2020年高中物理讲义教学(第4章)-曲线运动(附详解)

4曲线运动

内容要求要点解读

§4-1曲线运动

一、曲线运动

i.曲线运动

(1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。

(2)运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是

变速运动。

(3)曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它

的加速度方向与速度方向不在同一条直线上。

2.物体做曲线运动的条件及轨迹分析

(1)条件

①因为速度时刻在变，所以一定存在加速度；

②物体受到的合外力与初速度不共线。

(2)合外力方向与轨迹的关系

物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合

外力方向指向曲线的“凹''侧。

(3)速率变化情况判断

①当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；

②当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；

③当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。

3.做曲线运动的规律小结：

(1)合外力或加速度指向轨迹的“凹”(内)侧。

(2)曲线的轨迹不会出现急折，只能平滑变化，且与速度方向相切。

二、运动的合成与分解

1.基本概念

(1)运动的合成：已知分运动求合运动。

(2)运动的分解：已知合运动求分运动。

2.分解原则：根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解。

3.遵循的规律

位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。

4.合运动与分运动的关系

(1)等时性合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。

(2)独立性一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影

响。

(3)等效性各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。

5.运动的合成及性质

(1)运动的合成与分解的运算法则

运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于

它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则。

(2)合运动的性质判断

变化:非匀变速运动

加速度或合外力

不变:匀变速运动

共线：直线运动

加速度或合外力与速度方向

不共线：曲线运动

(3)两个直线运动的合运动性质的判断

根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动是直线运动还是曲线运动,具体分以下几

种情况:

两个互成角度的分运动合运动的性质

两个匀速直线运动匀速直线运动

一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动匀变速曲线运动

两个初速度为零的匀加速直线运动匀加速直线运动

如果U合与〃合共线，为匀变速直

线运动

两个初速度不为零的匀变速直线运动

如果V合与〃合不共线，为匀变速

曲线运动

6.合运动与分运动的关系

（1）运动的独立性

一个物体同时参与两个（或多个）运动，其中的任何一个运动并不会受其他分运动

的干扰，而保持其运动性质不变，这就是运动的独立性原理。虽然各分运动互不干扰，

但是它们共同决定合运动的性质和轨迹。

（2）运动的等时性

各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束,经历时间相等（不同时的运动不能合成）。

（3）运动的等效性

各分运动叠加起来与合运动有相同的效果。

7.运动的合成与分解的运算法则

运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于

它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。

8.运动的合成与分解两个典型模型

（1）小船渡河模型

在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动，其中一个

速度大小和方向都不变，另一个速度大小不变，方向在180。范围内（在速度不变的分运动所

在直线的一侧）变化。我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究。这样的

运动系统可看作“小船渡河模型”。

模型特点：

①船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。

②三种速度：V船（船在静水中的速度）、V水（水的流速）、V合（船的实际速度）。

③两个极值

A.过河时间最短：水，fmin=（d为河宽）。

V船

B.过河位移最小：丫台_1_丫水（前提丫船＞"水），如图甲所示，此时无min=d船头指向上游

与河岸夹角为a。COSa='L;V船J_V合（前提V船水）,如图乙所示。过河最小位移为Xmin=

V船

Sinerv船

（2）绳（杆）端速度分解模型

①模型特点

沿绳（或杆）方向的速度分量大小相等。

②思路与方法

合运动一绳拉物体的实际运动速度v

!其一：沿绳或杆的速度匕

刀运动T［其二；与绳或杆垂直的分速度力

方法：VI与V2的合成遵循平行四边形定则。

9.小船过河模型

（1）分析思路

合运动：小船的实际运动

(2)解决这类问题的关键

①正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动。船的运动方向

也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。

②运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流方向和船头指

向分解。

③渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。

④求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形法则求极值的方

法处理。

10.对绳端速度合成与分解的方法：

(1)物体的实际运动一定是合运动。

(2)绳端速度可分解为沿绳方向的速度和垂直于绳方向的速度。

曲尾送办

11图为某质点从A点到E点做匀变速曲线运动的轨迹示意图，该质点运动到D点时

!--〜：

速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则该质点

A

一

D

A.经过C点时的速率比O点的大

B.经过。点时的加速度比8点的大

C.经过B点和E点时的速率可能相等

D.从B点运动到E点的过程中合外力先做正功再做负功

竣）巩固练电

已知物体运动初速度w的方向和它所受恒定合外力F的方向，下图中a、b、c、d表示物

体运动的轨迹，其中可能正确的是

义」如图所示是一种健身器材的简化图，一根不可伸长的足够长轻绳跨过两个定滑轮

连接两个质量均为机的重物。两侧滑轮等高，以速度。竖直向下匀速拉动绳的中点，当滑轮

中间两段绳的夹角为60°时，下列说法正确的是

A.重物的速度大小为无u

3

B.重物的速度大小为且0

2

C.重物正在匀速上升

D.重物正在减速上升

(g)巩固练习

如图所示，有一竖直放置的叮”形架，表面光滑，滑块A、3分别套在水平杆与竖直杆上，

A、5用一不可伸长的轻细绳相连，A、8质量相等，且可看作质点，开始时细绳水平伸

直，A、2静止.由静止释放2后，已知当滑块B沿着竖直杆下滑的速度大小为相丫，

A的速度大小为v,则细绳与竖直方向的夹角为1为

(/考堂闯关

1.(2019・北京高一期末)如图所示，在光滑水平桌面上，小铁球沿直线向右运动。若在

桌面A处放一块磁铁，关于小球的运动下列说法正确的是

A.小铁球做匀速直线运动

B.小铁球做匀速圆周运动

C.小铁球做匀加速直线运动

D.小铁球做变加速曲线运动

2.在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用长"=50m的悬索（重力可忽略不计）系住

伤员B,直升机A和伤员2一起在水平方向上以w=10m/s的速度匀速运动的同时，悬

索在竖直方向上匀速上拉，如图所示。在将伤员拉到直升机的时间内，A、8之间的竖

直距离以L=50-5,（单位：m）的规律变化，则

A.伤员经过5s时间被拉到直升机内

B.伤员经过10s时间被拉到直升机内

C.伤员的运动速度大小为5m/s

D.伤员的运动速度大小为10m/s

3.（2019・六盘水市第七中学高三月考）如图，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当

小车以速度v匀速向右运动当小车运动到与水平面夹角为。时，下列关于物体A说法正

确的是

A.物体A此时的速度大小为vcos。，物体A做减速运动，绳子拉力小于物体重力

B.物体A此时的速度大小为vcos<9,物体A做加速运动，绳子拉力大于物体重力

C.物体A此时的速度大小为v/COS。，物体A做减速运动，绳子拉力小于物体重力

D.物体A此时的速度大小为v/cos。，物体A做加速运动，绳子拉力大于物体重力

4.如图所示的曲线是某个质点在恒力作用下的一段运动轨迹.质点从M点出发经尸点到达

N点，已知弧长M尸大于弧长PN,质点由M点运动到P点与从P点运动到N点的时间

相等.下列说法中正确的是

A.质点从M点到N过程中速度大小保持不变

B.质点在这两段时间内的速度变化量大小相等，方向相同

C.质点在这两段时间内的速度变化量大小不相等，但方向相同

D.质点在A/N间的运动不是匀变速运动

5.（2019•云南省云天化中学高一期末）在距河面高度〃=20m的岸上有人用长绳拴住一

条小船，开始时绳与水面的夹角为30。，人以恒定的速率v=3m/s拉绳，使小船靠

岸，那么

A.5s时绳与水面的夹角为60。

B.5s时小船前进了15m

C.5s时小船的速率为5m/s

D.若小船质量为20kg,则5s内物体的动能变化量为130J

6.（2019・湖南高二期末）如图所示，在光滑水平面内建立一直角坐标系xOy,一质量加=

1kg的小球以1m/s的初速度沿x轴正向做匀速直线运动。小球经过坐标原点。时

（此时z=0）,撤去沿y轴负方向，大小尸=1N的恒力，保持其他力不变。在仁0时刻

之后，关于小球的运动，下列说法正确的是

Vo

A.做匀变速曲线运动

B.在任意相等的时间内，小球的速度变化相同

C.经过尤、y坐标相同位置时所用的时间为1s

D.在r=ls时，小球的动能为1J

整体险龙考

7.（2018•北京卷）根据高中所学知识可知，做自由落体运动的小球，将落在正下方位置。

但实际上，赤道上方200m处无初速下落的小球将落在正下方位置偏东约6cm处，这一

现象可解释为，除重力外，由于地球自转，下落过程小球还受到一个水平向东的“力”，

该“力”与竖直方向的速度大小成正比，现将小球从赤道地面竖直上抛，考虑对称性，上

升过程该“力”水平向西，则小球

A.到最高点时，水平方向的加速度和速度均为零

B.到最高点时，水平方向的加速度和速度均不为零

C.落地点在抛出点东侧

D.落地点在抛出点西侧

8.（2015•全国新课标II卷）由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移

轨道经过调整再进入地球同步轨道。当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点

火,给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行。已知同步卫星的环绕速度约为3.1x103

m/s,某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55xl03m/s,此时卫星的高度与同步轨

道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30。，如图所示，发动机给卫星的附加

速度的方向和大小约为

N

A.西偏北方向,1.9xl03m/sB.东偏南方向，1.9x103m/s

C.西偏北方向，2.7x103m/sD.东偏南方向，2.7x103m/s

9.（2015・广东卷）如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝

正北方向航行，以帆板为参照物

北

二噂东

帆板

A.帆船朝正东方向航行，速度大小为v

B.帆船朝正西方向航行，速度大小为v

C.帆船朝南偏东45。方向航行，速度大小为行v

D.帆船朝北偏东45。方向航行，速度大小为拉v

§4-2平抛运动

一、平抛运动基本规律的理解

1.飞行时间：由。='——知，时间取决于下落高度儿与初速度V0无关。

他因素无关。

3.落地速度：v=+v；=7^+2gh,以6表示落地速度与x轴正方向的夹

角，有tan。=上=J巫，所以落地速度也只与初速度vo和下落高度"有关。

4.速度改变量：因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g,所以做平抛运动的物

体在任意相等时间间隔N内的速度改变量为A尸g。，相同，方向恒为竖直向下，如图所

5.两个重要推论

(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时

水平位移的中点，如图中A点和8点所示。

(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其末速度方向与水平

方向的夹角为a,位移与水平方向的夹角为仇则tana=2tan。。

二、常见平抛运动模型的运动时间的计算方法

(1)在水平地面上空〃处平抛:

由人=工g产知/=J丝，即r由高度决定。

2Vg

(2)在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间f：

R+小_h~=VQZ

联立两方程可求t.

(3)斜面上的平抛问题:

①顺着斜面平抛(如图)

可求得:2乜tan外

g

②对着斜面平抛(如图)

事五H：、

;到斜面：

方法：分解速度

CVygt

vx=vo,vy=gt,tantz==—

匕%

vtan0

可求得/=--n-----

g

(4)对着竖直墙壁平抛(如图)

水平初速度vo不同时，虽然落点不同，但水平位移相同，t=—.

v

三、类平抛问题模型的分析方法

1.类平抛运动的受力特点

物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直。

2.类平抛运动的运动特点

在初速度V0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运

动，加速度a=—―o

m

3.类平抛运动的求解方法

(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度

方向(即沿合外力方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动

具有等时性。

(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度。分解

为公、ay,初速度vo分解为丹、vy,然后分别在尤、y方向列方程。

基本规律

如果能根据三角形某个角的三角函数值求出它是一个特殊角，则可综合内角和定理判定形

状。

1］图所示，战斗机沿水平方向匀速飞行，先后释放三颗炸弹，分别击中山坡上等间距

的A、B、C三点。已知击中A、8的时间间隔为击中2、C的时间间隔为f2,不计空

气阻力，则

A.tl<t2D.无法确定

⑨巩固练习

在水平面上固定两个相互紧靠的三角形斜面，将。、6、C三个小球从左边斜面的顶点以

不同的初速度向右水平抛出，落在斜面上时其落点如图所示，小球。落点距水平面的高度最

低。下列判断正确的是

A.小球c的初速度最小

B.小球。的飞行时间最长

C.小球c的整个飞行过程速度变化量最大

D.若减小小球。的初速度，其整个飞行过程速度变化量增大

类平抛运动事

2；2022年冬奥会将在北京召开。如图所示是简化后的跳台滑雪的雪道示意图，

运动员从助滑雪道AB上由静止开始滑下，到达C点后水平飞出，落到滑道上的。点，E

是运动轨迹上的某一点，在该点运动员的速度方向与轨道平行，设运动员从C到£与

从E到。的运动时间分别为九、t2,斯垂直CD,则有关离开C点后的飞行过程

A.有九=/2,且。尸=也

B.若运动员离开C点的速度加倍，则飞行时间加倍

C.若运动员离开C点的速度加倍，则落在斜面上的距离加倍

D.若运动员离开C点的速度加倍，则落在斜面上的速度方向不变

⑨巩固练习

如图，生产车间有两个相互垂直且等高的水平传送带甲和乙，甲的速度为w，小工件离

开甲前与甲的速度相同，并平稳地传到乙上。乙的宽度足够大，速度为也。则下列说法错误

的是

A.在地面参考系中，工件做类平抛运动

B.在乙参考系中，工件在乙上滑动的轨迹是直线

C.工件在乙上滑动时，受到乙的摩擦力方向不变

D.工件沿垂直于乙的速度减小为0时，工件的速度等于vi

停考直闯关

1.（2019•牡丹江市第三高级中学期末）一水平抛出的小球落到一倾角为。的斜面上时，

其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水

平方向通过的距离之比为

O-*-,

tan02tan6

2.如图所示，从倾角为e的足够长的斜面顶端A点，先后将相同的小球以大小不同的水平

速度VI和V2向右抛出，落在斜面上。关于两球落到斜面上的情况，说法中正确的是

A.落到斜面上的瞬时速度大小相等

B.落到斜面上前，在空中飞行的时间相同

C.落到斜面上的位置相同

D.落到斜面上的瞬时速度方向相同

3.（2019・山西期末）跳台滑雪运动员的动作惊险而优美，其实滑雪运动可抽象为物体在

斜坡上的平抛运动。如图所示，设可视为质点的滑雪运动员，从倾角为。的斜坡顶端尸

处，以初速度%水平飞出，运动员最后又落到斜坡上A点处，AP之间距离为3在空

中运动时间为f,改变初速度%的大小，L和f都随之改变。关于L、f与%的关系，下

列说法中正确的是

①L与V。成正比②乙与诏成正比③f与%成正比④f与诏成正比

4.（2019•安徽期末）如图，一演员表演飞刀绝技，由。点先后抛出完全相同的三把飞

刀，分别垂直打在竖直木板上〃、N、P三点。假设不考虑飞刀的转动，并可将其看做

质点，己知0、M、N、尸四点距离水平地面高度分别为仄4〃、3仄2/i,以下说法正

确的是

A.三把刀在击中板时动能相同

B,三次飞行时间之比为1：、笈：代

C.三次初速度的竖直分量之比为3:2:1

D.设三次抛出飞刀的初速度与水平方向夹角分别为仇、％、仇，则有。1＞仇＞为

5.一质量为根的小球在光滑的水平面上以速度w做匀速直线运动，在仁0时受到水平方向

恒力下作用，速度先减小后增大，其最小值为v=0.5w,由此可以判断

A.质点受恒力/作用后一定做匀变速直线运动

B.质点受恒力厂作用后可能做圆周运动

C.时，质点速度最小

2F

D.仁0时恒力厂与速度vo方向间的夹角为60°

6.如图，一小球以速度w从倾角为。的斜面底端斜向上抛出，到达斜面上的尸点时速度方

向恰好水平。现将该质点以2Vo的速度从斜面底端沿同样方向抛出，之后到达斜面上的

。点。不计空气阻力，下列说法正确的是

A.小球到达0点时速度方向也恰好水平

B.小球到达P、。两点的速度之比为1：1

C.P、。两点距离斜面底端的高度之比为1：2

D.小球到达P、。两点的时间之比为1：2

7.（2019•四川省绵竹中学期末）如图所示，两个倾角分别为30。，45。的光滑斜面放在同

一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等。有三个完全相同的小球”

b、c,开始均静止于同一高度处，其中6小球在两斜面之间，。、c两小球在斜面顶

端。若同时释放，小球b、C到达该水平面的时间分别为6、/2、①若同时沿水平方

向抛出，初速度方向如图所示，小球a、b、C到达该水平面的时间分别为,/、/2'、坟。

下列关于时间的关系正确的是

30°

A.B.t]>t3>t2

C.t2<t2r,t3V3’D.tl=tlr,t2=t2\t3=t3f

8.如图所示，在光滑水平面内建立直角坐标系无。》一质点在该平面内。点受大小为歹的

力作用从静止开始做匀加速直线运动，经过f时间质点运动到A点，4。两点距离为a,

在A点作用力突然变为沿y轴正方向，大小仍为R再经f时间质点运动到8点，在8

点作用力又变为大小等于4尸、方向始终与速度方向垂直且在该平面内的变力，再经一段

时间后质点运动到C点，此时速度方向沿了轴负方向，下列对运动过程的分析正确的是

A、8两点距离为

c点与无轴的距离为2±受。

2

质点在B点的速度方向与x轴成45°

质点从8点运动到C点所用时间可能为迤U

16

9.（2019•会泽县蒂旺高级中学月考）如图所示，一固定斜面倾角为。，将小球4从斜面

顶端以速率%水平向右抛出，击中了斜面上的尸点；将小球8从空中某点以相同速率

%水平向左抛出，恰好垂直斜面击中。点。不计空气阻力，重力加速度为g,下列说

法正确的是

A.若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为。，贝hane=2tan。

B.若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为。，贝Utane=2tane

C.小球4、3在空中运动的时间比为2tan2。」

D.小球A、B在空中运动的时间比为tan/:1

整体险常国

10.（2019・新课标全国n卷）如图（a）,在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的

姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从

离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其VT图像如图（b）所示，6和f

2是他落在倾斜雪道上的时刻。则

图（b）

A.第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小

B.第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大

C.第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大

D.竖直方向速度大小为也时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大

V

11.（2018・新课标全国HI卷）在一斜面顶端，将甲乙两个小球分别以V和一的速度沿同一

2

方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

12.（2017・新课标全国I卷）发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒

乓球（忽略空气的影响）。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网；其原

因是

A.速度较小的球下降相同距离所用的时间较多

B.速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大

C.速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少

D.速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大

13.（2017•江苏卷）如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间f在空中

相遇，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为

t

A.tB.—tC.-D.-

224

§4-3圆周运动量

一、描述圆周运动的物理量

1.定义

AcA，Avv

线速度V=㈡，角速度。转动半径尸一7="（S为路程，。为转过角度）

271r1Av

周期T=——，转速片一，向心加速度。二一

vTAt

2.联系

(1)v=r①=2兀〃厂,co=—=2兀〃

AvAvAvv

（2）在圆周运动中，—>0（A。一>0）时，有—=—,即—=—

2

,Au*Av-rzaVAVv9.4712r

由a=—下口v=—可得a=---=—=ra>->-———=vco

ArArAyrT2

二、传动装置

1.同轴传动：各部分角速度大小相等。

2.同缘传动（齿轮、摩擦轮、皮带、链条）：接触部分线速度大小相等。

同轴宿务1

如图所示，A、8为某小区门口自动升降杆上的两点，A在杆的顶端，8在杆

的中点处。杆从水平位置匀速转至竖直位置的过程中，A、B两点

A.角速度大小之比2:1

B.角速度大小之比1:2

C.线速度大小之比2:1

D.线速度大小之比1:2

⑨巩固练习

如图所示，电风扇工作时，叶片上。、匕两点的线速度分别为玲、出，角速度分别为①亦

矶，则下列关系正确的是

A.Vd=Vb>C0a=C0bB.Va<Vb>CDa<COb

C.Va>Vb>COc>CDbD.Va<Vb>C0a=C0b

/如图所示，为一皮带传送装置，右轮半径为心〃是其边缘上一点，左侧为一轮

轴，大轮半径为4厂，小轮半轻为2r,b在小轮上，到小轮中心的距离为r,c在小轮边缘

上，d在大轮边缘上，以下关系错误的是

A.a和c的线速度相等

B.b、c和d角速度相等

C.Va：Vb：Vc：hZ=2：1:2:4

D.aa：ab：ac:ad=2:1:2:4

（g）巩固练习

如图所示为锥形齿轮的传动示意图，大齿轮带动小齿轮转动，大、小齿轮的角速度大小

分别为。1、32,两齿轮边缘处的线速度大小分别为也、V2,贝U

A.B.①1>口2,V1=V2

C.必二①2,D.C9尸①2，V1>V2

念/考克闰关

1.（2019•湖南期末）如图所示，小球在细绳的牵引下，在光滑水平桌面上绕绳的另一端

。做匀速圆周运动。关于小球的受力情况，下列说法正确的是

A.只受重力和拉力的作用

B.只受重力和向心力的作用

C.只受重力、支持力和向心力的作用

D.只受重力、支持力和拉力的作用

2.（2019•河南南阳中学期末）如图所示，半径分别为R和2R的两个圆盘A、8处于水平

面内，两者边缘接触，靠静摩擦传动，均可以绕竖直方向的转轴。1及。2转动。一个可

视为质点的小滑块位于转盘8上的C点，与转轴。2的距离为R.已知滑块与转盘间的动

摩擦因数为〃，重力加速度为g,滑动摩擦力等于最大静摩擦力。现使转盘8的转速逐

渐增大，当小滑块恰好要相对于转盘8发生相对运动时，转盘A的角速度大小为

3.如图所示，为自行车的传动机构，行驶时与地面不打滑。a、c为与车轴等高的轮胎上的

两点，1为轮胎与地面的接触点，6为轮胎上的最高点。行驶过程中

c处角速度最大

a处速度方向竖直向下

a、b、c、d四处速度大小相等

6处向心加速度指向d

4.转篮球是一项难度较高的技巧，其中包含了许多物理知识。如图所示，假设某转篮球的

高手能让篮球在手指上（手指刚好在篮球的正下方）做匀速圆周运动，下列有关该同学

转篮球的物理知识正确的是

A.篮球上各点做圆周运动的圆心在手指上

B.篮球上各点的向心力是由手指提供的

C.篮球上各点做圆周运动的角速度相同

D.篮球上各点离转轴越近，做圆周运动的向心加速度越大

5.（2019•山西平遥中学期末）如图所示，一直径为1的纸质圆筒以角速度。绕轴。高速

转动，现有一颗子弹沿直径穿过圆筒，若子弹在圆筒转动不到半周时，在筒上留下服

。两个弹孔，已知“0、6。间夹角为。，则子弹的速率为

A.也dm

2兀。兀一0

da)

C.---------

2n-(p

6.如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径之比为4:1:16,在用力蹬脚踏板前进

的过程中，下列说法正确的是

A.小齿轮和后轮的角速度大小之比为16:1

B.大齿轮和小齿轮的角速度大小之比为1:1

C.大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为1:4

D.大齿轮和小齿轮轮缘的向心加速度大小之比为1:4

7.（2019・广东期末）如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r,。是它边缘上的一

点，左侧是一轮轴，大轮的半径是4厂，小轮的半径为2r,b点在小轮上，到小轮中心的

距离为r,C点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑,

则

A.。点与方点的线速度大小相等

B.a点与6点的角速度大小相等

C.。点与d点的线速度大小相等

D.a点与d点的向心加速度大小相等

8.如图所示，在绕中心轴00'转动的圆筒内壁上，有两物体A、8靠在一起随圆筒转动，

在圆筒的角速度均匀增大的过程中，两物体相对圆筒始终保持静止，下列说法中正确的

是

A.在此过程中，圆筒对A一定有竖直向上的摩擦力

B.在此过程中，42之间可能存在弹力

C.随圆筒的角速度逐渐增大，圆筒对A、8的弹力都逐渐增大

D.随圆筒的角速度逐渐增大，圆筒对B的摩擦力也逐渐增大

9.（2019•安徽期末）儿童乐园中，一个小孩骑在木马上随木马一起在水平面内匀速转

动，转轴到木马的距离为广，小孩的向心加速度为。，如把小孩的转动看做匀速圆周运

动，贝I

A.小孩相对于圆心的线速度不变

小孩的线速度大小为

小孩在时间t内通过的路程为5=J最

小孩做匀速圆周运动的周期T=271

10.（2019・湖南期末）明代出版的《天工开物》一书中就有牛力齿轮翻车的图画（如图所

示），记录了我们祖先的劳动智慧。若48两齿轮半径的大小关系为以〉总，则

A-

A.齿轮A、8的角速度大小相等

B.齿轮A的角速度大小小于齿轮8的角速度大小

C.齿轮A、B边缘的线速度大小相等

D.齿轮A边缘的线速度大小小于齿轮B边缘的线速度大小

11.（2019•江苏期末）如图所示，在以角速度①匀速转动的水平圆盘上放一质量机的滑

块，滑块到转轴的距离r,滑块跟随圆盘一起做匀速圆周运动（两者未发生相对滑

动）。求：

（1）圆盘的转动周期；

（2）滑块运动的线速度大小;

（3）滑块受到的向心力大小。

（/体脍方考

12.（2016・上海卷）风速仪结构如图（a）所示。光源发出的光经光纤传输，被探测器接收,

当风轮旋转时，通过齿轮带动凸轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被挡住。

己知风轮叶片转动半径为广，每转动〃圈带动凸轮圆盘转动一圈。若某段时间加内探测

器接收到的光强随时间变化关系如图（b）所示，则该时间段内风轮叶片

图（a）

A.转速逐渐减小，平均速率为--

At

转速逐渐减小，平均速率为巴丝

B.

At

C.转速逐渐增大，平均速率为一-

A/

D.转速逐渐增大，平均速率为——

At

§4-4向心力

一、圆周运动中的动力学分析

1.向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量。

八叶2V24万2

公式：«„=ro)=--a)v-——ro

rT2

2.向心力：作用效果产生向心加速度，F„=man«

3.向心力的来源

向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几

个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。

4.向心力的确定

(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。

(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。

解决圆周运动问题的主要步骤

(1)审清题意，确定研究对象；

(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径

等；

(3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；

(4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程。

二、竖直平面内圆周运动的绳模型与杆模型问题

1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类:

一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二

是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”。

2.绳、杆模型涉及的临界问题

绳模型杆模型

R您

/绳卜

常见类型)

均是没有支撑的小球

均是有支撑的小球

过最高点的

由mg=得:U临一而由小球恰能做圆周运动得V临=0

临界条件r

(1)当v=0时，F^=mg,FN为支

持力，沿半径背离圆心

(1)过最高点时，v>^~gr

(2)当0<时，

外+加且=叱，绳、轨道对球产

r-F+mg=,尸N背向圆

Nr

讨论分析生弹力F=---mg心，随v的增大而减小

Nr

(3)当v=y['gr时，FN=0

(2)不能过最高点时，v<y[Jr,

(4)当v>时，

在到达最高点前小球已经脱离了圆

mv2

轨道F^+mg=----,K指向圆心并

r

随v的增大而增大

3.竖直面内圆周运动的求解思路

(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不

同。

(2)确定临界点：丫临=而，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻

杆模型来说是K表现为支持力还是拉力的临界点。

(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情

况。

(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方

程，F合二尸向o

(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。

向心力

甲、乙两质点做匀速圆周运动，甲的质量与转动半径都分别是乙的一半，当甲

转动60圈时，乙正好转45圈，则甲与乙的向心力之比为

A.4:9B.4:3C.3:4D.9:4

(0)巩固练习

如图所示，在匀速转动的水平圆盘边缘处轻放一个小物块，小物块随着圆盘做匀速圆

周运动，对小物块之后情况说法正确的是

A.小物块仅受到重力和支持力的作用

B.小物块受到重力、支持力和向心力的作用

C.小物块受到的摩擦力产生了向心加速度

D.小物块受到的摩擦力一定指向圆盘外侧

竖直圆周

'1'I

…土」如图，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个

小环，小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用

力

A.一直做负功B.一直不做功

C.始终指向大圆环圆心D.始终背离大圆环圆心

⑨巩固练习

一个半径为R的竖直固定的光滑圆环上套有一个质量为m的小球，一根轻弹簧上端固

定在圆环的圆心处，下端固定在小球上，在圆环的最低处给小球水平向右的大小为J皈的

初速度，此时圆环恰好对小球没有弹力，已知重力加速度为g,下列说法正确的是

A.小球在圆环最低点时，弹簧的弹力大小为相g

B.小球在圆环最高点时圆环对小球的弹力大小为7mg

C.小球在圆环的最高点时弹簧的弹力比小球在最低点时的小

D.小球经过圆环的最高点的速度大小为J或

水平圆周

一，」准安现代有轨电车正以10m/s的速率通过一段圆弧弯道，某乘客发现水平放置的

指南针在时间10s内匀速转过了30。。在此10s时间内，火车

A.加速度为零B.运动位移大小为100m

弯道半径为眄m

C.角速度为3rad/sD.

71

⑨巩固练习

如图所示，长为L的细轻绳一端固定，另一端系一质量为根的小球。给小球一个合适

的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆。不计空气阻力,

关于小球受力，下列说法中正确的是

A.小球只受重力和向心力作用

B.小球只受重力、绳的拉力和向心力作用

C.小球只受重力和绳的拉力作用

D.小球只受重力、绳的拉力和离心力作用

考豆闰关

1.（2019・铜梁一中月考）一质量为根的物体，沿半径为R的向下凹的半圆形轨道滑行，

如图所示，经过最低点时的速度为v,物体与轨道之间的动摩擦因数为〃，则它在最低

点时受到的摩擦力为

2.如图所示，水平光滑桌面上有一个小球在细绳的作用下，绕桌面上的固定点。做匀速圆

周运动。下列说法正确的有

A.小球处于平衡状态

B.小球所受的合外力不为零

C.如果剪断细绳，小球仍做匀速圆周运动

D.小球受到细绳拉力的方向与速度方向垂直

3.（2019•江苏扬州中学高考模拟）扬州某游乐场有一种叫做“快乐飞机”的游乐项目，模

型如图所示.模型飞机固定在旋臂上，旋臂与竖直方向夹角为仇当模型飞机以恒定的

角速度。绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时，下列说法正确的是

A.模型飞机受重力、旋臂的作用力和向心力

B.旋臂对模型飞机的作用力方向一定与旋臂垂直

C.增大仇模型飞机线速度大小不变

D.增大0,旋臂对模型飞机的作用力变大

4.如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和2,在各

自不同的水平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是

A.VA>VBB.a）A>a>BC.aA>aBD.压力FNA>FNB

5.（2019・湖南期末）如图所示，一个圆环绕经过圆心的竖直轴。O'匀速转动，圆环上套

着两个可视为质点的小球A、B,当两个小球相对于圆环静止时，小球A和圆心的连线

与竖直轴。。'的夹角为45。，小球B和圆心的连线与竖直轴。0'的夹角为30。。则下列

说法正确的是

A.小球做圆周运动的半径之比为1:夜

B.小球A、B做圆周运动的角速度之比为1:2

C.小球A、B做圆周运动的线速度之比为后:1

D.小球A、8做圆周运动的向心加速度之比为1:1

6.如图所示，小球在细绳的作用下在光滑水平桌面内做圆周运动，以下说法正确的是

A.小球受到重力、桌面的支持力、绳的拉力和向心力的作用

B.在绳长固定时，当转速增为原来的4倍时，绳子的张力增大为原来的16倍

C.当角速度一定时，绳子越短越易断

D.当线速度一定时，绳子越长周期越小

7.（2019・甘肃期末）如图所示，在风力发电机的叶片上有A、B、C三点,其中A、C在

叶片的端点，8在叶片的中点.当叶片转动时，下列说法正确的

A.A,B,C三点线速度大小都相同

B.A,B,C三点角速度大小都相等

C.A,B,C三点中，B点的向心加速度最小

D.A,B,C三点中，8点的转速最小

8.如图所示，金属块。放在带光滑小孔的水平桌面上，一根穿过小孔的细线，上端固定在

。上，下端拴一个小球。小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆），细线与竖直方向

成30。角（图中尸位置）。现使小球在更高的水平面上做匀速圆周运动.细线与竖直方高成

60。角（图中产位置）。两种情况下，金属块。都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与

原来相比较，下面判断正确的是

Q

A.。受到桌面的静摩擦力大小不变

B.小球运动的角速度变大

C.细线所受的拉力之比为2:1

D.小球向心力大小之比为3:1

9.如图所示，竖直放置的半径为R的光滑半圆轨道与粗糙水平面平滑连接，水平面上放置

一轻弹簧，其右端固定，左端被质量为m的小物块压缩至P点（弹簧左端与小物块末连

接），P点与圆弧最低点A的距离为凡现将小物块由P点静止释放，此后它恰能到达

圆弧最高点Co已知物块与弹簧分离的位置在AP之间，物块和水平面间的动摩擦因数

为0.5,重力加速度为g。则有关上述过程说法正确的是

A.弹簧对物块做的功为3mgR

B.在最高点物块与轨道间有相互作用力

C.物块在B点对轨道的作用大小为3mg

D.在山段物块机械能减少了0.5优gR

10.（2019・广东月考）马戏团中上演的飞车节目深受观众喜爱。如图甲，两表演者骑着摩

托车在竖直放置的圆锥筒内壁上做水平匀速圆周运动。若