沈阳市第一三四中学2025届高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

沈阳市第一三四中学2025届高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为（）A． B． C． D．2．已知椭圆，直线与直线相交于点，且点在椭圆内恒成立，则椭圆的离心率取值范围为（）A． B． C． D．3．若双曲线的离心率为，则双曲线的焦距为（）A． B． C．6 D．84．已知，如图是求的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入A． B．C． D．5．命题：存在实数，对任意实数，使得恒成立；：，为奇函数，则下列命题是真命题的是（）A． B． C． D．6．已知，，，若，则正数可以为（）A．4 B．23 C．8 D．177．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（）附：若，则，.A．0.6826 B．0.8413 C．0.8185 D．0.95448．函数的图象可能为（）A． B．C． D．9．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆都相切，则双曲线的离心率是（）A．2或 B．2或 C．或 D．或10．已知向量，，且与的夹角为，则x=（）A．-2 B．2 C．1 D．-111．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（）A． B． C． D．12．复数满足(为虚数单位),则的值是()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将函数的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则________．14．已知实数a，b，c满足，则的最小值是______.15．已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，则∁U(A∪B)＝________.16．设第一象限内的点(x，y)满足约束条件,若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为40，则＋的最小值为_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）车工刘师傅利用数控车床为某公司加工一种高科技易损零件，对之前加工的100个零件的加工时间进行统计，结果如下：加工1个零件用时（分钟）20253035频数（个）15304015以加工这100个零件用时的频率代替概率.（1）求的分布列与数学期望；（2）刘师傅准备给几个徒弟做一个加工该零件的讲座，用时40分钟，另外他打算在讲座前、讲座后各加工1个该零件作示范.求刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.18．（12分）在如图所示的多面体中，四边形是矩形，梯形为直角梯形，平面平面，且，，.（1）求证：平面.（2）求二面角的大小.19．（12分）已知抛物线上一点到焦点的距离为2，（1）求的值与抛物线的方程；（2）抛物线上第一象限内的动点在点右侧，抛物线上第四象限内的动点，满足，求直线的斜率范围.20．（12分）已知矩阵不存在逆矩阵，且非零特低值对应的一个特征向量，求的值.21．（12分）己知等差数列的公差，，且，，成等比数列.（1）求使不等式成立的最大自然数n；（2）记数列的前n项和为，求证：.22．（10分）[选修4-5：不等式选讲]:已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）设，，且的最小值为.若，求的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,则每个等腰三角形的面积为,由割圆术可得圆的面积为,整理可得,当时即可为所求.【详解】由割圆术可知当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,所以每个等腰三角形的面积为,所以圆的面积为,即,所以当时,可得,故选:A【点睛】本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.2、A【解析】

先求得椭圆焦点坐标，判断出直线过椭圆的焦点.然后判断出，判断出点的轨迹方程，根据恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率的取值范围.【详解】设是椭圆的焦点，所以.直线过点，直线过点，由于，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆.由于点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于，即，所以，所以双曲线的离心率，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.3、A【解析】

依题意可得，再根据离心率求出，即可求出，从而得解；【详解】解：∵双曲线的离心率为，所以，∴，∴，双曲线的焦距为.故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.4、C【解析】

由于中正项与负项交替出现，根据可排除选项A、B；执行第一次循环：，①若图中空白框中填入，则，②若图中空白框中填入，则，此时不成立，；执行第二次循环：由①②均可得，③若图中空白框中填入，则，④若图中空白框中填入，则，此时不成立，；执行第三次循环：由③可得，符合题意，由④可得，不符合题意，所以图中空白框中应填入，故选C．5、A【解析】

分别判断命题和的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.【详解】对于命题，由于，所以命题为真命题.对于命题，由于，由解得，且，所以是奇函数，故为真命题.所以为真命题.、、都是假命题.故选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.6、C【解析】

首先根据对数函数的性质求出的取值范围，再代入验证即可；【详解】解：∵，∴当时，满足，∴实数可以为8.故选：C【点睛】本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.7、C【解析】

根据服从的正态分布可得，，将所求概率转化为，结合正态分布曲线的性质可求得结果.【详解】由题意，，，则，，所以，.故果实直径在内的概率为0.8185.故选：C【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.8、C【解析】

先根据是奇函数，排除A，B，再取特殊值验证求解.【详解】因为，所以是奇函数，故排除A，B，又，故选：C【点睛】本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.9、A【解析】

根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x、y轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率．【详解】设双曲线C的渐近线方程为y=kx，是圆的切线得：，得双曲线的一条渐近线的方程为∴焦点在x、y轴上两种情况讨论：

①当焦点在x轴上时有：②当焦点在y轴上时有：∴求得双曲线的离心率2或．

故选：A．【点睛】本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案．10、B【解析】

由题意，代入解方程即可得解.【详解】由题意，所以，且，解得.故选：B.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.11、C【解析】

分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开的事件个数，不考虑限制因素，总数有种，进而得到结果.【详解】当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种情况，由间接法得到满足条件的情况有当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种，由间接法得到满足条件的情况有共有：种情况，不考虑限制因素，总数有种，故满足条件的事件的概率为：故答案为：C.【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．12、C【解析】

直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【详解】由得：本题正确选项：【点睛】本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据平移后关于轴对称可知关于对称，进而利用特殊值构造方程，从而求得结果.【详解】向左平移个单位长度后得到偶函数图象，即关于轴对称关于对称即：本题正确结果：【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解.14、【解析】

先分离出，应用基本不等式转化为关于c的二次函数，进而求出最小值.【详解】解：若取最小值，则异号，，根据题意得：，又由，即有，则，即的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式以及二次函数配方求最值，属于中档题.15、{5}【解析】易得A∪B＝A＝{1,3,9}，则∁U(A∪B)＝{5}．16、【解析】不等式表示的平面区域阴影部分，当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线x−y+2=0与直线2x−y−6=0的交点(8,10)时，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大40，即8a+10b=40，即4a+5b=20，而当且仅当时取等号，则的最小值为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）分布列见解析，；（2）0.8575【解析】

（1）根据题目所给数据求得分布列，并计算出数学期望.（2）根据对立事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式，计算出刘师傅讲座及加工个零件作示范的总时间不超过分钟的概率.【详解】（1）的分布列如下：202530350.150.300.400.15.（2）设，分别表示讲座前、讲座后加工该零件所需时间，事件表示“留师傅讲座及加工两个零件示范的总时间不超过100分钟”，则.【点睛】本小题主要考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查对立事件概率计算，考查相互独立事件概率计算，属于中档题.18、（1）见解析；（2）【解析】

（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明，进而由线面垂直的判定定理证明平面.（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角的大小.【详解】（1）证明：∵平面平面ABEG，且，∴平面，∴，由题意可得，∴，∵，且，∴平面.（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面的法向量是，则，令，，由（1）可知平面的法向量是，∴，由图可知，二面角为钝二面角，所以二面角的大小为.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.19、（1）1；（2）【解析】

（1）根据点到焦点的距离为2，利用抛物线的定义得，再根据点在抛物线上有，列方程组求解，（2）设，根据，再由，求得，当，即时，直线斜率不存在；当时，，令，利用导数求解，【详解】（1）因为点到焦点的距离为2，即点到准线的距离为2，得，又，解得，所以抛物线方程为（2）设，由由，则当，即时，直线斜率不存在；当时，令，所以在上分别递减则【点睛】本题主要考查抛物线定义及方程的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题，20、【解析】

由不存在逆矩阵，可得，再利用特征多项式求出特征值3，0，，利用矩阵乘法运算即可.【详解】因为不存在逆矩阵，，所以.矩阵的特征多项式为，令，则或，所以，即，所以，所以【点睛】本题考查矩阵的乘法及特征值、特征向量有关的问题，考查学生的运算能力，是一道容易题.21、（1）；（2）证明见解析【解析】

（1）根据，，成等比数列，有，结合公差，，求得通项，再解不等式.（2）根据（1），用裂项相消法求和，然后研究其单调性即可.【详解】（1）由题意，可知，即，∴.又，，∴，∴.∴，∴，故满足题意的最大自然数为.（2），∴...从而当时，单调递增，且，当时，单调递增，且，所以，由，知不等式成立.【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22、（1）（2）【解析】

（1）当时，，原不等式可化为，分类讨论即可求得不等式的解集；（2）由题意得，的最小值为，所以，由，得，利用