《应用数值分析》课件数值分析2.3牛顿插值法

第1.3节牛顿插值法差商Newton插值由

组不同数据

构造的

次多项式其中拉格朗日插值多项式含义直观形式对称优点：缺点：增加一个节点时，全部基函数

都需重新算过。公式不具有继承性，不利于编程。分析：在n次多项式空间中另找一组合适的基函数希望：每增加一个节点时，只需重算一个基函数Newton插值：系数是多少？疑问：kc容易求吗？

差商(亦称均差)/*divideddifference*/差商表f(x3)x3f(x2)x2f(x1)x1f(x0)x0f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2]二阶差商f[x2,x3]f[x1,x2]f[x0,x1]一阶差商f(x)xf[x0,x1,x2,x3]三阶差商由差商定义可知：高阶差商是两个低一阶差商的差商。(差商可用函数值的线性组合表示)：性质1(差商具有对称性)：性质2差商值与节点顺序无关(差商与导数的关系)：性质3Newton插值：系数是多少？疑问：kc容易求吗？Newton插值：…………(n)(n-1)…(2)(1)(1)(2)(3)(n)是n次多项式满足插值条件Newton插值：优点：每增加一个节点，只要再增加一项即可即有递推公式例:已知函数的数值表试求的四次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：取节点,则的差商表如下二阶差商一阶差商三阶差商四阶差商例:已知函数的数值表试求的四次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：取节点,则的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函数的数值表试求的四次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：取节点,则的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函数的数值表试求的四次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：取节点,则的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函数的数值表试求的四次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：取节点,则的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函数的数值表试求的四次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：取节点,则的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例:已知函数的数值表试求的四次Newton插值多项式，并计算的近似值。解：取节点,则的差商表如下由Newton插值公式，依次可得例M3.m例M3.m例M3.m例M3.m例M3.m缺点：当插值点个数取得较多时，可能会使得插值多项式产生很大的扰动，进而导致插值余项不收敛，拉格朗日多项式插值的这种振荡现象叫Runge现象

采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形.例M3.m分段线性插值

xjxj-1xj+1x0xnxoy分段线性插值

xjxj-1xj+1x0xnxoy分段线性插值的余项例用分段线性插值法求插值.在[-6,6]中平均选取41个点作插值M4.m比分段线性插值更光滑

xyxi-1xiab

在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。三次样条插值三次样条函数满足：在每个子区间上是一个三次多项式。(1)(2)在每个内节点上具有二阶连续导数。(3)三次样条插值例用三次样条插值选取11个基点计算插值M5.m用MATLAB作插值计算一维插值函数：yi=interp1(x，y，xi，‘method’,‘extrap’)插值方法被插值点已知数据xi处的插值结果‘nearest’

：最邻近插值‘linear’

：线性插值；‘spline’

：三次样条插值；‘cubic’

：立方插值。‘pchip’

：分段三次Hermite插值缺省时：分段线性插值。

注意：所有插值方法都要求x是单调的例在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。M1.m

xy机翼下轮廓线例已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。M2.m设有一个年产240吨的食品加工厂,需要统计其生产费用,但由于该厂各项资料不全,无法统计。在这种情况下,统计部门收集了设备、生产能力和该厂大致相同的五个食品加工厂的产量与生产费用资料如下表：例M6.m

如何根据已知五个食品加工厂的资料较准确地估计该厂的生产费用呢？作业6：

1、本节内容小结；

2、课后作业第3、7题；

3、数值实验题第1、3题。二维插值二维插值第一种（网格节点）第二种（散乱节点）

xyO

yx0二维插值的定义已知n个节点互不相同，

构造一个二元函数通过全部已知节点,再用计算插值，即即

注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是分片线性插值。最邻近插值x

y(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O

二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的节点的函数值即为所求。网格节点将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次简记为：

分片线性插值xy

(xi,yj)(xi,yj+1)(xi+1,yj)(xi+1,yj+1)Of(xi,yj)=f1，f(xi+1,yj)=f2，f(xi+1,yj+1)=f3，f(xi,yj+1)=f4.网格节点f1f2f3f4分片线性插值xy

(xi,yj)(xi,yj+1)(xi+1,yj)(xi+1,yj+1)O网格节点f1f2f3f4插值函数为：分两片第一片(下三角形区域)：(x,y)满足分片线性插值xy

(xi,yj)(xi,yj+1)(xi+1,yj)(xi+1,yj+1)O网格节点f1f2f3f4插值函数为：分两片第二片(下三角形区域)：(x,y)满足注意：(x,y)应该是在插值节点所形成的矩形区域内。显然，分片线性插值函数是连续的。双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成。双线性插值函数的形如：四个待定系数双线性插值x

y(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O网格节点四个顶点（插值节点）的函数值四个方程要求：1.x0,y0单调；z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)被插值点插值方法用MATLAB作网格节点数据的插值插值节点被插值点的函数值‘nearest’

最邻近插值‘linear’

双线性插值‘cubic’

双三次插值缺省时,双线性插值2.x，y可取为矩阵，或x取行向量，y取为列向量；3.x,y的值分别不能超出x0,y0的范围。例：测得平板表面3*5网格点处的温度分别为：

828180828479636165818484828586

试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图.M7.m2．以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值.画出插值后的温度分布曲面图.

通过此例对最近邻点