专题06简单几何体的表面积与体积名校重难点题型分类高分必刷题-2022-2023学年高中数学下学期重难点题型分类高分必刷题（人教A版2019）

专题06简单几何体的表面积与体积重难点题型分类高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《立体几何初步》前三节的七种主流题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：基本立体图形的概念题、斜二测画法、柱体的表面积与体积、棱锥的表面积与体积、圆锥的表面积与体积、棱台圆台的表面积与体积、球的表面积与体积。适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。题型一：基本立体图形的概念题1.（A佳联考）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是()A.①是棱台 B.②是圆台 C.③是棱锥 D.④是棱柱【解答】解：图①中的几何体不是由棱锥被一个平面截得的，且上下底面不是相似图形，故①不是棱台；图②中的几何体上下两个底面不平行，故②不是圆台；图③中的几何体为圆锥；图④中的几何体前后两个面互相平行，其他面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行，故④是棱柱，故选：D．2.（市实验）下列命题错误的是()(多选)A.在两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱B.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体C.相等的线段在直观图中仍然相等D.平行的线段在直观图中仍然平行【解答】解：对于A：有两个面平行，其他各个面都是平行四边形两个扣在一起的斜棱柱组成的多面体就不是棱柱，故A错误；对于B：长方体是四棱柱，直四棱柱的底面不一定是长方形，故不一定是长方体，B错误；对于C：相等的线段在直观图中不一定相等，故C错误；对于D：与y轴平行的线段在直观图中平行性不变，故D正确；故选：ABC．3.（雅礼）下列说法错误的是()（多选）A.有⼀个⾯是多边形，其余各⾯都是三⻆形，由这些⾯围成的多⾯体是棱锥B.有两个⾯平⾏且相似，其余各⾯都是梯形的多⾯体是棱台C.如果⼀个棱锥的各个侧⾯都是等边三⻆形，那么这个棱锥可能为六棱锥D.如果⼀个棱柱的所有⾯都是⻓⽅形，那么这个棱柱是⻓⽅体【解答】解：对于A：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，必须强调各个三角形的顶点必须相交于一点，故与锥体的定义矛盾，故A错误；对于B：有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台，与台体的形成矛盾，台体是由锥体沿侧棱作与底面平行的截面，所形成几何体的下半部分为台体，故B错误；对于C：如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个几何图形不可能构成体，只能构成正六边形，故C错误；对于D：如果一个棱柱的所有面都是长方形，根据侧棱垂直于底面，且每一条侧棱互相平行，那么这个棱柱是长方体，故D正确．故选：ABC．题型二：斜二测画法4．（2022春·山东）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC=AB=2，则原平面图形的面积为（

）A． B． C． D．【详解】直观图中，∠ADC=45°，AB=BC=2，DC⊥BC，∴，DC=4，∴原来的平面图形上底长为2，下底为4，高为的直角梯形，∴该平面图形的面积为.故选：C.5．（2022春·山西）如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是（

）A．6 B．12 C． D．【详解】解：由直观图画法规则，可得是一个直角三角形，其中直角边，∴．故选：B．6．（2022春·浙江杭州）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为（

）A． B． C． D．8【详解】由题可知，∴，还原直观图可得原平面图形，如图，则，∴，∴原平面图形的周长为.故选：B.7．（2022春·福建泉州）如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是（

）A．8 B．16 C．32 D．64【详解】原图形中，，边上的高为，故面积为32,故选：C.8．（2022春·广东）如图，是水平放置的的直观图，则的周长为________．【详解】根据斜二测画法的规则可知，，，，所以，所以的周长为.故答案为：.题型三：柱体的表面积与体积9．（2022·全国·高一期中）如图，一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为，高为，则这个茶叶盒的表面积约为______．（精确到0.1，）【详解】边长为10的正六边形的面积为，所以表面积为，故答案为：。10.（雅礼）将边长为和的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的轴截面的面积为_________.【解答】解：以4为高卷起，则2πr＝8，∴2r＝，∴轴截面面积为cm2．若以8为高卷起，则2πR＝4，∴2R＝，∴轴截面面积为cm2．11．（2022春·黑龙江）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的体积是（

）A． B． C． D．【详解】若圆柱底面半径为，则，可得，且圆柱的高为，所以圆柱的体积为.故选：A12．（2020秋·福建）某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）为A．18 B． C． D．【详解】由题意可知几何体是底面为正三角形的三棱柱，底面边长为2，高为3,所以几何体的体积为，故选：C.13．（2022春·北京）已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的表面积为（

）A． B． C． D．【详解】由斜二测画法的“三变”“三不变”可得底面平面图如图所示，其中，所以，所以此三棱柱的表面积为.故选：C14．（2022秋·广东）中国古代数学的瑰宝《九章第术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如下图所示的“曲池”，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（

）A． B． C． D．【详解】设对应半径为R，对应半径为r，根据弧长公式可知，，因为两个扇环相同，长度为长度的3倍，所以，因为，所以，所以曲池体积为.故选：D。15.（雅礼）祖暅，又名祖暅之，是我国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之的儿子.他在《级术》中提出“幂势既同，则积不容异”的结论，其中“幂”是面积.“势”是高，意思就是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任一平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等(如图①).这一原理主要应用于计算一些复杂几何体的体积，若某艺术品如图②所示，高为，底面为边长的正三角形挖去以底边为直径的圆(如图③)，则该艺术品的体积为()A.B.C.D.【解答】解：如图，∵△ADE为等边三角形，∴∠ADE＝∠AED＝60°，又OB＝OD＝OC＝OE，∴AB＝AC＝BO＝CO＝DE，即四边形ABOC为菱形．∴S阴影＝S四边形ABOC﹣S扇形OBC＝．∴该艺术品的体积为V＝（cm3）．故选：B．题型四：棱锥的表面积与体积16.（市实验）已知长方体的体积为，则三棱锥的体积为__________.【解答】解：如图：设长方体的长为a，宽为b，高为c，由题意零点abc＝72，三棱锥A1﹣BCD的体积为：＝＝12．故答案为：12．17.（广益）一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为，则棱柱与棱锥的体积之比为()A. B. C. D.【解答】解：设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积为，所以棱柱与棱锥的体积之比为．故选：B．18.（长郡）学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为__________.【解答】解：该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1，挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，∴该模型体积为：﹣VO﹣EFGH＝6×6×4﹣＝144﹣12＝132（cm3），∵3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，∴制作该模型所需原料的质量为：132×0.9＝118.8（g）．故答案为：118.8．19．（2021春·广东）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，则四棱锥A1B1C1CB的体积是（

）A．2 B．2 C． D．【详解】如图，取B1C1的中点E，连结A1E，，又面，面，，又，所以A1E⊥平面BB1C1C，所以A1E为四棱锥A1B1C1CB的高，又矩形BB1C1C的面积为，所以四棱锥A1B1C1CB的体积V＝，故选：A．20.（长郡）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如果正方体的棱长是，那么石凳的体积是()A.B.C.D.【解答】解：由题意可知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，体积是＝36000cm3；正方体的体积为60×60×60＝216000cm3；则石凳的体积是216000﹣36000＝180000cm3．故选：C．21．（明德）如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示的六面体，则下列说法正确的是（）（多选）A．六面体的体积为B．若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为C．折后棱，所在直线异面且垂直D．折后棱，所在直线相交【解答】解：六面体由两个全等的正四面体组成，其中每个四面体的棱长为1，四面体的高为，故六面体的休积，故A正确，由图形的对称性，小球的体积要达到最大，即球与六面体的每个面都相切时体积达到最大，六面体的每个面的面积是，连接球心与五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为R，所以，解得，所以球的体积，故B正确，折后AB、CD在共底的两个四面体的底面，则直线AB与CD相交，故D正确，故选：ABD．22.（A佳联考）正方体的棱长为，，，分别为，，的中点.则()（多选）A.正方体体积是三棱锥体积的倍B.直线与平面平行C.平面截正方体所得的截面面积为D.三棱锥与在棱锥的体积相等【解答】解：对于A，＝2×2×2＝8，VD﹣EFC＝，∴正方体体积是三棱锥D﹣EFC体积的24倍，故A正确；对于B，取B1C1的中点H，连接EH，可得四边形DD1HE为平行四边形，则D1H∥DE，∵DE⊂平面DEF，D1H⊄平面DEF，∴D1H∥平面DEF，又EF∥BC1，GH∥BC1，∴GH∥EF，∵EF⊂平面DEF，GH⊄平面DEF，∴GH∥平面DEF，而D1H∩GH＝H，∴平面D1GH∥平面DEF，∵D1G⊂平面D1GH，∴直线D1G与平面DEF平行，故B正确；对于C，在等腰三角形DEF中，，EF＝，则EF边上的高为，∴平面DEF截正方体所得的截面面积为S＝，故C正确；对于D，∵GH∥EF，∴VG﹣DEF＝VH﹣DEF＝VD﹣EFH＝2VD﹣CEF＝2VC﹣DEF，故D错误．故选：ABC．题型五：圆锥的表面积与体积23．（2022春·重庆）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是（

）．A． B．2 C． D．【详解】如图，由题意知为等腰直角三角形，则，底面圆周长为，故圆锥的侧面积为.故选：D.24．（2022春·广西）若圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是（

）A． B． C． D．【详解】设圆锥的高为，底面半径为，则，解得.所以.则圆锥的体积.故选：B25．（2022春·浙江）已知圆锥的侧面展开图为一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（

）A． B．1 C． D．【详解】设圆锥的母线长为l，圆锥的底面半径为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得，则圆锥的高.故选：D.26．（2016秋·浙江）若圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥表面积与侧面积的比为（

）A． B． C． D．【详解】由题，，，，故故选：C27．（2022春·山东）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.【详解】∵∴，∴，∴.故答案为：.28．（2022秋·甘肃）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是（

）A． B． C． D．【详解】由题意可得圆锥体的母线长为，所以圆锥体的侧面积为，圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，所以此陀螺的表面积为（），故选：C29.（长郡）如图，圆锥的底面直径和高均为，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积是()A. B.C. D.【解答】解：圆锥SO的底面半径为，高为a，则圆柱PO的底面半径是，高为，∴VSO＝π（）2•a＝，V圆柱＝π（）2•＝π，∴剩下几何体的体积是＝．故选：B．题型六：棱台、圆台的表面积与体积30．（2022春·江苏无锡）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（

）A． B． C． D．【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，所以该棱台的体积.故选：D.31．（2022春·江西）下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是（

）A． B． C． D．【详解】如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为，则，，解得，，，设上底面面积为，下底面面积为，则体积为.故选：B.32．（2022春·福建）《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和，则方亭的体积为（

）A． B． C． D．【详解】由题意得，设，则，.过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、，在等腰梯形中，因为，，，则四边形为矩形，所以，，，因为，，，所以，，所以，，所以，，所以等腰梯形的面积为，得.所以，，，故方亭的体积为.故选：C.33．（2022春·广东）圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为3，则圆台的体积为（

）A． B． C． D．【详解】因圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为3，则圆台的高为，所以圆台的体积为.故选：A.34．（2022春·福建）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的有（

）（多选）A． B．该圆台轴截面ABCD面积为C．该圆台的体积为 D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm【详解】A：由已知及题图知：且，故，错误；B：由A易知：圆台高为，所以圆台轴截面ABCD面积，正确；C：圆台的体积，正确；D：将圆台一半侧面展开，如下图中且为中点，而圆台对应的圆锥体侧面展开为且，又，所以在△中，即C到AD中点的最短距离为5cm，正确.故选：BCD35．（2021春·广东深圳）用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为，则关于上、下两空间图形的说法正确的是（

）（多选）A．侧面积之比为 B．侧面积之比为C．体积之比为 D．体积之比为【详解】依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为，高之比为，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为，体积之比为，即小棱锥与棱台的侧面积之比为，体积之比为.故选：BD.题型七：球的表面积与体积36．（2022春·广东广州）若棱长分别为，2，3的长方体的顶点都在同球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【详解】长方体的体对角线的长度为，因为长方体的顶点都在同一球面上，故该球为长方体的外接球，故其直径为，故表面积为.故选：B.37．（2022春·湖南邵阳）已知正方体的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则该球的表面积是（

）A．6π B．12π C．18π D．24π【详解】解：正方体的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，设外接球的半径为r，则，解得，故球的直径为.球的表面积为.故选：B.38．（2022春·广东珠海）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，，则其外接球的表面积是（

）A． B． C． D．【详解】如下图，若，，有，∴Rt△外接圆圆心在中点上，设外接圆半径为r，三棱锥外接球半径为R，则：.∴.故选：C39．（2022秋·天津河西·高三天津市海河中学校考期末）在三棱锥中，平面，，且，则三棱锥外接球的体积等于（

）A． B． C． D．【详解】因为三棱锥中，平面，，不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，因为，则长方体的长宽高分别为，所以三棱外接球的半径为.所以三棱锥外接球的体积为.故选：C.40．（2022秋·山东青岛）词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术・商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中平面，，，则四面体PABC的外接球的表面积为______．【详解】由于平面，因此与底面上的直线都垂直，从而与不可能垂直，否则是锐角三角形，由于，因此有，而与是平面内两相交直线，则平面，平面，所以，所以的中点到四个点的距离相等，即为四面体PABC的外接球球心．，，所以所求表面积为．故答案为：．41.(师大)表面积为的球，其内接正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的高是，则这个正四棱柱的表面积等于()A. B. C. D.【解答】解：设球的半径为r，则4πr2＝324π，解得r＝9，设正四棱柱的底面边长为a，则正四棱柱的体对角线为＝2r＝18，解得a＝8，∴正四棱柱的表面积为S＝2×82+4×8×14＝576，故选：B．42.（雅礼）已知一个圆锥的底面圆面积为，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于()A. B. C. D.【解答】解：设圆锥底面圆半径为r，圆锥的底面圆面积为3π，可得πr2＝3π，所以r＝，母线长为l，圆锥的外接球半径为R，∵侧面展开图是半圆，2＝，∴l＝2，∴圆锥的轴截面为等边三角形，∴球心为等边三角形的中心，∴R＝＝2，∴外接球的表面积是4πR2＝16π．故选：B．43.（一中）四棱锥中，底面为矩形，侧棱面，且，，则此四棱锥的外接球的表面积为________.【解答】解：把四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球是长方体的外接球，∵长方体的对角线长等于球的直径，∴2R＝＝6，∴R＝3，外接球的表面积S＝4πR2＝36π．44.（雅礼）如图，是边长为的正方形，其对角线，交于点，将正方形沿对角线折叠，使点到，.设三棱锥的外接球的体积为，三棱锥的体积为，则_________.【解答】解：如图，∵ABCD是边长为2的正方形，∴∠BCD＝∠BA′D＝90°，则O为三棱锥A′﹣BCD的外接球的球心，且半径R＝．则三棱锥A′﹣BCD的外接球的体积为V＝；过A′作AC的垂线A′G，则A′G⊥平面ABCD，由∠A′OC＝，得，则．∴．则＝．故答案为：．45．（2022春·山东淄博）若所有棱长都是3的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（

）A． B． C． D．【详解】解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：；所以外接球的半径为：．所以外接球的表面积为：．故选：C46．（2022春·辽宁沈阳）已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【详解】如图，为棱的中点，为正△的中心，为外接球的球心根据直棱柱外接球的性质可知∥，，外接球半径，∵正△的边长为6，则，∴，外接球的表面积，故选：C．47．（2022春雅礼）在正三棱锥中，，正三棱锥的体积是，则正三棱锥外接球的表面积是（

）A． B． C． D．【详解】如图所示，设点G为的外心，则平面，由，∴，则三棱锥的外接球的球心O在直线上．设其外接球的半径为R，由正弦定理得，在中，，由勾股定理得，即，解得．正三棱锥外接球的表面积是，故选：C．48．（2022春·河北石家庄）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于（

）A． B． C． D．【详解】设