第27讲直线与圆锥曲线的位置关系

第27讲直线与圆锥曲线的位置关系方法总结：1、直线与圆锥曲线问题的特点：（1）题目贯穿一至两个核心变量（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设，至于坐标是否需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂（3）通过联立方程消元，可得到关于（或）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而设而不求（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系。3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式：（1）斜截式：，此直线不能表示竖直线。（2），此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。4、弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线，上两点，所以或5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。典型例题：例1．（2022·山东临沂·一模）已知椭圆C：(，)的左、右焦点分别为，，离心率为，直线被C截得的线段长为.(1)求C的方程：(2)若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且，求四边形面积的最大值及此时的值.【答案】(1)；(2)最大面积为，＝.【解析】【分析】(1)根据离心率表示出a、b、c的关系，再求出被截得的弦长，根据该弦长为即可求出a、b、c，从而确定椭圆的标准方程；(2)，根据椭圆的对称性，延长交椭圆与C、D，构造平行四边形ABCD，根据即可计算四边形面积的最大值，并求出此时的取值.(1)，，，∴，∴椭圆标准方程为，∴，由题可知，；(2)，如图，延长交椭圆与C、D，根据椭圆的对称性可知，四边形ABCD为平行四边形，且四边形面积为四边形ABCD面积的一半.由题知，斜率不为零，故设方程为，①，设，∵，∴，故，O到的距离，＝，当且仅当，即时，取等号，∴当m＝±1时，四边形面积最大为.根据对称性，不妨取m＝1时，方程①化为，解得，由对称性可知，故或，∴或，综上，四边形面积最大为，此时.【点睛】本题关键点利用椭圆的对称性，将四边形补全为平行四边形进行求解.例2．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）已知双曲线的焦距为4，直线l：与交于两个不同的点D､E，且时直线l与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.(1)求双曲线的方程；(2)若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围；(3)设A､B分别是的左､右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q，求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【解析】【分析】（1）列方程求得a、b，即可得到双曲线的方程；（2）把坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，转化为，解不等式可得实数m的取值范围；（3）求得P、Q两点的坐标，得到，即可证明线段PQ在x轴上的射影长为定值.(1)当直线l：与C的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，又双曲线的渐近线为，则又焦距为4，则，解得，，则所求双曲线的方程为.(2)设，，则，由，得，则，，，，又坐标原点O在以线段DE为直径的圆内，则，即，即，即，则，即，则或，即实数m的取值范围.(3)，设，则，直线BD的斜率为，又，则直线PQ的方程为，即，直线AD的斜率为，直线AD的方程为，由，得，即点Q的横坐标为，则.故线段PQ在x轴上的射影长为定值.例3．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若在x轴上存在一点E，使得过点E的任意一条直线l与椭圆的两个交点P、Q，都有为定值，试求出此定值.【答案】(1)(2)5【解析】【分析】（1）根据焦点坐标和焦点三角形中利用余弦定理建立方程，然后解出方程即可；（2）先联立直线和椭圆的方程，然后根据韦达定理表示出、两点的纵坐标的关系，进而表示出，即可求得该定值，同时也对直线为轴时检验即可(1)依题意得：，由椭圆定义知：又，则，在中，由余弦定理得：即解得：又故所求椭圆方程为：(2)设、、，当直线l不为x轴时的方程为联立椭圆方程得：化简可得：根据韦达定理可得：，当且仅当，即时，（定值）即在x轴上存在点E使得为定值5，点E的坐标为或经检验，当直线PQ为x轴时，上面求出的点E也符合题意【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；（2）涉及到直线方程时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．例4．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆：，直线不过原点且不平行于坐标轴，与椭圆交于、两点，线段的中点为．(1)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；(2)若直线的方程为，延长线段与椭圆交于点，四边形为平行四边形，求椭圆的方程．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】(1)根据给定条件利用“点差法”结合斜率的坐标公式计算得解.(2)联立直线与椭圆的方程，结合(1)的信息及已知求出点P的坐标求解作答.(1)依题意，设，，，，两式相减可得，则，即，因为，，直线的斜率，直线的斜率，于是得是定值，所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.(2)设点的坐标为，由消去y并整理得：，则，，又四边形为平行四边形，即线段与线段互相平分，则，即点，而点在椭圆C上，于是得，解得，所以椭圆的方程为：．【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解.例5．（2022·河南安阳·二模（文））已知椭圆的右焦点为F，点A，B，P在椭圆C上．(1)若线段AB的中点为，求直线AB的方程；(2)若F恰好是△ABP的重心，且，，依次成等差数列，求点P的坐标．【答案】(1)(2)或【解析】【分析】（1）判断点在椭圆内部，然后根据点差法求得直线斜率，可得直线方程；（2）根据三角形重心坐标公式可得，再根据，，依次成等差数列，可得，由此可解得答案.(1)由题意，将坐标代入中，满足，故点在椭圆内部，又线段AB的中点为，可知直线AB的斜率存在，设，，则，，两式相减整理得：，由已知可得，则，所以AB的斜率为，直线AB的方程为，即；(2)由已知可得，设，因为F恰好是△ABP的重心，所以，即，因为，，依次成等差数列，所以．，同理，．所以，可得，于是，得，将代入椭圆方程得，所以点P的坐标为或．例6．（2022·河南·模拟预测（文））已知椭圆C：的离心率为，直线与椭圆仅有一个公共点.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：，试问在x轴上是否存在一定点M，使得过M的直线交椭圆于P，Q两点，交l于N，且满足，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，(4，0).【解析】【分析】(1)根据离心率列出一个方程，联立直线方程和椭圆方程由再得一个方程，结合本身a、b、c的关系即可解出a、b、c的值，从而确定椭圆的标准方程；(2)设，，，，直线PQ的方程为，由，得，即，联立直线PQ与椭圆方程，得和，从而可求m、n、t的关系，再结合N是l和直线PQ的交点即可求出m的值，从而可判定PQ是否过定点.(1)∵，∴，，将代入，整理得，∴，解得，∴，，∴椭圆C的方程为.(2)设，，，，直线PQ的方程为，由，得，即.将代入椭圆方程，整理得，，即，∴，.∴.将(1，n)代入，可得，代入上式可得.当直线PQ的方程为时，也满足题意.故定点M为(4，0).过关练习：1．（2022·山西·怀仁市第一中学校一模（理））已知椭圆的离心率，椭圆上的点与左、右顶点所构成三角形面积的最大值为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过椭圆C右焦点的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，满足k1•k2＝﹣2，l1交C于点E，F，l2交C于点G，H，线段EF与GH的中点分别为M，N．判断直线MN是否过定点，若过定点求出该定点；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)；(2)是定点，定点为.【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率、几何性质，椭圆的上下定点与长轴构成的三角形面积最大，求得参数的值，写出标准方程；（2）设l1：y＝k1（x﹣1），l2：y＝k2（x﹣1），联立直线l1与椭圆C的方程，得到韦达定理，同时求得的坐标；方法一：讨论直线MN的斜率存在情况，将坐标代入直线方程lMN：y＝mx+n，求得之间的关系，从而判断直线是否过定点；方法二：讨论直线MN的斜率存在情况，由坐标求得直线MN的斜率，并写出直线方程，由椭圆的对称性可知，若定点存在，则必在x轴上，所以令y＝0，化简判断x是否为定值即可.(1)设右焦点F（c，0），c＞0，由题知求得a＝2，，c＝1，所以椭圆C的标准方程为．(2)方法一：设l1：y＝k1（x﹣1），l2：y＝k2（x﹣1），联立直线l1与椭圆C的方程得消去y得，，由根与系数的关系知，则，代入直线l1的方程得，所以，同理得．①当直线MN的斜率存在时，设直线lMN：y＝mx+n，将点M，N的坐标代入直线lMN，得易知k1，k2为方程（4m+4n）k2+3k+3n＝0的两个根，由根与系数的关系知，由题知k1⋅k2＝﹣2，所以，得，所以直线，所以直线MN过定点．②当直线MN的斜率不存在时，，即，所以k1＝﹣k2，且k1⋅k2＝﹣2．不妨设，，所以，即直线，满足过定点．综上，直线MN过定点．方法二：设l1：y＝k1（x﹣1），l2：y＝k2（x﹣1），联立直线l1与椭圆C的方程消去y得，．由根与系数的关系知，，，代入直线l1的方程得，所以，同理的．①当直线MN的斜率存在时，即k1≠﹣k2，＝＝，（上式结合k1⋅k2＝﹣2化简），直线＝，由椭圆的对称性可知，若定点存在，则必在x轴上，所以令y＝0，得，所以直线MN过定点．②当直线MN的斜率不存在时，，即，所以k1＝﹣k2，k1⋅k2＝﹣2．不妨设，，所以，即直线，满足过定点．综上，直线MN过定点．2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：过点A(2，0)，B(0，1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.【答案】(1)；；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)由顶点可求a和b，由可求c，则椭圆的方程可求，离心率为可求；(2)设，，求出、所在直线方程，得到，的坐标，求得，．由，结合在椭圆上求得四边形的面积为定值．(1)由题可知，，则，椭圆的方程为，离心率为；(2)设，，则，所在直线方程为，取，得；，所在直线方程为，取，得．，．．四边形的面积为定值2．【点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.3．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知抛物线上一点到焦点的距离为．(1)求抛物线的标准方程；(2)若点A，为抛物线位于轴上方不同的两点，直线，的斜率分别为，，且满足，求证：直线过定点．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据抛物线的定义和焦半径公式即可求出p；(2)方法一：设，表示出，，设AB为，联立AB与抛物线方程，结合韦达定理和求出b与m的关系即可求得定点；方法二：设、，的方程为：，联立AB与抛物线方程，结合韦达定理和求出b与m的关系即可求得定点.(1)∵点到焦点的距离为，，解得：，抛物线的标准方程为；(2)方法一：设，，则，，设直线的方程为：，直线的斜率，联立方程得，则，，，，，则，即，∴，即则直线的方程为，过定点∴直线过定点.方法二：设、，由题意，∴，设直线的方程为：，联立方程得，，由，可得，，，即，，即，即，即，整理得，直线的方程为，过定点，∴直线过定点.4．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的任意一点M到直线（且为常数）的距离与点M到点的距离相等.(1)求动点M的轨迹方程（用t表示）；(2)设直线l与曲线C相切于点P（点P在第一象限），过原点O作直线l的平行线与直线PF相交于点Q，证明：FQ为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由抛物线的定义判定轨迹类型，进而求其方程；（2）设出直线l及与其平行l的直线方程，联立直线l和抛物线方程，利用判别式为0得到，进而得到切点的坐标，再利用三角形相似进行求解.(1)解：由题意知，点M到直线的距离等于点M到的距离，由抛物线定义得，动点M的轨迹方程为.(2)证明：如图所示，设直线，且与x轴交于点A，易得，与抛物线联立并消去y，得，又直线l与抛物线C相切于点P，故，化简得，即化为，所以切点P的横坐标为，易证，故，即，故，为定值.5．（2022·全国·模拟预测）已知P为椭圆短轴上的一个顶点，，为的左、右焦点，且的面积为，椭圆的焦距为2．(1)求椭圆的方程；(2)设直线l为圆的切线，且l与相交于A，B两点，求的取值范围（O为坐标原点）．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）因为椭圆的焦距为2，则可得出c的值，再由三角形面积公式可求得b的值，进而求得的值，进而求得椭圆的标准方程；（2）由于直线l为圆的切线，注意讨论直线l的斜率存在情况，先确定一般情况下的取值范围，再确定特殊情况下的值，最后整合两种情况下的范围，即取两者的并集，最终得到的取值范围．(1)依题意，，所以．在中，，解得，所以，所以椭圆的方程为；(2)设，，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，联立整理得，则，则，则．又直线l为圆的切线，则，即，则．又，于是；当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为，则，，．综上，【点睛】方法点睛：在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．6．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点，，．(1)求椭圆C的方程；(2)不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点，记直线l、AM、AN的斜率分别为k、、．若，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．【答案】(1)；(2)证明见解析，(－5,0).【解析】【分析】(1)写出A、B、F的坐标，求出向量坐标，根据向量的关系即可列出方程组，求得a、b、c和椭圆的标准方程；(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，，．联立直线l与椭圆方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，求出，根据即可求得k和m的关系，即可证明直线过定点并求出该定点.(1)由题意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(c，0)．∵，∴解得从而b2＝a2－c2＝3．∴椭圆C的方程；(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，，．∵直线l不过点A，因此－2k＋m≠0．由得．时，，，∴．由，可得3k＝m－2k，即m＝5k，故l的方程为y＝kx＋5k，恒过定点(－5,0).7．（2022·四川·三模（理））已知椭圆的离心率，且过点．(1)求椭圆E的方程；(2)设C点关于y轴的对称点为D，点M在直线OD上，过点M的直线l与E交于A、B两点，线段AB的中点为N，若，求点M的坐标．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆的方程；（2）先判断出直线l的斜率不存在不合题意；设过点M的直线l的方程为，设，用“设而不求法”得到，，由得到.设，将其代入得，对任意k恒成立的充要条件为，即，即可求出点M的坐标为．(1)由已知，得，

①又，

②由①②解得，，故椭圆E的方程为：．(2)由题设及得．当直线l的斜率不存在时，AB垂直于x轴，此时可设：，所以，而.因为，所以，解得：，这与相矛盾，故直线l的斜率存在.可设过点M的直线l的方程为（斜率存在），将其代入并整理得，当时，设，，∴，，继而可得，，又，，∴整理得，

（*）设，将其代入得，又将代入（*）式整理得，即：，对任意k恒成立的充要条件为，即，∴，故点M的坐标为．【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.8．（2022·河南·高三阶段练习（文））椭圆C：（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，＝，椭圆的上顶点为B，｜AB｜＝，O为坐标原点，△AOB为等腰直角三角形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若经过点A的直线l与椭圆C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恰经过点B，求直线l的方程．【答案】(1)；(2)，或．.【解析】【分析】（1）由题可得，，结合条件可得，即求；（2）分情况讨论，当直线l不存在斜率时，不合题意，当直线l存在斜率时，设直线l的方程为：，联立椭圆方程利用韦达定理，结合条件可得，进而即求.(1)依题意，，则点A的坐标为，点，又因为为等腰直角三角形．∴，则可得，从而椭圆C的方程为；(2)当直线l不存在斜率时，以线段为直径的圆的方程即为，不经过点B．当直线l存在斜率时，设，若以线段为直径的圆经过点B，则有，不妨设直线l的方程为：，代入椭圆方程化简得：，，从而有：，，∴，，从而有，，由，得或．所以直线l的方程为：，或．9．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（理））已知双曲线的右焦点为，过点F与x轴垂直的直线与双曲线C交于M，N两点，且.(1)求C的方程；(2)过点的直线与双曲线C的左､右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据双曲线右焦点为，且，由求解；（2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，求得，与双曲线C的渐近线方程联立，求得，根据求解.(1)解：由题意得，解得故C的方程为.(2)显然直线率存在，设直线的方程为，，，联立，得，因为与双曲线C的左，右两支分别交于D，E两点，故，解得，此时有.，，由，解得，同理可得，所以.因为，故.因为，故，故实数的取值范围是.10．（2022·浙江·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与抛物线C交于A，B两点.(1)若，求的面积；(2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)联立直线与抛物线，根据弦长公式求出，根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，根据三角形面积公式可求得结果；(2)设直线的方程为代入抛物线，利用判别式大于0可得，根据韦达定理求出的中点坐标，将其代入直线得到与的关系式，根据的范围可得的范围．(1)抛物线的焦点为，时，直线，联立，可得，设，，，，则，．，点到直线的距离距离，的面积．(2)∵点，关于直线对称，∴直线的斜率为，∴可设直线的方程为，联立，整理可得，由，可得，设，，，，则，故的中点为，∵点，关于直线对称，∴的中点，在直线上，∴，得，∵，∴．综上，的取值范围为．11．（2022·黑龙江实验中学高三阶段练习（文））椭圆：（），离心率为，过点.(1)求椭圆方程；(2)若椭圆左顶点为，过点的直线与椭圆交于不与D重合的、两点，求.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根据求得，然后可得方程.（2）设直线方程并按斜率是否存在进行讨论，结合韦达定理并表示，计算即可.(1)由题可得，解得，∴椭圆方程为；(2)当直线斜率不存在时，，，，∴，当直线斜率存在时，设直线方程为，，由，得，，∴，，∴综上，的值为.12．（2022·全国·高三阶段练习（文））如图所示，已知抛物线：，过点的直线与抛物线有两个交点，若抛物线上存在不同的两点，关于直线对称，记的中点为.(1)求点的轨迹方程；(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）设直线，，，，，，将，的坐标代入抛物线方程得到，再代入直线方程化简即可；（2）联立直线的方程和抛物线方程，将在面积表示出来，再利用求解即可．(1)由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线，，，，，，如图，由可得：，所以，所以，代入直线方程得：，又当时，由得，在抛物线开口方向内，，点的轨迹方程为：；(2)由（1）可知直线：，由

得：，直线与抛物线交于，两点，即则，

，，又，令，

，由得（负根舍去），知当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，当时，取得最大值，时，.13．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：(0<m<5)的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点．(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）直接根据离心率列式计算即可；（2）设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根据对称性可设yQ>0，则yP>0，写出直线直线BP的方程，利用|BP|＝|BQ|求出即可求出各点的坐标，再求出|P1Q1|，点A到直线P2Q2的距离，即可得△APQ的面积.(1)由题设可得＝，得m2＝，所以C的方程为；(2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根据对称性可设yQ>0，则yP>0.由已知可得B(5，0)，直线BP的方程为y＝－(x－5)，所以|BP|＝yP，|BQ|＝.因为|BP|＝|BQ|，所以yP＝1.将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.由直线BP的方程得yQ＝2或8，所以点P，Q的坐标分别为P1(3，1)，Q1(6，2)；P2(－3，1)，Q2(6，8)．所以|P1Q1|＝，直线P1Q1的方程为y＝x，点A(－5，0)到直线P1Q1的距离为，故△AP1Q1的面积为××＝；|P2Q2|＝，直线P2Q2的方程为y＝x＋，点A到直线P2Q2的距离为，故△AP2Q2的面积为××＝.综上，△APQ的面积为.14．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：上有一点，点在轴上方，，分别为的左，右焦点，当△的面积取最大值时，.(1)求的标准方程；(2)若直线交于，两点，设中点为，为坐标原点，，作，求证：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可知当点为上顶点时的面积取得最大值，再结合，即可求出，的值，得到椭圆的标准方程．（2）①当直线的斜率存在时，设点，，点，，设直线的方程为，与椭圆方程联立，由韦达定理可得，，代入，可得，所以坐标原点到直线的距离为定值，②当直线的斜率不存在时，点即与轴交点，设点，代入椭圆可求出的值，得到直线的方程，得到亦成立．(1)解：当点为上顶点时，的面积取得最大值，，，又，解得，椭圆的标准方程为．(2)证明：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程，消去得：，，即，设点，，点，，，，，，，，，，坐标原点到直线的距离为定值，②当直线的斜率不存在时，点即与轴交点，，设点，代入椭圆的方程得：，解得，当直线时，点，，，，成立，同理当直线时也成立，，综上所求，为定值．15．（2022·陕西武功·二模（理））已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，点N（t，1）在抛物线C上，且|NF|＝.(1)求抛物线C的方程；(2)过点M（0，1）的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，设O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.【答案】(1)x2＝2y；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义进行求解即可；（2）设直线l的直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系、斜率公式进行证明即可.(1)∵点N（t，1）在抛物线C：x2＝2py上，且|NF|＝，∴|NF|＝，解得p＝1，∴抛物线C的方程为x2＝2y；(2)依题意，设直线l：y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得x2﹣2kx﹣2＝0.则x1x2＝﹣2，∴.故k1k2为定值.【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义是解题的关键.16．（2022·全国·模拟预测）已知，是双曲线的左、右焦点，且双曲线过点，．(1)求双曲线的方程；(2)已知过点的直线交双曲线左、右两支于，两点，交双曲线的渐近线于，（点位于轴的右侧）两点，求的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）设双曲线的半焦距为，由建立关于的方程，并求出的值，再将点坐标代入双曲线得，结合，解得，的值，即可求出双曲线的方程；（2）先设直线的方程为，再分别与双曲线的渐近线方程联立，得到，的表达式，即可求出长度的表达式，联立双曲线与直线的方程，整理成关于的一元二次方程．设，，结合韦达定理求出，的表达式，并得到的取值范围，进而求得的表达式，化简，再结合的取值范围即可求解．(1)设双曲线的半焦距为，∵，∴．又，，解得，，∴双曲线的方程为．(2)由题意可设直线的方程为，双曲线的渐近线方程为，联立得，联立得，∴．联立得，设，，则，，由即，∴，∴．又，∴，∴，∴的取值范围为．【点睛】本题以双曲线为背景，考察双曲线的方程与几何性质、直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查数学运算和逻辑推理核心素养，属综合困难题.17．（2022·广东深圳·一模）已知双曲线：经过点A，且点到的渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点作斜率不为的直线与双曲线交于M，N两点，直线分别交直线AM，AN于点E，F．试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．【答案】(1)(2)以为直径的圆经过定点，定点坐标为和【解析】【分析】（1）根据点在双曲线上和点到直线的距离分别建立方程，然后解出方程即可；（2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理，并表示出以为直径的圆的方程，结合对称性即可求得定点坐标(1)由题意得：因为双曲线C的渐近线方程为，所以有：解得：因此，双曲线C的方程为