1013-1014古典概型概率的基本性质析训练-2021-2022学年高一数学满分计划（人教A版2019）

20212022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第二册)10.1.3&10.1.4古典概型、概率的基本性质一、单选题1．（2022·福建南平·三模）抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（

）A．至多一枚硬币正面朝上 B．只有一枚硬币正面朝上C．两枚硬币反面朝上 D．两枚硬币正面朝上2．（2022·四川·宜宾市教科所三模（文））一批产品共7件，其中5件正品，2件次品，从中随机抽取2件，下列两个事件互斥的是（

）A．“恰有2件次品”和“恰有1件次品” B．“恰有1件次品”和“至少1件次品”C．“至多1件次品”和“恰有1件次品” D．“恰有1件正品”和“恰有1件次品”3．（2022·云南·曲靖一中高二期中）先后随机投掷质地均匀的骰子三次，以第一次向上的面上的数字为空间直角坐标系中点的横坐标，第二次向上的面上的数字为纵坐标，第三次向上的面上的数字为竖坐标，那么组成横坐标、纵坐标、竖坐标都是偶数的点的概率等于（

）A． B． C． D．4．（2022·辽宁·高一期中）从3男2女5名志愿者中，抽取2名志愿者参加社区核酸检测秩序管理工作，则至少有1名女性志愿者参加的概率为（

）A． B． C． D．5．（2021·全国·高一课时练习）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为50%，那么乙不输的概率是（

）A．20% B．70% C．80% D．30%6．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））从中任取2个不同的数，则的概率是（

）A． B． C． D．7．（2022·全国·高一专题练习）在试验“连续抛掷一枚均匀的骰子两次，观察掷出的点数”中，事件表示随机事件“两次掷出的点数均为偶数”，事件表示随机事件“两次掷出的点数和比9大”，用表示抛掷的结果，其中表示第一次掷出的点数，表示第二次掷出的点数，则事件（

）A． B．C． D．8．（2022·全国·模拟预测）智慧城市是通过利用各种信息技术和创新概念，将城市的系统和服务打通、集成，以提升资源运用的效率，优化城市管理和服务，以及改善市民生活质量．智慧城市目前落地的领域主要集中在智慧交通、智慧政务、智慧小区、智慧景点以及部分智慧园区，是智能化社会建设的实验田．我国某省会城市欲从中选择其中的三个方面进行智慧城市建设试点，则智慧政务被选择的概率为（

）A． B． C． D．9．（2021·甘肃兰州·高二期中（文））从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（

）A． B．C． D．10．（2022·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法.在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子(用竹子，木头，兽骨，象牙，金属等材料制成)以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数(小木棍全部用完)，那么这两个数的和不小于9的概率为(

)A． B． C． D．11．（2021·重庆·高一期末）口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件为“取到的小球的编号为②”，事件为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是（

）A．与互斥 B．与对立 C． D．12．（2022·福建泉州·高一期中）七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（

）A． B． C． D．二、多选题13．（2022·江西南昌·高一期末）欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署于2015年12月公布了10个国家和地区的二氧化碳排放总量及人均二氧化碳排放量，下表是人均二氧化碳排放量（吨）的统计表．中国巴西英国墨西哥俄罗斯意大利德国韩国加拿大沙特阿拉伯7.42.07.53.912.66.410.26.215.716.6根据上表，下列结论正确的是（

）A．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的极差为14.6吨B．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的中位数为7.45吨C．这10个国家和地区人均二氧化碳排放量30%分位数是6.2吨D．在人均二氧化碳排放量超过10吨的国家和地区中，随机抽取两个进行访谈，其中俄罗斯被抽到的概率为14．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的为（

）A．在袋子中放有2白2黑大小相同的4个小球，甲乙玩游戏的规则是从中不放回的依次随机摸出两个小球，如两球同色则甲获胜，否则乙获胜，那么甲获胜的概率为.B．做n次随机试验，事件A发生的频率可以估计事件A发生的概率C．必然事件的概率为1.D．在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验为古典概型.15．（2022·全国·高一专题练习）中任取两数，下列事件是对立事件的是（）.A．至少有一个偶数和两个数都是奇数B．至少有一个是奇数和两个数都是奇数C．至少有一个奇数和两个数都是偶数D．至少有一个奇数和至少有一个偶数16．（2022·山东省淄博实验中学高二开学考试）先后抛掷两颗质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为，则下列结论正确的是（

）A．时的概率为B．时的概率为C．时的概率为D．是6的倍数的概率是17．（2021·全国·高一课时练习）高一（2）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，则（

）A．恰有一名参赛学生是男生的概率为 B．至少有一名参赛学生是男生的概率为C．至多有一名参赛学生是男生的概率为 D．两名参赛学生都是男生的概率为18．（2022·广东湛江·二模）某学校组建了合唱､朗诵､脱口秀､舞蹈､太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（

）A．这五个社团的总人数为100B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%C．这五个社团总人数占该校学生人数的4%D．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为40%三、填空题19．（2021·全国·高一课时练习）甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，他们跑每一棒的概率均为.则甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为________.20．（2022·全国·高二课时练习）如图，从正方形ABCD的四个顶点及其中心O这5个点中，任取两点观察取点的情况，设事件A为“这两点的距离不大于该正方形的边长”，则事件A包含的样本点为___________.21．（2022·内蒙古·赤峰二中高二阶段练习（文））一袋中装有除颜色外完全相同的3个黑球和2个白球，先后两次从袋中不放回的各取一球．则第一次取出的是白球，且第二次取出的是黑球的概率为______．22．（2022·四川省通江中学高二开学考试（理））已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______．四、解答题23．（2022·全国·高一专题练习）已知某大学的一个图书室中只有中文版和英文版的书，现从该图书室中任选一本书，设{选到一本数学书}，{选到一本中文版的书}，{选到一本2010年后出版的书}．(1)，分别指什么事件？(2)在什么条件下有？(3)如果，那么是否意味着图书室中所有的数学书都是英文版的？并说明理由．24．（2022·广东·深圳市光明区高级中学高一期中）某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客.某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务.为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查，来模拟饮品店开卖之后的利润情况.考虑沙难承受能力有限，超过1.4万人即停止预约，以下表格是160天内进入沙滩的每日人数的频数分布表.人数（万）频数（天）88162424a32(1)绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图，并求a和这组数据的分位数；(2)据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，X（单位：个）为该沙难的人数（X为10的倍数，如有8006人，则X取8000）.每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理.若该店每日准备1000杯饮品，记Y为该店每日的利润（单位：元），求Y和X的函数关系式.以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率.25．（2022·全国·高一专题练习）掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.求：(1)A∩B，BC及相应的概率(2)A∪B，B+C及相应的概率；(3)记为事件H的对立事件，求及相应的概率.26．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高一期中）下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1~5分五个档次．设x、y分别表示英语成绩和数学成绩．表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的共5人．y分人数x/分5432151310141075132109321b60a100113(1)x=4的概率是多少？x=4且y=3的概率是多少？x≥3的概率是多少？(2)x=2的概率是多少？a＋b的值是多少？参考答案：1．C【解析】【分析】由对立事件的概念直接判断即可.【详解】由对立事件的概念知：“至少一枚硬币正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”.故选：C.2．A【解析】【分析】本题考查互斥事件的概念：事件A与事件B不会同时发生．【详解】5件正品，2件次品，从中随机抽取2件共有如下可能性结果：“两件次品”，“一件正品一件次品”，“两件正品”根据互斥事件可知：A正确；“至少1件次品”包含“两件次品”和“一件正品一件次品”，B不正确；“至多1件次品”包含“一件正品一件次品”，“两件正品”，C不正确；“恰有1件正品”和“恰有1件次品”是同一事件，D不正确；故选：A．3．B【解析】【分析】先后随机投掷质地均匀的骰子三次,构成点的总的个数有个，其中横坐标、纵坐标、竖坐标都是偶数的点的个数有个，即可按照古典概型求事件的概率【详解】按照条件构成的所有点的个数，其中横坐标、纵坐标、竖坐标都是偶数的点的个数，所以所求的事件的概率故选：B4．D【解析】【分析】根据题意列举样本空间，共包含10个样本点，其中符合题意得样本点个数为7，代入公式计算．【详解】将3名男性志愿者分别设为a，b，c，2名女性志愿者分别设为d，e，这个实验的样本空间可记为，共包含10个样本点，记事件A为至少有1名女性志愿者参加，则，A包含的样本点个数为7，所以．故选：D．5．B【解析】【分析】利用概率的加法运算即可求解.【详解】由题意可得乙胜的概率为30%50%%，所以乙不输的概率是%+50%=70%故选：B6．B【解析】【分析】列举从中任取2个不同的数的所有结果，共6个基本事件，符合条件的共2个基本事件，结合古典概型计算结果．【详解】从中任取2个不同的数，共有个基本事件，取出的2个数之差的绝对值为4有个基本事件，所以所求概率为故选：B．7．D【解析】【分析】用列举法分别求解集合M和N，再求解他们的交集.【详解】根据题意，事件，事件，所以事件．选项D正确.故选：D．8．D【解析】【分析】根据古典概型的方法枚举所有情况再分析满足条件的情况求解即可【详解】设智慧交通、智慧政务、智慧小区、智慧景点以及部分智慧园区分别为A，B，C，D，E，则从中任选三项的选法有，，，，，，，，，，共10种不同的分配方法，其中包含智慧政务的选法有6种，所以智慧政务被选择的概率为故选：D．9．B【解析】【分析】根据给定条件利用对立事件的概率计算公式即可计算作答.【详解】“抽到的产品不是一等品”的事件的对立事件是“抽到一等品”的事件，而事件{抽到一等品}，且，于是得，所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为0.35.故选：B10．A【解析】【分析】分用(1根+4根)和(2根+3根)两种情况组成不同的两个数，求出总的组合数，并求出各个组合中两数的和，根据古典概型概率计算方法计算即可．【详解】用五根小木棍摆成两个数，共有两种摆放方法：第一种是用1根和4根小木棍可以组成：1与4、1与8，其和分别为5、9，共2种；第二种是用2根和3根小木棍可以组成：2与3、2与7、6与3、6与7，其和分别为5、9、9、13，共4种；故用五根小木棍随机摆成图中的两个数，有2+4=6种不同组合，其中两个数的和不小于9的有4种，故所求概率为．故选：A．11．C【解析】【分析】利用互斥事件、对立事件的意义判断A，B；利用古典概率求出判断C，D作答.【详解】依题意，取到的小球为黑球且编号为②，事件与同时发生，则与不互斥，也不对立，A，B都不正确；由古典概率得：，，，于是得，C正确，D不正确.故选：C12．D【解析】【分析】先逐个求解所有5个三角形的面积，再根据要求计算概率.【详解】如图所示，，，，，的面积分别为，，．将，，，，分别记为，，，，，从这5个三角形中任取出2个，则样本空间，共有10个样本点．记事件表示“从5个三角形中任取出2个，这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和”，则事件包含的样本点为，，，共3个，所以．故选：D．13．ABD【解析】【分析】A选项，最大值减去最小值即为极值；B选项，数据按照从小到大排列，找到处于中间位置的两个，两个的平均数即为中位数；C选项，利用分位数的定义进行求解；D选项，列举法求解古典概型的概率.【详解】，A正确；按照从小到大的顺序进行排列：2.0，3.9，6.2，6.4，7.4，7.5，10.2，12.6，15.7，16.6，处于中间位置的第5和第6分别为7.4，7.5，故这10个国家和地区人均二氧化碳排放量的中位数为，B正确；为整数，所以10个数的30%分位数是，故这10个国家和地区人均二氧化碳排放量30%分位数是6.3吨，C错误；人均二氧化碳排放量超过10吨的国家和地区有4个，随机抽取两个进行访谈，一共出现的情况有：（德国，俄罗斯），（德国，加拿大），（德国，沙特阿拉伯），（俄罗斯，加拿大），（俄罗斯，沙特阿拉伯），（加拿大，沙特阿拉伯），共有6种情况，其中俄罗斯被抽到的情况有3种，故被抽中的概率为，D正确.故选：ABD14．BC【解析】【分析】对于A，根据古典概型的概率求解即可；对于B，根据概率的性质判断即可；对于C，根据必然事件的性质判断即可；对于D，根据古典概型的定义判断即可【详解】逐一分析判断每一个选项：对于A，从4个小球中选取两个小球共有种方案，其中两个小球颜色相同的方案数为2种，故甲获胜的概率为，故A选项错误；对于B，随着事件次数的增加，频率会越来越接近概率，故事件A发生的频率可以估计事件A发生的概率，故B选项正确；对于C，必然事件一定发生，故其概率是1，故C选项正确；对于D，古典概型要求随机事件的结果可能性相等，在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验发芽与不发芽可能性不一定相等，故D选项错误；故选：BC.15．AC【解析】【分析】利用对立事件的定义逐项判断即可.【详解】从中任取两数,其中可能的情况有：“两个奇数”，“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”三种情况.对A选项：至少有一个偶数即包括“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个数都是奇数是对立事件，故A选项正确；对B选项：至少有一个是奇数包括“两个奇数”，“一个奇数与一个偶数”，所以至少有一个是奇数和两个数都是奇数不是对立事件，故B选项不正确；对C选项：至少有一个奇数包括“两个奇数”，“一个奇数与一个偶数”，与“两个偶数”是对立事件，故C选项正确；对D选项：至少有一个奇数包括“两个奇数”，“一个奇数与一个偶数”，至少有一个偶数包括“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”，所以至少有一个奇数和至少有一个偶数不是对立事件，故D选项不正确；故选：AC16．CD【解析】【分析】先求出所有的基本事件的个数为个，再求出四个选项中每一个事件发生包含的基本事件的个数，利用古典概率公式计算概率即可判断是否正确，进而得出正确答案.【详解】先后抛掷两颗质地均匀的骰子，共有36种不同的情形.A.时满足的情形有，，，，，，故，故A错误；B.时满足的情形有，，，，，，，，，故，故B错；C.时满足的情形有，，，，故，故C正确；D.是6的倍数的情形有,，故是6的倍数的概率是，故D正确.故选：CD.17．AC【解析】【分析】从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛，共有15种等可能的结果，对于A，恰有一名参赛学生是男生，即从3名男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有3×3=9(种)结果，从而可求出概率；对于B，先求其对立事件“两名参赛学生都是女生”的概率，再求所求概率；对于D，从3名男生中任选2人有3种结果，从而可求出概率；对于C，“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”，所以用1减去D项的概率即可【详解】从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛，共有15种等可能的结果.恰有一名参赛学生是男生，即从3名男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有3×3=9(种)结果，所以恰有一名参赛学生是男生的概率为，A对；“至少有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是女生”，从3名女生中任选2人有3种结果，所以至少有一名参赛学生是男生的概率为，B错；“两名参赛学生都是男生”，从3名男生中任选2人有3种结果，其概率为，D错；“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”，所以至多有一名参赛学生是男生的概率为，C对.故选：AC18．BC【解析】【分析】计算出五个社团的总人数，可判断A,C;计算出脱口秀社团的人数,判断B;计算脱口秀社团或舞蹈社团的人数占五个社团总人数的比例，可判断D.【详解】由于参加朗诵社团的同学有8名，该社团人数占比为，故社团总人数为80人，故A错误；合唱团人数为，舞蹈社团人数为人，故脱口秀社团的人数为，故脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，故B正确；五个社团总人数占该校学生人数的，故C正确；脱口秀社团人数占五个社团总人数的20%,,舞蹈社团的人数占五个社团总人数的，因此这两个社团人数占五个社团总人数的45%，故从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%，D错误，故选：BC19．【解析】【分析】根据甲乙两人接力位置的不同共有12种不同结果，而同时满足甲跑第一棒，乙跑第四棒只有1种结果，此种情况的概率为，再由概率的计算公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)即可得解.【详解】设事件A＝“甲跑第一棒”，事件B＝“乙跑第四棒”，则P(A)＝，P(B)＝.记甲跑第x棒，乙跑第y棒为(x，y)，则共有可能结果12种：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3).甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种结果，即(1，4)，故P(A∩B)＝；所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝.故答案为：20．OC，OA，OB，OD，AB，BC，CD，DA.【解析】【分析】列举出两点距离不大于正方形边长的线段，从而求出样本点.【详解】两点距离不大于正方形的边长的线段有：OC，OA，OB，OD，AB，BC，CD，DA.故答案为：OC，OA，OB，OD，AB，BC，CD，DA.21．0.3##【解析】【分析】利用列举法结合古典概型概率公式即可得解.【详解】设三个黑球编号分别为,两个黑球编号分别为,先后两次从袋中不放回的各取一球．基本情况有：，,共20种；其中，第一次取出的是白球，且第二次取出的是黑球的情况有6种；故所求概率故答案为：22．【解析】【分析】记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生”为事件，根据为互斥事件，与为对立事件，从而可求出答案.【详解】记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生”为事件，易知为互斥事件，与为对立事件，又，所以.故答案为：.23．(1){选到一本2010年或2010年前出版的中文版的数学书}，{选到一本2010年或2010年前出版的英文版的数学书}(2)在图书室中所有的数学书都是2010年后出版的且为中文版(3)是，理由见解析【解析】【分析】（1）根据并事件、交事件、对立事件的定义判断即可；（2）根据交事件的定义得到，即可判断；（3）依题意等价于，即可判断；(1)解：因为{选到一本数学书}，{选到一本中文版的书}，{选到一本2010年后出版的书}，所以{选到一本2010年或2010年前出版的中文版的数学书}．{选到一本2010年或2010年前出版的英文版的书}，则{选到一本2010年或2010年前出版的英文版的数学书}．(2)解：因为{选到一本2010年后出版的中文版的数学书}，所以在图书室中所有的数学书都是2010年后出