函数residue用于将F(s)作部分分式展开或将展开式重新合并为有理函数。其调用的一般形式为［r,p,k］=residue(num,den)

(num,den)=residue(r,p,k)

其中，num和den分别为F(s)分子多项式和分母多项式的系数向量，r为部分分式的系数，p为极点组成的向量，k为分子与分母多项式相除所得的商多项式的系数向量，若F(s)为真分式，则k为零。

【例4-18】用部分分式展开法求的逆变换。解求部分分式展开的程序如下：%programch4-18formatratden=poly(［0

-1

-2

-2］);

%由分母多项式的根向量求得其系数向量num=［10001］;［r,p,k］=residue(num,den)运行结果为

r=-13/4

17/2

-2

1/4

p=-2

-2

-1

0

k=1由运行结果可知，F(s)的部分分式展开式为由此可得:【例4-19】用部分分式展开法求的逆变换。解由题可见，F(s)的分母不是多项式，可利用conv函数将因子相乘的形式转换为多项式的形式，因此将F(s)展开成部分分式的程序可写为%programch4-19clear;num=［1

-2］;a=conv(［10］,［11］);b=conv(［11］,［11］);den=conv(a,b);［r,p,k］=residue(num,den)运行结果为r=2.0000

2.0000

3.0000

-2.0000p=-1.0000

-1.0000

-1.0000

0所以：由此可得：f(t)=(2e-t+2te-t+1.5t2e-t-2)U(t)【例4-20】用MATLAB求解的逆变换。解求解的代码如下：

%programch4-20

clear;

formatrat;

den=poly(［-1

1

-2］);

num=［-5

-7］;

运行结果为

r=1

-2

1

p=-2

1

-1

k=［］由运行结果可知，F(s)的部分分式展开式为由此可得

f(t)=(e-2t-2et+e-t)U(t)【例4-21】用MATLAB求解的逆变换。解求解的代码如下：

%programch4-21

clear;

formatrat;

den=［156］;

num=［171820］;［r,p,k］=residue(num,den)运行结果为

r=-2

4

p=-3

-2

k=1

2由运行结果可知，F(s)的部分分式展开式为由此可得f(t)=(-2e-3t+4e-2t)U(t)+δ′(t)+2δ(t)【例4-22】用MATLAB求解的逆变换。解求解的MATLAB代码如下：

%programch4-22

clear;

symss;

F=(3*s^2+22*s+27)/(s^4+5*s^3+13*s^2+19*2+10);

f=ilaplace(F)运行结果为

f=

exp(-2*t)+2*exp(-t)-3*exp(-t)*cos(2*t)+2*exp(-t)*sin(2*t)即f(t)=(e-2t+2e-t-3e-tcos2t+2e-tsin2t)U(t)4.6连续系统的复频域分析

4.6.1微分方程的拉普拉斯变换求解单边拉氏变换在系统分析中的重要应用之一是求解由线性常系数微分方程描述的因果LTI连续系统在输入为因果信号时的响应，尤其当微分方程带有非零初始条件时，用单边拉氏变换求解更为方便。

【例4-23】某因果系统由微分方y″(t)+5y′(t)+6y(t)=f(t)描述，初始条件是y(0-)=2和y′(0-)=-12,输入信号f(t)=U(t),求系统的响应y(t)。解设,则。利用时域微分定理和线性特性，取微分方程两边的拉氏变换，得s2Y(s)-sy(0-)-y′(0-)+5［sY(s)-y(0-)］+6Y(s)=F(s)将F(s)和初始条件代入上式并合并，可以得到(s2+5s+6)Y(s)=(2s2-2s+1)/s于是解出将Y(s)作部分分式展开可得其中所以从而【例4-24】某因果系统的模拟框图如图4-6所示。已知f(t)=e-tU(t),求系统的零状态响应yf(t)。图4-6

【例4-24】图解如图4-6所示，设第二个积分器的输出信号为x(t),则两个加法器的输出方程为

x″(t)=f(t)-7x′(t)-12x(t)①y(t)=3x′(t)+x(t)②设,则在零状态条件下式①和式②的拉氏变换为s2X(s)=F(s)-7sX(s)-12X(s)③Yf(s)=3sX(s)+X(s)④由式③和式④解得⑤而

,代入式⑤得作部分分式展开，得其中所以从而【例4-25】在【例4-24】中,若y(0-)=1,y′(0-)=-2,求系统的全响应。解由【例4-24】中的式⑤可得系统的微分方程为y″(t)+7y′(t)+12y(t)=3f′(t)+f(t)上式两边取拉氏变换并整理，得将y(0-)=1,y′(0-)=-2和F(s)代入，得其中第一项为零输入响应的象函数Yx(s),第二项即【例4-24】中的零状态响应的象函数。Yx(s)的部分分式展开为因此零输入响应为yf(t)如【例4-24】所示，于是全响应为4.6.2电路网络的复频域模型分析法复频域模型(又叫s域模型)分析方法是以电路的复频域模型为基础，用类似分析正弦稳态电路的各种方法编写复频域的代数方程，求解响应的象函数，最后借助拉氏逆变换得到所需要的时域响应。

1.电路元件的复频域模型

对于线性时不变二端元件R、L、C，若规定其端电压u(t)和电流i(t)为关联参考方向，那么由拉氏变换的线性及微、积分性质可得到它们的复频域模型。表4-1列出各电路元件的时域和复频域关系，以便查阅。表4-1电路元件的复频域模型

2.电路网络的复频域分析

应用复频域分析法求解电路系统的响应时，首先要画出电路的复频域模型，其次利用基尔霍夫电流、电压定律和电路的基本分析方法(如网孔分析法、节点分析法等)编写与响应象函数有关的代数方程，然后从方程解出响应的象函数，最后取拉氏逆变换求得时域响应。下面举例说明。

【例4-26】电路如图4-7(a)所示，已知1F电容的初始电压uC(0-)=3V,求iC(t),t≥0。图4-7

【例4-26】图解(1)画出电路的复频域模型如图4-7(b)所示。

(2)由图可得(3)求上式的拉氏逆变换即得【例4-27】如图4-8(a)所示电路，已知f1(t)=3e-tU(t),f2(t)=e-2tU(t),求t≥0的零状态响应iL(t)。解(1)画出电路的复频域模型如图4-8(b)所示。图4-8

【例4-27】图(2)对复频域模型编写网孔方程(网孔电流设为I1(s)和IL(s)),得(3)解网孔方程，得将代入并整理，得(4)用部分分式展开IL(s)并求逆变换，即得iL(t)。

IL(s)可以展开为于是4.6.3系统函数(转移函数)

1.定义定义系统零状态响应的象函数Yf(s)与激励的象函数F(s)之比为系统函数(又称为转移函数)，用H(s)表示，即(4-29)由式(4-29)知Yf(s)=H(s)F(s)(4-30)另一方面，在第2章中已知系统的零状态响应为激励与冲激响应的卷积yf(t)=h(t)*f(t)两边取拉氏变换，得与式(4-30)比较，得(4-31)即系统的冲激响应与系统函数H(s)是一对拉氏变换对，可记为(4-32)根据式(4-30)，系统函数在求解零状态响应时是非常有用的：先计算输入的拉氏变换，;再将该变换乘以系统函数，Yf(s)=H(s)F(s);最后该乘积的逆变换即为零状态响应，。

2.系统函数的计算由上面讨论可知，可以由式(4-29)或式(4-31)求得系统函数，此时需计算输入的拉氏变换F(s)、输出的拉氏变换Yf(s)或先求得冲激响应h(t)。如果描述LTI系统的微分方程已知，则通过观察系统方程的标准形式就可以得到系统函数。【例4-28】

[某因果系统的响应y(t)与激励f(t)的关系用如下微分方程来描述y(t)=-0.5y″(t)-1.5y′(t)+3f′(t)+9f(t)求系统的系统函数和系统的冲激响应。解(1)首先把系统方程写为标准形式0.5y″(t)+1.5y′(t)+y(t)=3f′(t)+9f(t)观察该方程，写出系统函数为

(2)因为冲激响应是H(s)的拉氏逆变换，所以利用部分分式展开，得其中，A1=(s+1)H(s)|s=-1=12,A2=(s+2)H(s)|s=-2=-6。于是【例4-29】求图4-9(a)所示电路的系统函数。图4-9

【例4-29】图解因为系统函数定义是对零状态响应的，故作出零初始条件下电路的复频域模型如图4-9(b)所示。编写节点方程，有合并各项，并联立两个方程消去UA(s),从得到的方程求解U2(s)/U1(s)。最后得到系统函数为

3.系统特性与系统函数的关系在系统分析与设计中，因果性、稳定性与频率响应是表征系统的三个重要特性，对于因果LTI系统，这三个特性与系统函数密切相关。下面仅讨论系统因果性和稳定性与系统函数的关系。

1)系统的因果性已经知道所谓的因果性是指，任一时刻系统的输出仅取决于该时刻和该时刻之前的输入值。一个LTI连续系统为因果系统的充分必要条件是系统的单位冲激响应满足：h(t)=0,t<0

即单位冲激响应为因果信号。因为因果信号拉氏变换的ROC是某个右半平面，而冲激响应的拉氏变换就是系统函数，所以因果系统的系统函数的ROC是某个右半平面。应该说明的是，相反的结论未必成立。不过若系统函数是有理的，系统的因果性就等价于系统函数的ROC位于最右边极点的右半平面(在前面各节的讨论中仅涉及因果系统，故因果性的条件是自动满足的，并不需要另外加以说明)。

2)系统的稳定性在分析与设计各类系统时，系统的稳定性是一个重要问题。稳定性是系统自身的性质之一，与激励信号的情况无关。一个系统，如果对任意的有界输入其零状态响应也是有界的，则称此系统为稳定系统，也可称为有界输入有界输出(BIBO)稳定系统。也就是说，设Mf、My为有界正值，如果对所有的激励信号f(t)|f(t)|≤Mf(4-33)系统的零状态响应yf(t)满足

|yf(t)|≤My(4-34)则称该系统是稳定的。下面给出系统稳定的充分必要条件。连续系统是稳定系统的充分必要条件是(4-35)式中M为有界正值。即若系统的冲激响应是绝对可积的，则系统是稳定的。下面给出此条件的证明。充分性的证明：对任意的有界输入f(t),|f(t)|≤Mf,系统的零状态响应为如果h(t)是绝对可积的，即式(4-35)成立，则|yf(t)|≤MfM取My=MfM,即得|yf(t)|≤My,即yf(t)有界，因此式(4-35)是充分的。必要性的证明：当系统稳定时，如果无界，我们来证明至少有一个有界的输入f(t)产生无界的输出yf(t)。为此，选择如下的输入信号显然|f(t)|≤1为有界信号。由于令t=0,有上式表明，如果无界,则至少yf(0)无界，因此式(4-35)也是必要的。在以上的分析中并未涉及系统的因果性，这说明无论因果稳定系统或非因果稳定系统都要满足式(4-35)。对于因果系统，式(4-35)可以改写为(4-36)因为h(t)的拉氏变换是系统函数H(s),所以式(4-35)和式(4-36)的条件也可以用H(s)说明。下面只讨论因果系统的稳定性，非因果系统的稳定性请参照相关书籍。对于因果系统，h(t)为因果信号，其拉氏变换H(s)的ROC是某条垂直于σ轴的直线的右边。如果系统是稳定的，则式(4-36)成立，即h(t)绝对可积，因此h(t)的傅里叶变换存在。因为傅里叶变换是沿虚轴对拉氏变换的求值，所以h(t)的拉氏变换H(s)的ROC应包含jω轴。综合上述两个结果，H(s)的ROC是包含jω在内的整个s平面的右半平面，即Re[s]≥0。由前面关于ROC的讨论可知，ROC中不包含任何极点，因此，H(s)的所有极均应在s平面的左半平面，至此，可得出因果系统稳定性的另一个充分必要条件：系统函数H(s)的所有极点均在s平面的左半平面。4.6.4连续系统复频域分析的MATLAB实现【例4-30】已知线性系统的微分方程为

y″(t)+5y′(t)+6y(t)=3f′(t)+f(t)f(t)=e-tU(t),y(0-)=1,

y′(0-)=2

用MATLAB求系统的零输入响应yx(t)、零状态响应yf(t)和完全响应y(t)。解MATLAB实现程序如下：

%proqramch4-30

%求零状态响应

b=［3,1］;

a=［1,5,6］;

sys=tf(b,a);

t=0:0.1:10;

f=exp(-t);

y=lsim(sys,f,t);

plot(t,y);

xlabel(′时间(t)′);

ylabel(′y(t)′)

title(′零状态响应′);运行结果如图4-10所示。图4-10

【例4-3