第8讲离散型随机变量的期望方差及其性质3种题型原卷版

第8讲离散型随机变量的期望方差及其性质3种题型【考点分析】考点一：离散型随机变量的期望①期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为……P……则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.②随机变量的数学期望：ξ01Pqp③单点分布：其分布列为：.④两点分布：，其分布列为：（p+q=1）⑤二项分布：其分布列为～.（P为发生的概率）⑥几何分布：其分布列为～.（P为发生的概率）考点二：离散型随机变量的方差、标准差①当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差.显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.②方差的性质.⑴随机变量的方差.（a、b均为常数）③期望与方差的关系.⑴如果和都存在，则⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则⑶期望与方差的转化：⑷（因为为一常数）.【题型目录】题型一：离散型随机变量的期望题型二：离散型随机变量的方差题型三：离散型随机变量的期望方差的性质【典型例题】题型一：离散型随机变量的期望【例1】在采用五局三胜制（先取得三局胜利的一方，获得最终胜利）的篮球总决赛中，当甲队先胜2场时，因疫情暴发不得不中止比赛.已知甲､乙两队水平相当，每场甲､乙胜的概率都为，总决赛的奖金为80万元，总决赛的胜者获得全部奖金.根据我们所学的概率知识，甲队应分得的奖金为（

）万元.A．80 B．70 C．50 D．40【例2】一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个红球，小明从中无放回地取出3个小球，摸到一个白球记1分，摸到一个红球记2分，则小明总得分的数学期望等于（

）A．3.8分 B．4分 C．4.2分 D．4.4分【例3】从一批含有6件正品和4件次品的10件产品中随机抽取2件产品进行检测，记随机变量X为抽检结果中含有的次品件数，则随机变量X的期望________．【例4】某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是____________（元）．【例5】电机（或变压器）绕组采用的绝缘材料的耐热等级也叫绝缘等级，电机与变压器中常用的绝缘材料耐热等级分为如下7个级别：耐热等级YAEBFHC绝缘耐温（℃）某绝缘材料生产企业为测试甲、乙两种生产工艺对绝缘耐温的影响，分别从两种工艺生产的产品中各随机抽取50件，测量各件产品的绝缘耐温（单位：℃），其频率分布直方图如下：(1)若10月份该企业采用甲工艺生产的产品为65万件，估计其中耐热等级达到C级的产品数；(2)若从甲、乙两种工艺生产的产品中分别随机选择1件，用频率估计概率，求2件产品中耐热等级达到C级的产品数的分布列和数学期望．【例6】现有甲、乙、丙、丁等6人去参加新冠疫苗的接种排队，有A、B、C、D4个不同的窗口供排队等候接种，每个窗口至少有一位同学等候．(1)求甲、乙两人在不同窗口等候的概率；(2)设随机变量X表示在窗口A排队等候的人数，求随机变量X的期望．【题型专练】1．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望为（

）A． B． C． D．2．某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个120元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件时，价格为每个280元.在使用期间，每台设备需更换的零件个数X的分布列为：X678P0.40.50.1若购买2台设备的同时购买易损零件13个，则在使用期间，这2台设备另需购买易损零件所需费用的期望为（

）A．1716.8元 B．206.5元 C．168.6元 D．156.8元3．袋中装有大小与质地相同的5个红球、m个白球，现从中任取2个球．若取出的两球都是红球的概率为，记取出的红球个数为X，则______．4．农历五月初五是我国的传统节日——端午节，为纪念伟大的爱国诗人屈原，民间有吃粽子的习惯，粽子也就成为了我们生活中的一种美食.设一盘中装有6个粽子，其中豆粽、肉粽、白粽各2个，这三种粽子的外观完全相同．小明从中任取2个吃，吃完这2个，若是吃到了肉粽就不再吃了；若是还没吃到肉粽，就再从剩下的4个中任取1个吃，吃完这个不管是否吃到肉粽都不再吃了.(1)求小明吃到肉粽的概率；(2)设X表示取到的肉粽个数，求X的分布列与数学期望．5．某人花了元预定2023年杭州亚运会开幕式门票一张，另外还预定了两张其他门票，根据亚奥理事会的相关规定，从所有预定者中随机抽取相应数量的人，这些人称为预定成功者，他们可以直接购买门票，另外，对于开幕式门票，有自动降级规定，即当这个人预定的元门票未成功时，系统自动使他进入b元开幕式门票的预定.假设获得a元开幕式门票的概率是0.1，若未成功，仍有0.2的概率获得b元开幕式门票的机会，获得其他两张门票中的每一张的概率均是0.5，且获得每张门票之间互不影响.(1)求这个人可以获得亚运会开幕式门票的概率；(2)假设这个人获得门票总张数是，求的分布列及数学期.6．中国男子篮球职业联赛“简称CBA”半决赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负.同时比赛采用主客场制，比赛先在A队的主场进行两场比赛，再移师B队主场进行两场比赛（有必要才进行第二场），如果需要第五场比赛，则回到A队的主场进行，已知A队在主场获胜的概率为，在客场获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立.(1)第一场比赛B队在客场通过全队的努力先赢了一场，赛后B队的教练鼓励自己的队员说“胜利的天平已经向我们倾斜”，试从概率大小的角度判断B队教练的话是否客观正确；(2)每一场比赛，会给主办方在门票，饮食，纪念品销售等方面带来综合收益300万元，设整个半决赛主办方综合收益为，求的分布列与期望，7．某工厂质检部门要对该厂流水线生产出的一批产品进行检验，如果检查到第4件仍未发现不合格品，则此次检查通过且认为这批产品合格，如果在尚未抽到第4件时已检查到不合格品，则拒绝通过且认为这批产品不合格.且每件产品质检费用为80元.设这批产品的数量足够大，并认为每次检查中查到不合格品的概率都为，即每次抽查的产品是相互独立的.(1)求这批产品能够通过检查的概率；(2)记对这批产品的质检个数记作，求的分布列和数学期望；(3)已知100批此类产品，若，则总平均检查费用至少需要多少元？（总平均检查费用=每批次平均检查费用×批数）题型二：离散型随机变量的方差【例1】若随机变量X的概率分布表如下：X01P0.4则（

）A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16【例2】已知随机变量的分布列如下表所示：012若，则（

）A．>，> B．<，>C．>，< D．<，<【例3】（多选题）设，随机变量的分布列为：0m1P则当m在（0，1）上增大时，（

）A．减小 B．增大C．先增后减，最大值为 D．先减后增，最小值为【例4】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.求：(1)的分布；(2)的期望与方差.【例5】某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取5个，求恰好有2个水果是礼品果的概率（结果用分数表示）；(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，方案1：不分类卖出，单价为21元；方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：等级标准果优质果精品果礼品果售价（元16182224从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及方差.【例6】为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．【题型专练】1.（多选题）已知下表为离散型随机变量X的分布列，其中，下列说法正确的是（

）X012PA． B．C．有最大值 D．有最小值2．（多选题）2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校所数，则（

）A．的可能取值为0，1，2，3 B．C． D．3．已知一个随机变量的分布为，且，则______.4．某网站规定：一个邮箱在一天内出现3次密码尝试错误，该邮箱将被锁定24小时.小王发现自己忘记了邮箱密码，但是可以确定该邮箱的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该邮箱被锁定.(1)求当天小王的该邮箱被锁定的概率；(2)设当天小王尝试该邮箱的密码次数为，求的分布列及，的值.5．为了响应大学毕业生自主创业的号召，小李毕业后开了水果店，水果店每天以每个5元的价格从农场购进若干西瓜，然后以每个10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的西瓜作赠品处理．(1)若水果店一天购进16个西瓜，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：个，）的函数解析式；(2)水果店记录了100天西瓜的日需求量（单位：个），整理得下表：日需求量14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若水果店一天购进16个西瓜，表示当天的利润（单位：元），求的分布列、数学期望及方差；②若水果店计划一天购进16个或17个西瓜，你认为应购进16个还是17个？请说明理由．6．冬奥会志愿者有名男同学，名女同学.在这名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的所大学.现从这名志愿者中随机选取名同学，到机场参加活动.每位同学被选中的可能性相等.(1)求选出的名同学是来自互不相同的大学的概率；(2)设为选出的名同学中女同学的人数，求随机变量的期望和方差．7．甲、乙、丙进行乒乓球比赛，比赛规则如下：赛前抽签决定先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有人累计胜两场，比赛结束.经抽签，甲、乙先比赛，丙轮空.设比赛的场数为，且每场比赛双方获胜的概率都为.(1)求和；(2)求的标准差.题型三：离散型随机变量的期望方差的性质【例1】已知随机变量满足，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【例2】设随机变量的分布列为，,分别为随机变量的数学期望与方差，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【例3】（多选题）设离散型随机变量的分布列为：012340.40.10.20.2若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（

）A． B． C． D．【例4】已知离散型随机变量X的取值为有限个，，，则______．【例5】某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X（单位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．(1)求X的分布列，并求X的均值和方差；(2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超过3km时，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差．【题型专练】1．已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．2．已知随机变量满足，则（

）A．或4 B．2 C．3 D．43．离散型随机变量X的分布为：01245若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为______．①；②；③；④．4．对于随机变量X，它的数学期望和方差，下列所有正确的序号是______．①是反映随机变量的平均取值；

②越小，说明X越集中于；③；

④．5．某工厂的某种产品成箱包装，每一箱100件.每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出