第六章平面向量及其应用（选拔卷）-2021-2022学年高一数学尖子生选拔卷（人教A版2019）

第六章平面向量及其应用（人教A版2019）选拔卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单选题（每小题5分，共40分）1．（2021秋•香坊区校级期末）已知向量，，则下列说法不正确的是A．若，则的值为 B．若，则的值为2 C．的最小值为1 D．若与的夹角为钝角，则的取值范围是【解答】解：选项，若，则，所以，即正确；选项，，，若，则，解得，即正确；选项，，当时，取得最小值1，即正确；选项，若与的夹角为钝角，则，，解得且，即错误．故选：．2．（2021秋•金山区期末）已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为、．现有两个结论：①若，则；②的最大值为．则正确的判断是A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【解答】解：由，解得，当时，，由得，，即，由得，因为，假设，则可求出，代入中，等号不成立，故①错误；设，因为，由向量共线定理可知，点在线段上，如图，设，则，因为，所以，即，所以，，而要想保证最大，只需最小，由余弦定理可得：，当且仅当时等号成立，所以最小值为，所以最大值为，故的最大值为，②正确；故选：．3．（2021秋•河南期中）如图所示，矩形的对角线相交于点，点在线段上且，若，则A． B． C．1 D．【解答】解：，故，．故．故选：．4．（2021秋•相山区校级月考）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为A． B． C． D．【解答】解：由可得，，，又因与不共线，且，，故选：．5．（2021秋•河南月考）已知中，，，，点，分别为线段，上靠近，的三等分点，点为线段的中点，则A． B． C． D．【解答】解：，，，所以，故选：．6．（2021秋•香坊区校级期中）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，则的面积最大值为A． B． C． D．【解答】解：，，由余弦定理得，即，则，当且仅当时取等号，则的面积，即的面积最大值为，故选：．7．（2021秋•信阳期中）在钝角中，已知，的对边分别为，，，，且，则A． B． C．或 D．或【解答】解：因为，所以，因为，所以，由正弦定理可得，，则，因为，所以，角为的内角，所以或，当时，为钝角三角形，符合题意；当时，因为，则，所以，则为钝角三角形，符合题意．故选：．8．（2021秋•凌河区校级月考）在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知，则的取值范围是A．， B． C． D．【解答】解：因为，由正弦定理可得，即，因为，，可得，所以，即，因为为锐角三角形，可得，解得，所以，因为，可得，可得，所以，即的取值范围是．故选：．二、多选题（每小题5分，共20分）9．（2021春•樊城区校级期末）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是A．若，则 B．，若与平行，则 C．非零向量和满足，则与的夹角为 D．点，，与向量同方向的单位向量为【解答】解：对于，若，且，可满足条件，但，故不正确；对于，由条件，，若这两向量平行，有，解得，故正确；对于，由条件可知，以向量和为边对应的四边形为一个角是的菱形，则与的夹角为，故正确：对于，可得，因此与同方向的单位向量为，，故正确；故选：．10．（2021春•湖北月考）设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，则的值不可能为A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：因为，所以，，所以，又，且，所以，，所以，又，，所以，，所以，，所以不可能为1，3，4．故选：．11．（2021秋•海门市月考）对平面向量，，有A．若和为单位向量，则 B．若，则 C．若，在上的投影向量为，则的值为2 D．已知，为实数，若，则与共线【解答】解：对于，单位向量为模长为1的向量，方向不一定相同，所以若和为单位向量，两个向量不一定相等，故错误；对于，当或时，满足条件，因为零向量与任何一个向量均为共线向量，所以；当与均不是零向量时，因为，所以，所以或，所以，故：正确；对于，设，由投影向量的定义可知在上的投影向量为，故，所以，即，故正确；对于，当时，满足条件，但是与不共线可知错误；故选：．12．（2021秋•诸暨市校级期中）已知，分别是的边，的中点，若，则点在四边形内（包括边界）的有A．， B．， C．， D．，【解答】解：如图：当点落在线段上时，有，且满足，，，，设线段，且介于线段，之间，将点看成线段与线段的交点，可设，，此时，，故，且，，，经计算，，选项满足，，选项不满足．故选：．三、填空题（每小题5分，共20分）13．（2021秋•河南月考）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，且，则1．【解答】解：由于的面积为，所以，整理得；由于，且，利用余弦定理，转换为，整理得，则，故（负值舍去）．故．故答案为：1．14．（2021秋•海陵区校级月考）在中，，，，动点自点出发沿运动，到达点时停止，动点自点出发沿运动，到达点时停止，且动点的速度是动点的3倍．若二者同时出发，且当其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，则该过程中最大值是72．【解答】解：中，，，，，得．由知，，建立平面直角坐标系，如图所示；设点，，，，，，即，，，当时，取得最大值是72．故答案为：72．15．（2021秋•定海区校级月考）已知中，，，，则边长为，的面积是．【解答】解：因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，．故答案为：；2．16．（2021秋•民乐县校级月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围为．【解答】解：由正弦定理，及，且，，则，，所以，，因为为锐角三角形，所以，所以，所以，，所以，所以，故答案为：．四、解答题（共70分）17．（10分）（2021秋•清江浦区校级月考）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．（1）求角的大小；（2）若，点满足，且，求边的长．【解答】解：（1），利用正弦定理化简得：，即，所以，因为，所以，即，因为，可得，所以，可得．（2）由，可知，，在一直线上且，在中，由余弦定理有①，②，在中，由余弦定理有，所以③①③得，所以④，把①代入④得，解得或（舍去）所以，所以．18．（12分）（2021秋•汕头期末）在中，角，，所对的边分别，，．已知．（1）求；（2）若，，设为延长线上一点，且，求线段的长．【解答】解：（1），由正弦定理可得，，，，，．（2）由（1）知，，，由正弦定理可得，，即，，或（舍去），，，，，，．19．（12分）（2021秋•松江区期末）在中，内角、、所对边分别为、、，已知．（1）求角的值；（2）若，求周长的最大值．【解答】解：（1）已知，利用正弦定理：，整理得，由于，故；（2）由于，，利用余弦定理：，所以，利用基本不等式的应用：，整理得：，（当且仅当时，等号成立）所以，故三角形的周长的最大值为．20．（12分）（2021秋•浦东新区校级月考）在中，与交于点，设．（1）用表示；（2）若在线段上取点，在线段上取点，使过点，设，，求的最小值．【解答】解：（1）设，则，，因为点，，三点共线，所以与共线，所以，则①，又，，因为点，，三点共线，所以与共线，所以，即②，联立①②，可得，所以；（2）因为，，因为与共线，所以，所以，即，解得，当且仅当时取等号，所以的最小值为．21．（12分）（2021春•东城区期末）已知点，，．（1）若，求点的坐标；（2）已知．①若点在直线上，试写出，应满足的数量关系，并说明你的理由；②若为等边三角形，求，的值．【解答】解：（1）由题意，，，点坐标为；（2）设，由得、．①把、代入“”得，得；②由为等边三角形，得，，，由得，代入，得