福建省部分达标学校2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学 含解析

福建省部分达标学校2024-2025学年第一学期期中高一数学质量监测注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章到第三章3.3.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.“每个三角形的重心都在其内部”的否定是（）A.每个三角形重心都在其外部B.每个三角形的重心都不在其内部C.至少有一个三角形的重心在其内部D.至少有一个三角形的重心不在其内部3.幂函数是偶函数，则的值是（）A. B. C.1 D.44.函数定义域为（）A. B.C. D.5.若函数在区间上为增函数，则（）A.的最小值为 B.的最大值为C.的最小值为3 D.的最大值为36.已知集合，，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.7.若函数满足，则（）A. B. C. D.8.已知，，且，则的最小值为（）A.1 B. C. D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列判断正确的是（）A.方程组的解集为B.“四边形是梯形”是“四边形有一组对边平行”的充分不必要条件C.若，则的取值集合为D.“”存在量词命题10.若与分别为定义在R上的偶函数、奇函数，则函数的部分图象可能为（）A. B. C. D.11.如图，在中，，，点分别边上，点均在边上，设，矩形的面积为，且关于的函数为，则（）A.的面积为 B.C.先增后减 D.的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.用符号“”或“”填空：（1）若为所有亚洲国家组成的集合，则泰国__________；（2）__________，__________.13.已知甲地下停车库的收费标准如下：（1）停车不超过1小时免费；（2）超过1小时且不超过3小时，收费5元；（3）超过3小时且不超过6小时，收费10元；（4）超过6小时且不超过9小时，收费15元；（5）超过9小时且不超过12小时，收费18元；（6）超过12小时且不超过24小时，收费24元．小林在2024年10月7日10：22将车停入甲车库，若他在当天18：30将车开出车库，则他需交的停车费为______．乙地下停车库的收费标准如下：每小时2元，不到1小时按1小时计费．若小林将车停入乙车库（停车时长不超过24小时），要使得车停在乙车库比甲车库更优惠，则小林停车时长的最大值为______．14.已知函数，若与的单调性相同，则的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数满足.（1）求的解析式；（2）求在上的值域.16.（1）若为奇函数，当时，，求f1；（2）用列举法表示集合：；（3）求不等式组的解集.17.（1）已知，，且，求最大值；（2）证明：、、，.18.已知函数，，（1）用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减.（2）当时，写出ℎx的单调区间.（3）若ℎx在上为单调函数，求的取值范围.19.若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，且为的偶点.（1）求函数的偶点.（2）若均为定义在上的“缺陷偶函数”，试举例说明可能是“缺陷偶函数”，也可能不是“缺陷偶函数”.（3）对任意，函数都满足①比较与的大小；②若是“缺陷偶函数”，求的取值范围.福建省部分达标学校2024-2025学年第一学期期中高一数学质量监测注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章到第三章3.3.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由交集定义计算即可得.【详解】由，则.故选：C.2.“每个三角形的重心都在其内部”的否定是（）A.每个三角形的重心都在其外部B.每个三角形的重心都不在其内部C.至少有一个三角形的重心在其内部D.至少有一个三角形的重心不在其内部【答案】D【解析】【分析】根据含有一个量词命题的否定形式可直接得出结论.【详解】“每个三角形的重心都在其内部”的否定是“至少有一个三角形的重心不在其内部”.故选：D3.幂函数是偶函数，则值是（）A. B. C.1 D.4【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义求得的值，再分别检验函数的奇偶性即可得解.【详解】因为幂函数，所以，即，解得或，当时，可化为，易知的定义域为，关于原点对称，且，所以是偶函数，满足题意；当时，可化为，显然，故不是偶函数，不满足题意；综上：.故选：C.4.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二次根式被开方数非负可得出关于的不等式，即可解得原函数的定义域.【详解】对于函数，有，可得，等价于，解得，故函数的定义域为.故选：A.5.若函数在区间上增函数，则（）A.的最小值为 B.的最大值为C.的最小值为3 D.的最大值为3【答案】C【解析】【分析】根据二次函数图象开口方向及对称轴与单调区间的关系可得参数的取值范围.【详解】由得，，二次函数图象开口向下，对称轴为直线,由函数在区间上为增函数得，，解得，所以的最小值为3且无最大值.故选：C.6.已知集合，，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由并集的定义可知得到，讨论集合是否为空集，得到对应的参数的范围，再求并集得到结果.【详解】因为，所以.若，则，即；若，则解得.综上所述，的取值范围是.故选：B7.若函数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用赋值法分别令，构造方程组，即可解得.【详解】依题意可得，解得.故选：C8.已知，，且，则的最小值为（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】由乘“1”法即可求解.【详解】因为，所以，所以．因为，，所以，，所以，当且仅当，即，时，等号成立，则，即的最小值是1．故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列判断正确的是（）A.方程组的解集为B.“四边形是梯形”是“四边形有一组对边平行”的充分不必要条件C.若，则的取值集合为D.“”存在量词命题【答案】BCD【解析】【分析】求出方程组的解集判断A；利用充分不必要条件的定义判断B；由元素与集合的关系求出判断C；利用存在量词命题的定义判断D.【详解】对于A，方程组的解集为，A错误；对于B，梯形有一组对边平行，但有一组对边平行的四边形不一定是梯形，B正确；对于C，当时，，由，得，C正确；对于D，是存在量词命题，D正确的.故选：BCD10.若与分别为定义在R上的偶函数、奇函数，则函数的部分图象可能为（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义可得结论.【详解】因为与分别为定义在上的偶函数、奇函数，所以，所以函数为奇函数，所以的图象关于原点对称.故选：AC.11.如图，在中，，，点分别边上，点均在边上，设，矩形的面积为，且关于的函数为，则（）A.的面积为 B.C.先增后减 D.的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】根据面积公式即可求解A，根据相似即可得，，进而可得，根据二次函数的性质即可求解BCD.【详解】取的中点，连接，则，且，所以的面积为A正确.过作，垂足为，设与交于点，由等面积法可得，则.由，得，则，所以，则，则在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，B错误，C，D均正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.用符号“”或“”填空：（1）若为所有亚洲国家组成的集合，则泰国__________；（2）__________，__________.【答案】①.②.③.【解析】【分析】根据各集合的定义，判断各元素与集合间的关系.【详解】因为泰国属于亚洲，所以泰国；因为表示有理数，不是有理数，是有理数，所以，，故答案为：，，.13.已知甲地下停车库的收费标准如下：（1）停车不超过1小时免费；（2）超过1小时且不超过3小时，收费5元；（3）超过3小时且不超过6小时，收费10元；（4）超过6小时且不超过9小时，收费15元；（5）超过9小时且不超过12小时，收费18元；（6）超过12小时且不超过24小时，收费24元．小林在2024年10月7日10：22将车停入甲车库，若他在当天18：30将车开出车库，则他需交的停车费为______．乙地下停车库的收费标准如下：每小时2元，不到1小时按1小时计费．若小林将车停入乙车库（停车时长不超过24小时），要使得车停在乙车库比甲车库更优惠，则小林停车时长的最大值为______．【答案】①.15②.7【解析】【分析】根据分段函数的知识解题即可.【详解】小林在2024年10月7日10：22将车停入甲车库，在当天18：30将车开出车库，则停车时长为8小时8分钟，满足超过6小时且不超过9小时，所以需交停车费15元；设小林的停车时长为小时，则在乙车库需交停车费为元，根据题意知当停车时长超过9小时后，乙车库停车比甲车库停车更贵，当停车时长超过6小时且不超过9小时，要使得乙车库停车比甲车库停车更优惠，则，解得，所以小林的停车时长最大值为7小时.故答案为：15；7.14.已知函数，若与的单调性相同，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】利用一次函数和反比例函数的性质分析两个函数的单调性，当两个函数都为减函数时，没有符合条件的，当两个函数都为增函数时，取两个范围的公共部分即可.【详解】当，即时，在上为增函数；当，即时，在上为减函数.当时，，当，即时，在上为减函数；当，即时，在上为增函数.当a=2时，，x>0，故当时，与的单调性相同，都为增函数.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数满足.（1）求的解析式；（2）求在上的值域.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用换元法令，计算出的解析式即可得到的解析式.（2）利用二次函数开口方向及对称轴可求出函数在上的最大值和最小值，即可得到值域.【小问1详解】令，得，则.故.【小问2详解】由（1）得为二次函数，图象开口向上，对称轴为直线.当时，取得最小值，且最小值为0.∵，∴的最大值为9.∴在上的值域为.16.（1）若为奇函数，当时，，求f1；（2）用列举法表示集合：；（3）求不等式组解集.【答案】（1）；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）求出的值，利用奇函数的定义可求得f1的值；（2）求出的取值集合，可得出的取值集合，即可得出集合；（3）利用二次不等式的解法可得出原不等式组的解集.【详解】解：（1）因为为奇函数，所以，因为当时，，所以f−1=2，所以.（2）若，则，且，因为，则，解得，所以，；（3）由，得，得或.由，得，得.故不等式组的解集为或.17.（1）已知，，且，求的最大值；（2）证明：、、，.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最大值；（2）利用基本不等式可证得所求不等式成立.【详解】（1）因为，，且，由基本不等式可得，可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为；（2）因为、、都是正数，由基本不等式可得，，，由不等式的基本性质可得，当且仅当时，等号成立.故.18.已知函数，，（1）用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减.（2）当时，写出ℎx的单调区间.（3）若ℎx在上为单调函数，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）的单调递增区间为，的单调递减区间为.（3）.【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）根据一次函数和二次函数的图象和性质求解即可；（3）根据分段函数的图象和单调性的概念求解即可.【小问1详解】当时，.设是区间上任意两个实数，且，则，于是，由函数单调性的定义可知，函数在区间上单调递减.【小问2详解】当时，，则由一次函数和二次函数的图象和性质可知，的单调递增区间为，的单调递减区间为.【小问3详解】由，解得或.由题意得在上单调递增，在上单调递减，在上单调