2019年中考数学压轴题汇编：选择题填空题和代数几何（含答案和解析）

（2019年湖南衡阳12题）

12.（3分）如图，在直角三角形ABC中，/C=90°,AC=BC,E是A8的中点，过点E

作AC和BC的垂线，垂足分别为点。和点凡四边形CDEF沿着C4方向匀速运动，点

C与点A重合时停止运动，设运动时间为,,运动过程中四边形CQEF与△A8C的重叠

部分面积为S.则S关于t的函数图象大致为（）

【分析】根据已知条件得到AABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCO是正方形，设

正方形的边长为小当移动的距离时，如图15=正方形的面积-，的面积=

a1-AT2；当移动的距离时，如图2,S—SMCH——（2a-t）2—Xj2-2at+2a2,根

222

据函数关系式即可得到结论；

【解答】解：•••在直角三角形A8C中，ZC=90°,AC=BC,

...△A8C是等腰直角三角形，

"：EF1BC,EDVAC,

：.四边形EFCD是矩形，

是AB的中点，

:.EF=1AC,DE=1-BC,

22

：.EF=ED,

...四边形EFC£＞是正方形，

设正方形的边长为a,

1

如图1当移动的距离时，5=正方形的面积-△££'H的面积=a2-U；

2

当移动的距离时，如图2,5=SAACH——（2a-t）2—lj2-2at+2a2,

22

；.S关于，的函数图象大致为C选项，

【点评】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键

是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型.

（2019年湖南衡阳18题）

18.（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y=/的图象如图所示.已知A点坐标为（1,1）,

过点A作〃x轴交抛物线于点A1,过点A1作AIA2〃OA交抛物线于点A2,过点A2

作A243〃x轴交抛物线于点43,过点A3作A3A4〃OA交抛物线于点A4.,依次进行下

【分析】根据二次函数性质可得出点Ai的坐标，求得直线4A2为y=x+2,联立方程求

得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得4的坐标，即可求得对的坐标，根据坐标

2

的变化找出变化规律，即可找出点A2019的坐标.

【解答】解：：A点坐标为(1,1),

...直线04为、=»Ai(-1,1),

VA1A2//OA,

直线AIA2为y—x+2,

解了x+2得卜一或卜=2,

2

ky=xly=lly=4

・・・A2(2,4),

•M3(-2,4),

TA3A4〃04,

直线A3A4为y=x+6,

解尸+：得卜=-2或卜=3,

y=x2ly=4ly=9

：.A4(3,9),

...45(-3,9)

.".A2019(-1010,10102),

故答案为(-1010,10102).

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，

根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键.

(2019年湖南湘潭16题)

16.(3分)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积

所用的经验公式是：弧田面积=!(弦X矢+矢2).孤田是由圆弧和其所对的弦围成(如

2

图中的阴影部分)，公式中“弦''指圆弧所对弦长，“矢'’等于半径长与圆心到弦的距离之差,

运用垂径定理(当半径OC,弦AB时，OC平分A8)可以求解.现已知弦42=8米，半

径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为10平方米.

3

【分析】根据垂径定理得到AO=4,由勾股定理得到。。=做以祸=3,求得0A-

00=2,根据弧田面积=!（弦x矢+矢2）即可得到结论.

2

【解答】解：：弦AB=8米，半径0C_L弦A8,

：.AD=4,

•••8=加2旬2=3'

：.OA-OD=2,

...弧田面积=!（弦x矢+矢2）=L<（8x2+2?）=10,

22

故答案为：10.

【点评】此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答.

（2019年湖南益阳16题）

16.（4分）如图，AB为。0的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作。。的切线PE,

切点为M,过A、8两点分别作PE的垂线AC、BD,垂足分别为C、D,连接4M,则下

列结论正确的是①②④.（写出所有正确结论的序号）

①AM平分NC4B；

②A序=AC・AB；

③若AB=4,ZAPE=30°,则前的长为工；

3

④若AC=3,BD=\,则有CM=Z）M=遥.

【分析】连接。M,可证。M〃AC,得出/C4M=NAM。，由。4=OM可得NOAM=N

4

AMO,故①正确；证明△ACMS/\AMB,则可得出②正确；求出NMOP=60°,OB=2,

则用弧长公式可求出“的长为"，故③错误；由BD//AC可得PB=LpA，则PB=

33

OB=OA,得出NORW=30°,则PM=2愿，可得出CM=OM=£)P=代，故④正确.

【解答】解：连接0M，

为。0的切线，

AOMA-PC,

VAC1PC,

：.OM//AC,

：.ZCAM^ZAMO,

'：OA=OM,

ZOAM=ZAMO,

：.ZCAM^ZOAM,即AM平分NC4B,故①正确;

为。。的直径，

ZAMB=90°,

,：NCAM=ZMAB,NACM=ZAMB,

：.AACM^/XAMB,

-AC_AM

,,前

：.AM2=AC'AB,故②正确；

\"ZAPE=30a,

AZMOP^ZOMP-ZAP£=90°-30°=60°,

；AB=4,

：.OB=2,

.♦.前的长为6°，兀X2=2兀,故③错误；

1803

5

VBD±PC,AC.LPC,

J.BD//AC,

.PBBD1

・■而方

•••尸8忖PA，

o

PB=yAB>BO《or

：.PB=OB=OA,

.•.在RtZ\OMP中，OM=/0p=2,

；./OPM=30°,

:.PM=2M，

:.CM=DM=DP=a,故④正确.

故答案为：①②④.

【点评】本题考查圆知识的综合应用，涉及切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判

定和性质、弧长公式、含30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知

识解决问题.

（2019年湖南张家界14题）

（3分）如图：正方形48CZ）的边长为1,点E,尸分别为BC,C。边的中点，连接AE,

BF交于点P,连接尸〃，则tan/APE）=

【解答】解：连接4尸,

尸分别是正方形A8CQ边BC,8的中点,

：.CF=BE,,

在△A8E和△BCF中,

rAB=BC

<ZABE=ZC>

,BE=CF

.'.RtAABE^RtABCF(SAS),

6

:・/BAE=/CBF,

又・・・N3A£：+NBEA=9(r,

：.ZCBF^ZBEA=90°,

：.ZBPE=ZAPF=90°,

VZADF=90°,

ZADF+ZAPF=180°,

・・・A、P、F、。四点共圆，

Z.NAFD=NAPD,

.,.tanZAPD=tanZAFD==2,

故答案为：2.

（2019年湖南长沙12题）

12.（3分）如图，△ABC中，A8=AC=10,tanA=2,8E_LAC于点E,。是线段BE上的

一个动点，则CZ）+返8。的最小值是（）

5

A.2代B.4旄C.5MD.10

【分析】如图，作OH_L4B于H，CM_LAB于M.由tanA=&E=2,设AE=a,BE=2a,

AE

利用勾股定理构建方程求出a,再证明DH=&BD,推出CD+J^BD=CD+DH,由垂

55

线段最短即可解决问题.

【解答】解：如图，作。H_LAB于H,CM_L4B于M.

7

E

B£_^C

,：BEA.AC,

：.ZABE=90°,

VtanA=I^-=2,设AE=a,BE=2a,

AE

则有：100=J+4〃2,

.•.『=20,

.•.a=2旄或-2灰（舍弃），

：.BE=2a=4后

；AB=AC,BELAC,CM1.AC,

:.CM=BE=4如（等腰三角形两腰上的高相等））

,/NDBH=NABE,NBHD=ABEA,

sinZDBH=^~—_^5_=

_BDAB5

：.DH=J^-BD,

5

CD+D=CD+DH,

5

:.CD+DH2CM,

:.CD+叵BD/乐,

5

，CD+运8。的最小值为4匹.

5

故选:B.

【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

（2019年湖南长沙18题）

18.（3分）如图，函数>=四&为常数，左>0）的图象与过原点的。的直线相交于A,B

X

两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交X轴，

8

y轴于C,。两点，连接分别交x轴，y轴于点E,F.现有以下四个结论：

①△OOM与△OCA的面积相等：②若8MLAM于点M,则/M24=30°；③若M点

的横坐标为1,△04M为等边三角形，则k=2+«；④若则MD=2MA.

5

其中正确的结论的序号是一①③④.(只填序号)

【分析】①设点4(如K),M(n,k),构建一次函数求出C,D坐标，利用三角形

mn

的面积公式计算即可判断.

②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立.

③设M(l,k),由△QAM为等边三角形，推出。4=0M=AM,可得1+9=〃?2+上_丁，

in

推出m=k,根据OM=AM,构建方程求出k即可判断.

④如图，作MK〃。。交。4于K.利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.

【解答】解：①设点A(m，其)，M(H,K),

mn

则直线AC的解析式为y=-工+瓦瓦

mnnin

：.C(m+n,0),D(0,「时二世),

inn

11T

.•・SZ\O£)M=L乂"*["2)2=」时注区，5AOCA=—x(m+〃)xk=,(t

2mn2m2m2m

•••△OQM与△OCA的面积相等，故①正确；

・・・反比例函数与正比例函数关于原点对称，

・・・0是AB的中点，

：.OM=OA,

9

'.A(m,n),M(〃,，”),

:.AM=®(n-m),OM=^2~^2,

不一定等于OM,

/BAM不一定是60°,

.♦./MBA不一定是30°.故②错误,

•••”点的横坐标为1.

...可以假设M(1,k),

：△OAM为等边三角形,

：.OA=OM=AM,

\+l^—n^+——,

2

ID

•.m=k,

・.・OM=AM,

(1-zn)2+2=i+F,

m

.•.必-4A+l=0,

'•k=2i'\y3，

：.k=2+M，故③正确，

如图，作MK//OD交0A于K.

OF//MK,

•里=强=2

"BMKB百

•-•0K―_2,

0B3

"：OA=OB,

•-•0K9_2

OA3

•-.0K_―2,

KA1

'：KM//OD,

.DM=OK=2

"AMAK-，

10

：.DM=2AM,故④正确.

故答案为①③④.

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成

比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构造平行线，利用平行线

分线段成比例定理解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

（2019年湖南株洲10题）

10.（3分）从-1,1,2,4四个数中任取两个不同的数（记作M,bk）构成一个数组MK

—｛ak,bk｝（其中k=L2…S,且将｛魂，枚｝与｛从，以｝视为同一个数组）,若满足：对于

任意的历｝和1&WS,iWjWS）都有ai+bi^aj+bj,则S

的最大值（）

A.10B.6C.5D.4

【分析】找出3+"'的值，结合对于任意的历｝和腐=｛此bj｝IWiWS,

TWjWS）都有卬+b林/+5,即可得出S的最大值.

【解答】解:V-1+1=0,-1+2=1,-1+4=3,1+2=3,1+4=5,2+4=6,

.♦•S+历共有5个不同的值.

又•••对于任意的昭=3,加和的=｛此bj｝gj,iWiWS,IWjWS）都有0+）H勾+力,

二5的最大值为5.

故选：C.

【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，找出G+生共有儿个不同的值是解题的关键.

（2019年湖南株洲18题）

18.（3分）如图所示，在平面直角坐标系xO），中，在直线x=l处放置反光镜I,在），轴处

放置一个有缺口的挡板II，缺口为线段A8,其中点A（0,1）,点8在点A上方，且AB

11

=1,在直线x=-1处放置一个挡板【n,从点o发出的光线经反光镜I反射后，通过缺

口AB照射在挡板III上，则落在挡板III上的光线的长度为1.5.

挡板m

X

【分析】当光线沿0、G、B、C传输时，由lan/0GH=tan/CGE,即：。旦叁_,即:

GHGF

--＞解得：a—\,求出yc=l+2=3,同理可得：）＞£＞=1.5,即可求解.

a2~a

【解答】解：当光线沿0、G、B、C传输时，

过点B作BFLGH于点F,过点C作CELGH于点E,

则N0GH=NCGE=a,设GH=a,则G尸=2-a,

则tan/0G”=tan/CGE,即：

GHGF

即：—--*•,解得：a=\,

a2-a

则a=45°,

12

：.GE=CE=2,yc=1+2=3,

当光线反射过点A时，

同理可得：加=1.5,

落在挡板III上的光线的长度=€7）=3-1.5=15

故答案为1.5.

【点评】本题考查的是坐标与图形的变化，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，本

题关键是弄懂题意，正确画图.

（2019年湖南永州18题）

18.（4分）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的.如图，图一是“杨辉三角’'数

阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是力”，其余各数都等于该数“两肩”上的数

之和；图二是二项和的乘方（。+6）”的展开式（按人的升幕排列）.经观察：图二中某个

二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直

对应下去.将（s+x）”的展开式按尤的升基排列得：（$+x）15=ao+a\x+a2^+...+«15%15.

依上述规律，解决下列问题：

(1)若S=l,则“2=；

(2)若5—2,贝！J«0+<31+«2+...+<?15=

图一1图二

11(a+b)i=a+b,

2

121(a+b)=a2+2ab+射

(a+b)3/+3a、b+3a及-W

1331

14641(a-b)4=aA^4a3b^6a2lr-4ab3+b4

5543235

15101051(a^b)=a+5dfd4-10flZr-10ab+5alf-b

【解答】解：（1）由图2知：（a+6）।的第三项系数为0,

（a+b）2的第三项的系数为：1,

（。+6）3的第三项的系数为：3=1+2,

（4+8）4的第三项的系数为：6=1+2+3,

,发现（1+x）3的第三项系数为:3=1+2；

（1+x）4的第三项系数为6=1+2+3；

（1+x）5的第三项系数为10=1+2+3+4；

不难发现（1+x）”的第三项系数为1+2+3+...+（n-2）+

13

：.s=l,则42=1+2+3+…+14=105.

故答案为：105；

（2）（s+x）15=ao+a।x+ci2x2+...+a15JC15.

当尤=1时，ao+G+“2+…+。15=（2+1）15=315,

故答案为：3叱

（2019年湖南常德16题）

16.（3分）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广

义菱形.根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是

广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N

的坐标分别为（0,1）,（0,-1）,尸是二次函数y=L?的图象上在第一象限内的任意

4

一点，PQ垂直直线y=-1于点Q,则四边形PMNQ是广义菱形.其中正确的是

①②④.（填序号）

【分析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①

正确；

②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；

③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；

④设点尸（“，L«2）,则Q-1）,由股沟定理可得2+],MP=PQ

44

和MN〃PQ,所以四边形PMNQ是广义菱形.④正确；

【解答】解：①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，

①正确；

②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；

③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；

④设点（m,则）

PQ（/W,-1,

4

・“货+（铝一1）2=||m2+1|（P0=/2+i,

・・,点尸在第一象限，

:.MP=L^+\,

4

14

：.MP=PQ,

又,：MN〃PQ,

四边形PMNQ是广义菱形.

④正确；

故答案为①②③；

【点评】本题考查新定义，二次函数的性质，特殊四边形的性质；熟练掌握平行四边形,

菱形，二次函数的图象及性质，将广义菱形的性质转化为已学知识是求解的关键.

（2019年湖南郴州8题）

8.（3分）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形

和两对全等的三角形，如图所示，已知/A=90°,BD=4,CF=6,则正方形AOO尸的

边长是（）

A.&B.2C.V3D.4

【分析】设正方形ADO尸的边长为x,在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于

x的方程，解方程即可.

【解答】解：设正方形ACO尸的边长为x,

由题意得：BE=BD=4,CE=CF=6,

：.BC=BE+CE=BD+CF^\0,

在RtZXABC中，AC2+AB2=BC2,

即（6+x）2+（x+4）2=102,

整理得，f+10x-24=0,

解得：x—2,或x=-12（舍去），

即正方形AOOF的边长是2；

故选：B.

【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定

15

理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键.

（2019年吉林长春14题）

14.（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线），=笳-2办+&（a>0）与y轴交于点A,

3

过点A作x轴的平行线交抛物线于点M.P为抛物线的顶点.若直线。尸交直线AM于

点8,且M为线段的中点，则a的值为2.

【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，

利用点M为线段4B中点，得出点8坐标；用含a的式子表示出点P坐标，写出直线OP

的解析式，再将点B坐标代入即可求解出a的值.

【解答】解：,••抛物线y=/-2av+_|（«>0）与y轴交于点A,

（0,旦），抛物线的对称轴为x=l

3

顶点P坐标为（1,3■-“），点M坐标为（2,—）

33

；点〃为线段AB的中点，

.,.点8坐标为（4,—）

3

设直线OP解析式为），=履（&为常数，且/W0）

将点p（I,8._a）代入得旦=%

3a3a

-'.y—（--a）x

3

将点8（4,1）代入得旦=（反一且）X4

333

解得4=2

故答案为：2.

【点评】本题综合考查了如何求抛物线与y轴的交点坐标，如何求抛物线的对称轴，以

及利用对称性求抛物线上点的坐标，同时还考查了正比例函数解析式的求法，难度中等.

16

（2019年江西6题）

6.（3分）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒,

拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

【分析】根据菱形的性质，找出各种拼接法，此题得解.

【解答】解：共有6种拼接法，如图所示.

故选：D.

【点评】本题考查了图形的剪拼以及菱形的判定，依照题意，画出图形是解题的关键.

（2019年江西12题）

12.（3分）在平面直角坐标系中，A,B,C三点的坐标分别为（4,0）,（4,4）,（0,4）,

点P在x轴上，点力在直线AB上，若D4=l,CPLOP于点P,则点P的坐标为（2,

0）或（2-2五0）或（2+2血，0）.

【分析】先由已知得出D（4,1）,02（4,-1）,然后分类讨论。点的位置从而依次求

出每种情况下点尸的坐标.

【解答】解：8两点的坐标分别为（4,0）,（4,4）

17

：.AB//y^

:点。在直线AB上，DA=\

：.D\(4,I),02(4,-1)

(I)当点。在Oi处时，要使CPJ_OP,即使△C0PiZZ\PiA£>i

.CO_QP1

即二QP

4-OP-1

解得：0a=2

：.P\(2,0)

(II)当点。在。2处时，

VC(0,4),D2(4,-1)

•,.C02的中点E(2,W)

2

CPA.DP

.•.点P为以E为圆心，CE长为半径的圆与x轴的交点

设PG,0),则PE=CE

BP^(2-x)2+(y-0)2=^22+(1-4)2

解得：x=2±2&

：.P1(2-272，0),Pi(2+2&,0)

18

综上所述：点尸的坐标为（2,0）或（2-2加,0）或（2+2加,0）.

【点评】本题考查了动点型问题，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用,

圆的相关知识，本题比较复杂，难度较大.

（2019年辽宁沈阳16题）

16.（3分）如图，正方形ABCO的对角线AC上有一点E,且CE=44E,点尸在0c的延

长线上，连接EF,过点E作EGLER交CB的延长线于点G,连接G尸并延长，交AC

的延长线于点尸，若A8=5,CF=2,则线段EP的长是—身反」.

【解答】解：如图，作于H.

:四边形A8CD是正方形，AB=5,

，AC=5我，ZACD=ZFCH=45°,

VZF//C=90°,CF=2,

：.CH=HF=-/2,

：CE=4AE,

；.EC=4a，AE=近

：.EH=5-^2'

在RtZXEFH中，EF1=EH1+FH1^(572)2+(&)2=52,

:NGEF=NGCF=90°,

：.E,G,F,C四点共圆，

:.NEFG=NECG=45°,

：.ZECF=ZEFP=135°,

19

,?ZCEF=ZFEP,

.,.△CEFSAFEP,

•EF=EC

"EPEF'

：.EF1=EC'EP,

•吁52=1犯

••472

故答案为里2

2

（2019年辽宁大连10题）

10.（3分）如图，抛物线y=-/2+断+2与x轴相交于A、B两点，与），轴相交于点C,

点。在抛物线上，且C£>〃A&AO与），轴相交于点E,过点E的直线PQ平行于x轴,

与抛物线相交于尸，Q两点，则线段PQ的长为，亚

【解答】解：当y=0时，-L2+LV+2=0,

42

解得：xi=-2,X2—4,

.•.点A的坐标为（-2,0）；

当x=0时，y=-—^+—x+2=2,

42

.♦.点C的坐标为（0,2）；

当y=2时，-"+L+2=2,

42

解得：X1=O,XI—1,

...点。的坐标为（2,2）.

设直线4。的解析式为y=fcc+b（左片0）,

将A（-2,0）,D（2,2）代入得:

20

「2k+b=。，解得：k/

12k+b=2hi

直线AD的解析式为y=L+l.

2

当x=0时，y=L+l=l,

2

.♦.点E的坐标为（0,1）.

当y=1时，--1^+-1^+2=1,

42

解得：Xl=l-yfS,*^2=1+'^，

...点P的坐标为（1-依，1）,点。的坐标为（1+依，1）,

:.PQ=1+辰-（1-V5）=2遥.

故答案为：2A/^.

（2019年辽宁大连16题）

16.（3分）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条多路上的A,8两处同时出

发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A处后行走的路程），（单位：，"）与行走时

x（单位：如力）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离（单位：m）与甲行走时间x

（单位；min）的函数图象，则a-6=—.

-2一

图1图2

21

【解答】解：从图1,可见甲的速度为侬=60,

2

从图2可以看出，当x=@时，二人相遇，即：(60+Ve)X§=120,解得：己的速度V

77

已=80,

丁己的速度快，从图2看出已用了〃分钟走完全程，甲用了。分钟走完全程，

J20=l,

60802

故答案为工.

2

(2019年辽宁本溪18题)

18.(3分)如图，点31在直线/：y=L上，点Bi的横坐标为2,过所作交x

2

轴于点4,以481为边，向右作正方形4B1B2。，延长B2cl交x轴于点42；以A2B2

为边，向右作正方形A28283c2,延长83c2交X轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形

A383&C3延长84c3交X轴于点A4;…；按照这个规律进行下去，点隔的横坐标为

【分析】根据点Bi的横坐标为2,在直线/：y=L上，可求出点Bi的坐标，由作图可

2

知图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2,然后依次利用相似三角形

的性质计算出。、C2、C3、C4……的横坐标，根据规律得出答案.

【解答】解：过点81、Cl、C2、C3、C4分别作Bi。，尤轴，C|D|J_X轴，C2D2Lc轴，

C3f)3，x轴，C4f)4，X轴，……垂足分别为£>、。1、。2、£>3、。4……

•••点在直线/：y=L上，点劭的横坐标为2,

2

:.点、B1的纵坐标为1,

即:8=2,B\D=\,

22

图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2,

B।D]DA।C[D]D[A?

OD"2“D_庆必一。必一

.•.点。的横坐标为：2+1+（2）°,

22

点C2的横坐标为：2+—+（W）°+（W）°xl.+（A）|=§+（W）°x§+（A）1

222422242

点C3的横坐标为：2+1+（W）°+（2）°xL+（Jo。（2）'x±+（W）2=5+（2）

2224224222

（）x5+（J.）|义”++（W）2

4242

点。4的横坐标为：=反+（A）（）x5+（J.）]x5+（J.）2X,L+（A）3

22424242

点Q的横坐标为：=$+（3）咏5+（W）ix5+（A）2XA+（J.）3X-^.+（J.）4x,^.

22424242424

+（.1）"-1

2

23

=§+与（&）°+（A）'x+（W）+（A）+（A）4...i+（W）"-1

24222222

【点评】考查一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质、在计算探索的过程中

发现规律，得出一般性的结论.

（2019年内蒙古赤峰18题）

18.（3分）二次函数>=/+纵+<?（a#0）的图象如图所示，下列结论：①6>0；②a-〃+c

=0；③一元二次方程a^+^x+c+l=0（a¥0）有两个不相等的实数根；④当x<-1或x

23

>3时，y>0.上述结论中正确的是⑵③⑷.（填上所有正确结论的序号）

【分析】由图可知，对称轴x=l,与x轴的一个交点为（3,0）,则有人=-2a,与x轴

另一个交点（-1,0）；

①由”>0,得Z?<0；

②当x=-1时，>,=0,则有a-h+c=0；

③一元二次方程由3械+。+1=0可以看作函数y=a』+6x+c与尸-1的交点，由图象可

知函数），=/+法+。与y=-1有两个不同的交点，一元二次方程苏+以+<:+1=0（“ro）

有两个不相等的实数根；

④由图象可知，y>0时，x<-1或x>3.

【解答】解：由图可知，对称轴x=l,与x轴的一个交点为（3,0）,

；.b=-2a,与x轴另一个交点（7,0）,

@Va>0,

.•北<0；

①错误；

②当X--1时，y=0,

.,.a-b+c=O；

②正确；

③一元二次方程0?+陵+。+1=0可以看作函数丫=〃/+云+。与>=-1的交点，

由图象可知函数与y=-1有两个不同的交点，

一元二次方程aj+fer+c+l：。（a/0）有两个不相等的实数根；

.•.③正确；

④由图象可知，y>0时，尢<-1或犬>3

...④正确；

故答案为②③④.

24

【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够从图

象中获取信息进行准确的分析是解题的关键.

（2019年内蒙古鄂尔多斯16题）

16.（3分）如图，在圆心角为9（）。的扇形OAB中，OB=2,P为定上任意一点，过点P作

PELOB于点E,设M为AOPE的内心，当点P从点A运动到点8时，则内心M所经

过的路径长为.

【解答】解：如图，以。8为斜边在的右边作等腰RSP08,以P为圆心PB为半径作

：.ZPEO=90°,

•点M是内心，

.'.NOMP=135°,

VOB=OP,NM0B=NM0P,0M=0M,

.♦.△0MB冬AOMP(SAS),

Z0MB=Z0MP=135°,

；N”=J-NBPO=45。，

2

.*.N”+NOM8=180。，

：.O,M,B,"四点共圆，

.•.点M的运动轨迹是还，

25

内心M所经过的路径长=3°兀"返=返出

_1802

故答案为返心

2

（2019年内蒙古呼和浩特10题）

22

10.（3分）以下四个命题：①用换元法解分式方程-工2L+_^=1时，如果设

xX2+1x

），，那么可以将原方程化为关于y的整式方程/+）,-2=0；②如果半径为r的圆的内接正

五边形的边长为a,那么a=2*os54°；③有一个圆锥，与底面圆直径是丁祖体积为

返三的圆柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为2；④二次

23

函数-2ax+l,自变量的两个值xi,X2对应的函数值分别为yi、y2,若|xi-1|>位

-1|,则“（yi-y2）>0.其中正确的命题的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】①利用换元法代入并化简；

②作OFJ_BC,在Rt^OC尸中，利用三角函数求出a的长；

③这个圆锥母线长为R,利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底

面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2n•3=色丝2上旦，然后解关

2180

于K的方程即可；

④根据二次函数图象的性质判断.

【解答】解：①设立L=y,那么可以将原方程化为关于y的整式方程/+y-2=0,故

X

正确；

②作OFLBC.

VZOCF=72°+2=36°,

CF=r*cos36°,

・・・C3=2wos36°,即。=2/cos360.

26

故错误;

③这个圆锥母线长为R,

根据题意得2n・3=180•天・R,

2180

解得R=3.

即它的母线长是3,.

故错误；

此时|xi-1|>位-1|,yi="=O,

所以a(yi-y2)=0.

故错误.

综上所述，正确的命题的个数为1个.

故选：A.

【点评】考查了命题与定理.考查了换元法解分式方程，弧长的计算，二次函数图象的

性质，解直角三角形等知识，需要对相关知识有一个系统的掌握.

(2019年内蒙古呼和浩特16题)

16.(3分)对任意实数”，若多项式2户-5必+3/的值总大于-3,则实数方的取值范围是

-6cb<6.

【分析】将已知转化为对任意实数a,3a2-5"+2廿+3>0恒成立，利用△<()即可求解;

【解答】解：由题意可知：2/-5必+3/>-3,

；.3/-5"+2.+3>0,

27

对任意实数a,3a2-5帅+2/+3>0恒成立，

.♦.△=25廿-12（2廿+3）=庐-36<0,

，-6<b<6；

故答案为-6<b<6；

【点评】本题考查一元二次函数与一元二次不等式的关系；熟练掌握判别式与一元二次

不等式值的关系是解题的关键.

（2019年内蒙古通辽10题）

10.（3分）在平面直角坐标系中，二次函数）一加+灰+。（4云0）的图象如图所示，现给以

下结论：（T）abc<0；

②c+2“V0；

③9a-3b+c=0；

④“-Cam+b）（〃？为实数）；

⑤44c-62Vo.

其中错误结论的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】由抛物线的开口方向判断〃与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与。的

关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【解答】解：①由抛物线可知：«>0,c<0,

对称轴x=-且<0,

2a

.M>0,

/.abc<0,故①正确;

②由对称轴可知：--=-1,

2a

28

••h~—2a,

Vx=l时，y=a+b+c=O,

c+3〃=0,

c+2a=-3a+2a=-aVO,故②正确；

③（1,0）关于尸7的对称点为（-3,0）,

，％=-3时，y=9a-3匕+c=0,故③正确；

④当x=-1时，y的最小值为a-b+c,

'.x=m时，y=am1+bm-^Cy

/.atrP'+bm+c^a-b+c,

即a-bWm（a〃?+6）,故④错误；

⑤