第39讲频率分布直方图总体取值规律总体百分位数的估计5种常考题型（原卷版）

第39讲频率分布直方图、总体取值规律、总体百分位数的估计5种常考题型【考点分析】考点一：频率分布直方图作频率分布直方图的步骤①求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差.②决定组距与组数将数据分组时，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来.③将数据分组④列频率分布表各小组的频率＝eq\f(小组频数,样本容量).⑤画频率分布直方图纵轴表示eq\f(频率,组距)，eq\f(频率,组距)实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，小长方形的面积＝组距×eq\f(频率,组距)＝频率.考点二：频率分布直方图的性质①因为小矩形的面积＝组距×eq\f(频率,组距)＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.③eq\f(频数,相应的频率)＝样本容量.④频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性.考点三：常见统计图表的特点与区别扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，条形图适用于描述离散型数据，直方图适用于描述连续型数据.折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势.考点四：百分位数①百分位数定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.②常用的百分位数1.四分位数：第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数.2.其它常用的百分位数：第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，第99百分位数.③计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤如下：第1步，按从小到大排列原始数据；第2步，计算i＝n×p%；第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.【题型目录】题型一：频率分布表题型二：频率分布直方图题型三：总体百分数的估算题型四：频率分布直方图平均数、中位数、众数的计算题型五：频率分布直方图中的方差、标准差【典型例题】题型一：频率分布表【例1】已知样本数据:10，8，6，10，13，8，10，12，11，7，8，9，11，9，12，9，10，11，12，11.那么频率为0.2的是（

）A． B． C． D．【例2】考查某校高三年级男同学的身高，随机地抽取50名男同学，测得他们的身高（单位：cm）如下表所示：171170165169167167170161164167171163163169166168168165160168158160163167173168169170160164171169167159151168170174160168176157162166158164180179169169(1)这组数据的极差为______，数据160的频数为______，数据171的频率为______；(2)填写下面的频率分布表：身高频数频率(3)画出该校高三年级男同学身高的频率分布直方图．【题型专练】1．根据中国银行的外汇牌价，第一季度的个工作日中，欧元的现汇买入价（欧元的外汇可兑换人民币）的分组和各组的频数如下：，；，；，；，；，；，；，.(1)列出欧元的现汇买入价的频率分布表；(2)估计欧元的现汇买入价在内的频率；(3)若欧元的现汇买入价不超过的频率的为，求.2．某制造商生产一批直径为40的乒乓球，现随机抽样检查20个，测得每个球的直径（单位：，保留两位小数）如下：40.03

40.00

39.98

40.00

39.99

40.00

39.9840.01

39.98

39.99

40.00

39.99

39.95

40.0140.02

39.98

40.00

39.99

40.00

39.96（1）完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；分组频数频率合计（2）假定乒乓球的直径误差不超过0.02为合格品.若这批乒乓球的总数为10000，试根据抽样调查结果估计这批产品的合格个数.3．对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：寿命/小时100~200200~300300~400400~500500~600个数2030804030（1）完成频率分布表；分组频数频率100~200200~300300~400400~500500~600合计（2）画出频率分布直方图和频率分布折线图；（3）估计电子元件寿命在100~400小时以内的频率；题型二：频率分布直方图【例1】关山中学为了调查该校学生对于新冠肺炎疫情防控的了解情况，组织了一次新冠肺炎疫情防控知识竞赛，并从该学校1200名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况（满分100分，其中90分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图，根据频率分布直方图推测，这1200名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（

）A．8 B．28 C．96 D．336【例2】有一个容量为60的样本，数据的分组及各组的频数如下：，2；，4；，5；，16；，11；，12；，7；，3．根据样本的频率分布估计数据落在的频率约是（

）A． B． C． D．【例3】在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为____________．【例4】特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策，通过公开招聘高校毕业生到中西部地区"两基"攻坚县、县以下农村学校任教，进而提高农村教师队伍的整体素质，促进城乡教育均衡发展.某市招聘特岗教师需要进行笔试和面试，一共有600名应聘者参加笔试考试，从中随机抽取了100名应聘者，记录他们的笔试分数，将数据分成7组：，，…，，得到如图所示频率分布直方图.(1)若该市计划168人进入面试，请估计参加面试的最低分数线；(2)已知样本中笔试分数低于40分的有5人，试估计总体中笔试分数在内的人数.【例5】某学校1000名学生参加信息技术学分认定考试，用按性别比例分层随机抽样的方法从中抽取了100名学生的成绩，记录他们的分数，并将数据分成8组：，，，，整理得到如下频率分布直方图：(1)求图中的值，并估计全校学生中成绩不低于70分的学生人数；(2)已知样本中分数不低于70的男生占样本中全部男生人数的，且样本中分数不低于70的男生与女生人数之比为，求总体中男生人数和女生人数之比.【题型专练】1．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天课外阅读所用时间的数据，结果用频数直方图（如图）表示，则课外阅读时间在内的学生的频率为（

）A．10 B．15 C．0.2 D．0.32．为了评估某家快递公司的服务质量，某评估小组进行了客户满意度调查，从该公司参与调查的客户中随机抽取名客户的评分，评分均在区间上，分组为、、、、、，其频率分布直方图如图所示.规定评分在分以下表示对该公司的服务质量不满意，则这名客户中对该公司的服务质量不满意的客户的人数为________.3．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：2个；3个；x个；5个；4个；2个；根据样本的频率分布估计，数据落在内的概率约为__________.4．如图，是某校高三年级100名学生的体育综合测试成绩的频率分布直方图（百分制），其中，成绩分组区间是：(1)求图中a的值：(2)求这100名学生中，体育成绩不小于80分的概率.5．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如下：(1)求直方图中的值；(2)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？6．2022年是党的二十大召开之年，党的二十大是我们党进入全面建设社会主义现代化国家、向第二个百年奋斗目标进军新征程的重要时刻所召开的一次重要的代表大会．某社区对100名熟悉“党史”的群众的年龄（单位：岁）做了数据统计，并绘制成如图所示的不完整的频率分布直方图．统计员在绘制频率分布直方图的过程中所搜集的数据只能确定年龄在与的熟悉“党史”的人数之和是年龄在的熟悉“党史”的人数的3倍，且组的频率比组的频率多0.15．(1)分别求，，组对应的频率；(2)求年龄在的熟悉“党史”的人数．题型三：总体百分数的估算【例1】高二某班参加了“中国神舟十三号载人飞船航空知识答题”竞赛，10位评委的打分如下：5，6，6，7，7，8，9，9，10，10，则（

）A．该组数据第60百分位数为8 B．该组数据第60百分位数为8.5C．该组数据中位数为7和8 D．该组数据中位数为8【例2】（多选题）某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（

）A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有160人B．图中的值为0.020C．估计全校学生成绩的中位数约为86.7D．估计全校学生成绩的80%分位数为95【例3】一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的第75百分位数为_____．【例4】杭州市某高中从学生中招收志愿者参加迎亚运专题活动，现已有高一540人、高二360人，高三180人报名参加志愿活动.根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取120名.对抽出的120名同学某天参加运动的时间进行了统计，运动时间均在至分钟之间，其频率分布直方图如下：(1)需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人?(2)（i）请补全频率分布直方图;（ii）求这120名学生运动时间的第80百分位数是多少?【题型专练】1．已知某组数分别为，则这组数据的第40百分位数是______．2．为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顾序排列，单位：）56

56

57

58

59

59

61

63

64

65

66

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70

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74

83据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______3．数据的第63百分位数是，则实数的取值范围是__________.4．如图所示是将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩（成绩均为整数）整理后画出的频率分布直方图，则此班的模拟考试成绩的80%分位数是_____．（结果保留两位小数）题型四：频率分布直方图平均数、中位数、众数的计算【例1】在刚刚进行的全校体能测试中，锦一高三某班40名同学体能成绩恰在内，绘成如下频率分布直方图（满分100分），下列说法正确的是（

）A．该班学生体能成绩的中位数是75分B．该班占40%的同学体能成绩达到优秀（80分及以上为优秀）C．该班学生体能成绩的平均数是77分D．该班学生体能成绩的众数是78分【例2】眼睛是心灵的窗户，然而随着网络、、平板电脑等电子产品的普及，越来越多的青少年的视力情况堪忧，因此，为了唤醒大家对视力损害的重视，每年的6月6日被定为全国爱眼日，每年10月的第二个星期四被定为世界爱眼日．某小学为了了解在校学生的视力情况，对所有在校学生的视力进行检测，所得数据统计如图所示，则该小学所有学生视力的中位数约为（

）．A．4.50 B．4.93 C．5.10 D．4.87【例3】（多选题）为推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，增强健康管理意识，某校根据性别比例采用分层抽样方法随机抽取了120名男生和80名女生，调查并分别绘制出男、女生每天在校平均体育活动时间的频率分布直方图（如图所示），则（

）A． B．该校男生每天在校平均体育活动时间中位数的估计值为75C．估计该校至少有一半学生每天在校平均体育活动时间超过一小时 D．估计该校每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的学生中男、女生人数比例为【例4】某企业质检人员从所生产的产品中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，得到如下频率分布直方图．(1)求出直方图中的值；(2)在样本中，有的个体小于或者等于中位数，同时也有的个体大于或者等于中位数，所以在频率分布直方图中，在中位数的左边和右边直方图的面积相等．请利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的产品的质量指标值的中位数(精确到)．【例5】从某校参加数学竞赛的试卷中抽取一个样本，考查竞赛的成绩分布，将样本分成6组，得到频率分布直方图如图所示，从左到右各小组的小长方形的高的比为，最右边的一组的频数是8.(1)求样本的容量及直方图中的值；(2)估计参加这次数学竞赛成绩的众数､中位数､平均数.【题型专练】1．某次考试后，甲、乙两班的数学老师分别统计了各自班级学生的数学成绩（百分制，均位于内），并将所得数据按照，，，，，分组得到如图所示的频率分布直方图.在两个班级参考人数相等的前提下，下列说法正确的是（

）A．乙班学生数学成绩的平均数的估计值高于甲班学生数学成绩的平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）B．乙班学生数学成绩的最高分高于甲班学生数学成绩的最高分C．甲班学生数学成绩不及格（60分以下）的人数多于乙班D．甲班学生数学成绩的中位数的估计值小于乙班学生数学成绩的中位数的估计值2．已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则数据的中位数估计值为（

）A．64 B．65 C．64.5 D．663．统计局就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画了样本频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包含右端点，如第一组表示收入在元之间．(1)求a的值；(2)根据频率分布直方图估计样本数据的众数，中位数和平均数.4．第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.(1)求a，b的值；(2)计算本次面试成绩的众数和平均成绩；(3)根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为19%，请估算被录取至少需要多少分.5．某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：(1)求分数内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的众数和中位数和平均数．题型五：频率分布直方图中的方差、标准差【例1】某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的200名学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，该校将所有分数分成5组：，，，，，，，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）.(1)求的值，并估计此次校内测试分数的平均值；(2)试估计这200名学生的分数的方差，并判断此次得分为52分和94分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？（参考公式：，其中为各组频数；参考数据：【例2】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量数据得到频率分布直方图如图所示．(1)补全频率分布直方图；(2)若同一组数据用该组区间的中点值作为代表，据此估计这种产品质量指标