专题11分离常数法（学生版）

专题11分离常数法不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；②直接化为最值＋分类讨论；③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。分离参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，也有可能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教学大纲要求）；分离参数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实际是一种猜测。俗话说，形缺数时难入微。1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：，等（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题.（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式）（1）若的值域为①，则只需要，则只需要②，则只需要，则只需要③，则只需要，则只需要④，则只需要，则只需要（2）若的值域为①，则只需要，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）②，则只需要，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）③，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比），则只需要④，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比），则只需要x/k+w5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离.则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了.（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可.6、下面我们利用平移理论及反比例函数的图象与性质来研究一次分式函数的图象与性质：首先利用分离常数法可得==+,设=m,则f（x）=+,所以y=f（x）的图象可由反比例函数y=的图象经过平移得到,由反比例函数的图象可知的图象也是双曲线,其性质如下：⒈的定义域是（∞,）∪（,+∞）；⒉的值域是（∞,）∪（,+∞）；⒊的图象即关于点（,）对称,又关于直线y=±（x+）对称；⒋当m>0时,在（∞,）上及（,+∞）上都是增函数,且x∈（∞,）时f（x）∈（∞,）；x∈（,+∞时f（x）∈（,+∞）当m<0时,在（∞,）上及（,+∞）上都是减函数,且x∈（∞,）时f（x）∈（,+∞）；x∈（,+∞时f（x）∈（∞,）.例1.（1）、函数的值域为____（2）、求函数的值域

【变式训练11】、求函数的值域【变式训练12】、求函数的值域【变式训练13】、求函数的值域

例2．（1）、（2021·北京市第十二中学高三月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A．或 B． C．或 D．（2）、（2022·江苏省新海高级中学高一期中）已知函数满足对，都有成立，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．【变式训练21】、（2022·四川绵阳·高一期中）若函数在区间上是单调函数，则实数b的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式训练22】、（2022·安徽·庐江五中高三期中）设函数（m为实数），若在上单调递减，求实数m的取值范围______.

例3．(1)、（2022·湖南·郴州一中高三阶段练习）已知函数,,对任意,存在,使,则的最小值为________.（2）、（2019·吉林·吉化第一高级中学校高二期末（文））已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为______.【变式训练31】、（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（理））已知函数有三个极值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式训练32】、（2022·黑龙江·建三江分局第一中学高三期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．

例4．（2019·陕西·安康市教学研究室一模（理））已知函数，其中.(1)若，求的单调区间；(2)若在区间上，恒成立，求a的取值范围.【变式训练41】、（2018·陕西·安康市教学研究室三模（理））设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求a，b的值；(2)若当时，，求m的取值范围．

例5．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高二期末（文））已知函数，．（1）当时，求函数的极值；（2）若时恒成立，求实数的取值范围．【变式训练51】、（2022·四川·模拟预测（理））已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在上恒成立，求证：.（注：）

A基础巩固1．（2021·天津四十三中高三月考）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2021·辽宁丹东·高三期中）当时，，则的取值范围为（）A． B． C． D．3．（2021·福建上杭·高三月考）若在（﹣2，+∞）上是增函数，则b的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4] B．（﹣4，+∞） C．[﹣4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）4．（2021·广西·高三月考（文））已知函数，若对任意的，都有，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．5．（2022·全国·高三专题练习）函数在内存在极值点，则()A． B． C．或 D．或6．（2021·云南师大附中高三月考（理））已知函数有且只有一个零点，则k的值为（）A． B． C． D．7．（2021·山东·新泰市第一中学高三月考）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．（2021·河南·高二期末（理））若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．（2021·内蒙古赤峰·高二期末）已知函数，若函数有唯一极值点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．10．（2022·福建·莆田第三中学高三期中）已知函数，若在R上单调递增，求实数a的取值范围（

）A． B． C． D．11．（2022·江西·萍乡市第二中学高三阶段练习（理））已知函数在上的最小值为，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．12．（2022·山西临汾·高三期中）设函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．13．（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）若对任意的，且当时，都有，则m的最小值是（

）A．e B． C．3 D．14．（2022·江苏省响水中学高二阶段练习）若关于的不等式有且只有3个正整数解，则实数的取值范围是______．15．（2022·江苏南京·高三阶段练习）当时，恒成立，则实数的取值范围为__________.16．（2021·天津市天津中学高三月考）若函数在区间有三个不同的零点，则实数m的取值范围是___________.17．（2021·宁夏·石嘴山市第一中学高二期中（理））若函数存在单调递增区间，则的取值范围是___.18．（2018·山东·沂水县第一中学一模（文））已知关于的不等式的解集为，则实数的值为__________．B能力提升19．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（文））已知函数．若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．20．（2019·山东济宁·高二期末）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，） D．（﹣∞，]21．（2020·山东·高三专题练习）已知函数（e为自然对数底数），若关于x的不等式有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（）A． B． C． D．22．（山西省吕梁市2023届高三上学期阶段性测试数学试题）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．23．（2022·广东·广州市第一中学高一期中）已知函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．24．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（理））已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．25．（2021·江苏·张家港高级中学高三期中）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．26．（2020·湖南株洲·一模（文））已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．27．（2019·河北·三河市第三中学高三月考（理））设函数，有且仅有一个零点，则实数a的值为A． B． C． D．28．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））已知关于x的方程有4个不等实数根，则a的取值范围是______．29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的最小值是___________30．（2022·河南河南·一模（文））已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若，证明:.

31．（2022·河南省驻马店高级中学模拟预测（理））已