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文档简介
陕西省汉中市2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,则下列判断错误的是()A.的最小正周期为 B.的值域为C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点对称2.已知集合,,,则()A. B. C. D.3.已知函数则函数的图象的对称轴方程为()A. B.C. D.4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积()A. B. C. D.5.若,则的虚部是A.3 B. C. D.6.已知正项数列满足:,设,当最小时,的值为()A. B. C. D.7.已知定义在上的函数满足,且当时,,则方程的最小实根的值为()A. B. C. D.8.已知a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且,,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.若点x,y位于由曲线x=y-2+1与x=3围成的封闭区域内(包括边界),则A.-3,1 B.-3,5 C.-∞,-310.一小商贩准备用元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品,甲每件进价元,乙每件进价元,甲商品每卖出去件可赚元,乙商品每卖出去件可赚元.该商贩若想获取最大收益,则购买甲、乙两种商品的件数应分别为()A.甲件,乙件 B.甲件,乙件 C.甲件,乙件 D.甲件,乙件11.地球上的风能取之不尽,用之不竭.风能是淸洁能源,也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电,近10年来,全球风力发电累计装机容量连年攀升,中国更是发展迅猛,2014年累计装机容量就突破了,达到,中国的风力发电技术也日臻成熟,在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图.根据所给信息,正确的统计结论是()A.截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B.10年来全球新增装机容量连年攀升C.10年来中国新增装机容量平均超过D.截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过12.复数的共轭复数为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在三棱锥中,,,两两垂直且,点为的外接球上任意一点,则的最大值为______.14.设为数列的前项和,若,则____15.在正方体中,为棱的中点,是棱上的点,且,则异面直线与所成角的余弦值为__________.16.如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为的正方形,上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,则此四棱锥的体积为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知在中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,且.(1)求角A的值;(2)若,设角,周长为y,求的最大值.18.(12分)已知都是大于零的实数.(1)证明;(2)若,证明.19.(12分)已知A是抛物线E:y2=2px(p>0)上的一点,以点A和点B(2,0)为直径两端点的圆C交直线x=1于M,N两点.(1)若|MN|=2,求抛物线E的方程;(2)若0<p<1,抛物线E与圆(x﹣5)2+y2=9在x轴上方的交点为P,Q,点G为PQ的中点,O为坐标原点,求直线OG斜率的取值范围.20.(12分)在三棱柱中,四边形是菱形,,,,,点M、N分别是、的中点,且.(1)求证:平面平面;(2)求四棱锥的体积.21.(12分)已知函数,且.(1)求的解析式;(2)已知,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围.22.(10分)已知函数,(1)证明:在区间单调递减;(2)证明:对任意的有.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
先将函数化为,再由三角函数的性质,逐项判断,即可得出结果.【详解】可得对于A,的最小正周期为,故A正确;对于B,由,可得,故B正确;对于C,正弦函数对称轴可得:解得:,当,,故C正确;对于D,正弦函数对称中心的横坐标为:解得:若图象关于点对称,则解得:,故D错误;故选:D.【点睛】本题考查三角恒等变换,三角函数的性质,熟记三角函数基本公式和基本性质,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.2、A【解析】
求得集合中函数的值域,由此求得,进而求得.【详解】由,得,所以,所以.故选:A【点睛】本小题主要考查函数值域的求法,考查集合补集、交集的概念和运算,属于基础题.3、C【解析】
,将看成一个整体,结合的对称性即可得到答案.【详解】由已知,,令,得.故选:C.【点睛】本题考查余弦型函数的对称性的问题,在处理余弦型函数的性质时,一般采用整体法,结合三角函数的性质,是一道容易题.4、C【解析】
画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的表面积即可.【详解】解:几何体的直观图如图,是正方体的一部分,P−ABC,正方体的棱长为2,
该几何体的表面积:.故选C.【点睛】本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积,判断几何体的形状是解题的关键.5、B【解析】
因为,所以的虚部是.故选B.6、B【解析】
由得,即,所以得,利用基本不等式求出最小值,得到,再由递推公式求出.【详解】由得,即,,当且仅当时取得最小值,此时.故选:B【点睛】本题主要考查了数列中的最值问题,递推公式的应用,基本不等式求最值,考查了学生的运算求解能力.7、C【解析】
先确定解析式求出的函数值,然后判断出方程的最小实根的范围结合此时的,通过计算即可得到答案.【详解】当时,,所以,故当时,,所以,而,所以,又当时,的极大值为1,所以当时,的极大值为,设方程的最小实根为,,则,即,此时令,得,所以最小实根为411.故选:C.【点睛】本题考查函数与方程的根的最小值问题,涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识,本题有一定的难度及高度,是一道有较好区分度的压轴选这题.8、C【解析】
根据线面平行的性质定理和判定定理判断与的关系即可得到答案.【详解】若,根据线面平行的性质定理,可得;若,根据线面平行的判定定理,可得.故选:C.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理,属于基础题.9、D【解析】
画出曲线x=y-2+1与x=3围成的封闭区域,y+1x-2表示封闭区域内的点(x,y)【详解】画出曲线x=y-2+1与y+1x-2表示封闭区域内的点(x,y)和定点P(2,-1)设k=y+1x-2,结合图形可得k≥k由题意得点A,B的坐标分别为A(3,0),B(1,2),∴kPA∴k≥1或k≤-3,∴y+1x-2的取值范围为-∞,-3故选D.【点睛】解答本题的关键有两个:一是根据数形结合的方法求解问题,即把y+1x-210、D【解析】
由题意列出约束条件和目标函数,数形结合即可解决.【详解】设购买甲、乙两种商品的件数应分别,利润为元,由题意,画出可行域如图所示,显然当经过时,最大.故选:D.【点睛】本题考查线性目标函数的线性规划问题,解决此类问题要注意判断,是否是整数,是否是非负数,并准确的画出可行域,本题是一道基础题.11、D【解析】
先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量,再结合数据研究单调性、平均值以及占比,即可作出选择.【详解】年份2009201020112012201320142015201620172018累计装机容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增装机容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中国累计装机装机容量逐年递增,A错误;全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势,B错误;经计算,10年来中国新增装机容量平均每年为,选项C错误;截止到2015年中国累计装机容量,全球累计装机容量,占比为,选项D正确.故选:D【点睛】本题考查条形图,考查基本分析求解能力,属基础题.12、D【解析】
直接相乘,得,由共轭复数的性质即可得结果【详解】∵∴其共轭复数为.故选:D【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
先根据三棱锥的几何性质,求出外接球的半径,结合向量的运算,将问题转化为求球体表面一点到外心距离最大的问题,即可求得结果.【详解】因为两两垂直且,故三棱锥的外接球就是对应棱长为2的正方体的外接球.且外接球的球心为正方体的体对角线的中点,如下图所示:容易知外接球半径为.设线段的中点为,故可得,故当取得最大值时,取得最大值.而当在同一个大圆上,且,点与线段在球心的异侧时,取得最大值,如图所示:此时,故答案为:.【点睛】本题考查球体的几何性质,几何体的外接球问题,涉及向量的线性运算以及数量积运算,属综合性困难题.14、【解析】
当时,由,解得,当时,,两式相减可得,即,可得数列是等比数列再求通项公式.【详解】当时,,即,当时,,两式相减可得,即,即,故数列是以为首项,为公比的等比数列,所以.故答案为:【点睛】本题考查数列的前项和与通项公式的关系,还考查运算求解能力以及化归与转化思想,属于基础题.15、【解析】
根据题意画出几何题,建立空间直角坐标系,写个各个点的坐标,并求得.由空间向量的夹角求法即可求得异面直线与所成角的余弦值.【详解】根据题意画出几何图形,以为原点建立空间直角坐标系:设正方体的棱长为1,则所以所以,所以异面直线与所成角的余弦值为,故答案为:.【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法,利用空间向量求异面直线夹角,属于中档题.16、【解析】
画图直观图可得该几何体为棱锥,再计算高求解体积即可.【详解】解:如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为的正方形,上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,此四棱锥中,是边长为的正方形,是边长为的等边三角形,故,又,故平面平面,的高是四棱锥的高,此四棱锥的体积为:.故答案为:.【点睛】本题主要考查了四棱锥中的长度计算以及垂直的判定和体积计算等,需要根据题意三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】
(1)利用正弦定理,结合题中条件,可以得到,之后应用余弦定理即可求得;(2)利用正弦定理求得,求出三角形的周长,利用三角函数的最值求解即可.【详解】(1)由已知可得,结合正弦定理可得,∴,又,∴.(2)由,及正弦定理得,∴,,故,即,由,得,∴当,即时,.【点睛】该题主要考查的是有关解三角形的问题,解题的关键是掌握正余弦定理,属于简单题目.18、(1)答案见解析.(2)答案见解析【解析】
(1)利用基本不等式可得,两式相加即可求解.(2)由(1)知,代入不等式,利用基本不等式即可求解.【详解】(1)两式相加得(2)由(1)知于是,.【点睛】本题考查了基本不等式的应用,属于基础题.19、(1).(2)【解析】
(1)设A的坐标为A(x0,y0),由题意可得圆心C的坐标,求出C到直线x=1的距离.由半个弦长,圆心到直线的距离及半径构成直角三角形可得p的值,进而求出抛物线的方程;(2)将抛物线的方程与圆的方程联立可得韦达定理,进而求出中点G的坐标,再求出直线OG的斜率的表达式,换元可得斜率的取值范围.【详解】(1)设A(x0,y0)且y02=2px0,则圆心C(),圆C的直径|AB|,圆心C到直线x=1的距离d=|1|=||,因为|MN|=2,所以()2+d2=()2,即1,y02=2px0,整理可得(2p﹣4)x0=0,所以p=2,所以抛物线的方程为:y2=4x;(2)联立抛物线与圆的方程整理可得x2﹣2(5﹣p)x+16=0,△>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=2(5﹣p),x1x2=16,所以中点G的横坐标xG=5﹣p,yG(),所以kOG(0<P<1),令t=5﹣p(t∈(4,5)),则kOG(),解得0<kOG,所以直线OG斜率的取值范围(0,).【点睛】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合,换元方法的应用,属于中档题.20、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)要证面面垂直需要先证明线面垂直,即证明出平面即可;(2)求出点A到平面的距离,然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥的体积.【详解】(1)连接,由是平行四边形及N是的中点,得N也是的中点,因为点M是的中点,所以,因为,所以,又,,所以平面,又平面,所以平面平面;(2)过A作交于点O,因为平面平面,平面平面,所以平面,由是菱形及,得为三角形,则,由平面,得,从而侧面为矩形,所以.【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明,求四棱锥的体积,属于一般题.21、(1);(2)【解析】
(1)由,可求出的值,进而可求得的解析式;(2)分别求得和的值域,再结合两个函数的值域间的关系可求出的取值范围.【详解】(1)因为,所以,解得,故.(2)因为,所以,所以,
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