数学-浙江强基联盟2024年11月高二联考试卷和答案

浙江强基联盟2024年11月高二联考数学试题浙江强基联盟研究院命制考生注意:1.本试卷满分150分,考试时间120分钟。2.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效O一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={1,2,3,4,5},B={2,4,6,8},则A∩B=A.{3,4}B.{2,4,6}C.{1,3,5}D.{2,4}2.如果椭圆的方程是十那么它的焦点坐标是A.(±2,0)B.(0,±2)C.(±\2,0)D.(0,±\2)3.已知点P(a,1),Q(—2,—3),若|PQ|=5,则a=A.1B.—5C.1或—5D.—1或54.已知圆C1:父2十Y2=4和圆C2:父2十Y2—8父—6Y十16=0,则C1与C2的位置关系是A.外切B.内切C.相交D.外离5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以下说法正确的是A.若E为DD1的中点,则BD1Ⅱ平面AECB.若E为DD1的中点,则BD1丄平面A1EC1C.若E为C1D1的中点,则AE丄BD1D.若E为C1D1的中点,则CEⅡBD1【数学第1页(共4页)】【数学第2页(共4页)】6.已知父≥3,则函数=父十的最小值是A.B.C.3D.27.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若直线AC与BD的交点为M.设A—1=a,A—1=b,1=c,则下列向量中与—1共线的向量是A.—2a十2b—cB.a十b—2cC.2a—2b—cD.a—b—2c8.如果函数那么fA.2020B.2021C.2023D.2025二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知复数义=3—4i,以下说法正确的是 C.义=3十4iD.义在复平面内对应的点在第一象限10.抛掷一颗质地均匀的骰子,记随机事件Ai=“点数为i”,其中i=1,2,3,4,则以下说法正确的是A.若随机事件B1=“点数不大于3”,则A1与B1互斥B.若随机事件B2=“点数为偶数”,则A2=B2C.若随机事件B3=“点数不大于2”,则A3与B3对立D.若随机事件B4=“点数为奇数”,则A3UA4与B4相互独立11.棱长为1的正四面体ABCD的内切球球心为O,点P是该内切球球面上的动点,则以下说法正确的是 A.记直线AO与直线AB的夹角是α,则cOSα=\ B.记直线AO与平面ABC的夹角是β,则Sinβ=22C.记i父ByBi(父,y∈R)的最小值为n,则n∈[0,\]【数学第3页(共4页)】三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.12.点A(2,1)到直线l:父—2Y—3=0的距离是.13.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为,弧长为2π的扇形,则该圆锥的体积是.14.设。是坐标原点,F1是椭圆十的左焦点,椭圆上的点P关于。的对称点是Q,若上PF1Q=120。,PQ=\3a,则该椭圆的离心率是.四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.(13分)已知圆C:(父—4)2十Y2=25,点P(1,4),且直线l经过点P.(1)若l与C相切,求l的方程;(2)若l的倾斜角为,求l被圆C截得的弦长.16.(15分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,C,记△ABC的面积为S,已知A十B=2C.(1)若C=2,求△ABC外接圆的半径;求的值.17.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,△PAD是正三角形,四边形ABCD为等腰梯形,且有AD=2BC=2AB=2CD=PB=PC,E,F分别是AD,BC的中点,动点Q在PF上.(1)证明:平面PEF丄平面PBC;(2)当EQ丄PF时,求平面QAB与平面QCD所成角的余弦值.18.(17分)在平面直角坐标系中,已知O是坐标原点,点A(—2,0),B(2,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是—.记点M的轨迹是曲线C,点D(x0,y0)(y0>0)是曲线C上的一点.(1)求曲线C的方程;(2)若x0=1,直线l过点D与曲线C的另一个交点为E,求△ODE面积的最大值;(3)过点F(\,0)作直线交曲线C于P,Q两点,且OD丄PQ,证明:十为定值.19.(17分)在平面直角坐标系xOy中,我们可以采用公式(其中a,b,C,m,n,p为常数),将点P(x,y)变换成点PI(xI,yI),我们称该变换为线性变换,上式为坐标变换公式.常见的线性变换有平移变换和旋转变换.(1)将点P(x,y)向左平移1个单位,再向上平移2个单位,得到点PI(xI,yI),求该变换的坐标变换公式,并求将椭圆十向左平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得新椭圆的方程;(2)将点P(x,y)绕原点逆时针旋转后,得到点PI(xI,yI),求上述变换的坐标变换公式,并求将椭圆十绕原点逆时针旋转后,所得新椭圆的方程;(3)若点P(x,y)满足x2十xy十y2十2x十y—2=0,证明:点P(x,y)的轨迹是椭圆.【数学第4页(共4页)】浙江强基联盟2024年11月高二联考数学卷参考答案与评分标准1.DA∩B={2,4},故选D.2.C由C2=a2—b2=2,则它的焦点坐标是(±\,0),故选C.3.C由两点间的距离公式可得|PQ|2=(a十2)2十(1十3)2=25,解得a=1或—5,选C.4.A由C2:(父—4)2十(Y—3)2=9,可得C1与C2的圆心距是5,又r1十r2=5,所以C1与C2外切,故选A.5.A如图所示,EFⅡBD1,则有BD1Ⅱ平面AEC,故选A.6.B令父1=t(t≥2),则f(t)=t十十1,f(t)在[2,十∞)单调递增,所以f(t)的最小值是f(2)=,故选B.B十=A1=c十(A1—A1)=c十(b—a)=—a十b十c.选项D中,a—b—2c=—28.B记fn十1(父)=fn(f(父)),f1(父)=f(父),根据f(父)定义可得f(10)=f2(19)=f3(28)=…=f224(2017)=f225(2026),考虑f(2026)=2022,f(2022)=f(f(2031))=f(2027)=2023,f(2023)=f(f(2032))=f(2028)=2024,f(2024)=2020,f(2020)=f(f(2029))=f(2025)=2021,f(2021)=f(f(2030))=f(2026)=2022,所以f5(2022)=f4(2023)=f3(2024)=f2(2020)=f(2021)=2022,所以fn(2022)周期为5,取值分别是2023,2024,2020, 2021,2022.f225(2026)=f224(2022)=f4(2022)=2021,故选B. 9.ABCz=3—4i,则z的实部是3,故A正确;|z|=\32十(—4)2=5,B正确;z=3十4i,C正确,z在复平面内对应的点的坐标是(3,—4),在第四象限,故D错误.故选ABC.10.BDB1=“点数为1,2,3”,A1=“点数为1”,则A1=B1,则A1与B1不互斥,A错误;B2=“点数为2,4,6”,A2=“点数为2”,则A2=B2,B正确;B3=“点数为1,2”,A3=“点数为3”,AUB=“点数为1,2,3”,不是全 集,故C错误;B4=“点数为1,3,5”,A3UA4=“点数为3,4”,则P[(A3UA4)B4]==P(A3UA4).P(B4)=×,故D正确.故选BD. 11.ACD如图,设内切球的半径为r,易得AH=4r=\.α=上BAO,cOsα==\,A正确;直线AO与平面ABC的夹角是β,则sinβ==,B错B→PB→Q=PQ,即球面上的点到平面BCD上点之间的距离,最小值n表示球面上的点到平面BCD的距离,n∈[0,2r],即n∈[0,\,C正确;点A在线 段BC上的投影为线段BC的中心E,点P在线段BC上的投影点P0位于点E 的左侧或右侧,且|EP0|的最大值等于r=\,则m∈[—\,\,D选项正确.故选ACD.12.3\55由点到直线的距离公式d=2223=3\55. 13.2\πl=αR=2π,则圆锥的母线长是R=3,由l=2πr=2π,得圆锥底面半径r=1,则h=\=2\, 由圆锥的体积公式可得v=sh=πr2h=2\32π.14.由上PF1Q=120o,PQ=\a,可得上F1PF2=60o,|PO|=\.【法一】则由椭圆的定义不妨设PF1=父,PF2=2a—父,2【数学卷参考答案第1页(共4页)】—4a父=2c2—a2,:6c2—a2=8c2—8a2,得2c2=a2,则e2=,e=,【法二】设P(父0,y0),SΔF1PF2=b2tan上FPF2=\b2=cy0,(十=1,(父十a2.=a2,“〈!父十y=a2,即3b4a2b23b2b2a2b211化简得4a2—3c2十3c2=4a2十3=a2,即3=3b4a2b23b2b2a2b21115.解:(1)因为点P(1,4)在圆上,………………2分3,则直线CP的斜率为—3,4,则直线l的斜率是3………………………44,可得直线l的方程是y—4=(父—1),即3父—4y十13=0.………………6分(2)由于直线l的倾斜角是,则直线l的斜率是—1,……………………8分可得l:父十y—5=0,…………………………9分则圆心C到直线l的距离是d=\,………………………11分则直线l被圆C截得的弦长是7\.………………………13分16.解:(1)由A十B=2C,得C=,由c=2,可得2R==\,:R=\,:△ABC的外接圆半径是\.………………5分SabsinC(2)(a十b十c)(a十b—c)=(a十b)2—c2=.=.2a2十b2十2ab—c2=.=.………………………11分22abcosC十2ab22cosC十212=1.sinC=22cosC十21217.解:(1)因为四边形ABCD等腰梯形,E,F分别为AD,BC的中点,所以BC丄EF,又因为PB=PC,所以PF丄BC,又因为EF∩PF=F,EF,PFGPEF,所以BC丄平面PEF,而BCG平面PBC,所以平面PEF丄平面PBC.……………6分(2)当EQ丄PF时.假设BC=2,所以EF=\,PF=\,PE=2\,得到EF2十PE2=PF2,所以PE丄EF.…………8分(1,\,0),C(—1,\(1,\,0),C(—1,\,0),D(—2,0,0),Q(0,4\5,2\5).设平面QAB的一个法向量n=(父,y,z),A.取y=1得n=(\,1,3).,则取y=1得n=(\,1,3).,【数学卷参考答案第2页(共4页)】(a十\b=0,(a十\b=0,取b=—1得m=(\,—1,—3).……………,12分,!2a十4\53b十2\53C=0设平面QAB与平面PCD所成角为θ,则|m||n|13,|m||n|13,所以平面QAB与平面QCD所成角的余弦值为.………15分18.解:(1)设点M(父,y),所以直线AM的斜率为KAM=父2(父≠—2),同理直线BM的斜率为KBM=父—y2(父≠2),由已知可得父2.父—y2=—(父≠±2),化简得点M的轨迹C的方程是2十y2=1(父≠±2).……………………4分(2)计算得D(1,\),则直线OD:y=\父,当直线l’ⅡOD且与C相切,切点为E,此时△ODE的面积取最大值,…………………6分 37,!父2 37,Δ=3m2—4(m2—1)=4—m2=0,解得m=±2,直线l’与OD之间的距离d=2=4\744所以SΔODE=|OD|d=×\×4\77=1.………………9分 (2)由题知直线PQ的斜率存在且不为0,设直线PQ:父=ty十\3(t≠0),设P(父1,y1),Q(父2,y2), t2十4,(y1十 t2十4,得(t2十4)y2十2\3ty—1=0,则〈—1!t2十4,y1y2!t2十4,所以|PQ|=\1十t2|y1—y2|=\1十t2\12t22十4)=42),………………12分因为OD丄PQ,则直线OD:y=—t父,联立方程组{y2=4,得(1十4t2)父2=4,所以|OD|=\1十(—t)2|父D|=\1十t2\14t2,得|OD|2=41(),………………14分