2024-2025学年高中数学第3章不等式1.1不等关系1.2不等关系与不等式讲义教案北师大版必修5

PAGE1-第3章不等式§1不等关系1．1不等关系1．2不等关系与不等式学习目标核心素养1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景．(难点)3．能用作差法比较大小．(重点)1．通过相识不等关系及不等符号，培育数学抽象素养．2．通过对两数(式)比较大小，提升逻辑推理素养．1．不等式中的数字符号阅读教材P69～P71“练习”以上部分，完成下列问题．两个数或代数式常用以下数学符号连接：“＝”“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”．文字语言数学符号文字语言数学符号大于＞至多≤小于＜至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤思索：(1)限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，用不等式如何表示？[提示]v≤40km/h．(2)如何用不等式表示“a与b的差是非负数”？[提示]a－b≥0．2．比较大小阅读教材P72～P73“练习”以上部分，完成下列问题．(1)作差法比较两实数大小依据假如a－b＞0，那么a＞b．假如a－b＜0，那么a＜b．假如a－b＝0，那么a＝b结论确定随意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差a－b与0的大小关系(2)不等式的性质①对称性：若a＞b，则b＜a；若b＜a，则a＞b．②传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．③同向可加性：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d．④乘法法则：若a>b，c>0，则ac>bc；若a>b，c<0，则ac<bc．⑤同向的可乘性：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd．⑥乘方法则：若a＞b＞0，则an＞bn(n∈N＋，且n≥2)．⑦开方法则：若a＞b＞0，则eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N＋，且n≥2)．⑧同号取倒数反序性：若a＞b，ab＞0，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)．思索：(1)“若a＞b，c＞d，那么ac＞bd”成立吗？[提示]不成立，如a＝－2，b＝－3，c＝1，d＝0，则ac＜bd．(2)“若an＞bn，(n∈N＋，且n≥2)，则a＞b”肯定成立吗？[提示]不肯定，如(－4)2＞(－2)2，但－4＜－2．1．假如a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是()A．eq\f(1,a)＜eq\f(1,b) B．eq\r(－a)＜eq\r(b)C．a2＜b2 D．|a|＞|b|A[A正确，B、C、D可举反例解除，如对B、C，设a＝－9，b＝1，对D，设a＝－1，b＝2即可．]2．当x＞2时，x2与2x的大小关系为．x2＞2x[x2－2x＝x(x－2)，因为x＞2，故x(x－2)＞0，即x2＞2x．]3．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则b2－4ac的值的符号为．正[因为a＋b＋c＝0，所以b＝－(a＋c)，所以b2＝a2＋c2＋2ac．所以b2－4ac＝a2＋c2－2ac＝(a－c)2．因为a>c，所以(a－c)2>0．所以b2－4ac>0，即b2－4ac的符号为正．]4．已知a>b>c，则eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)的值为(填“正数”“非正数”“非负数”)．正数[因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，a－c>b－c>0．所以eq\f(1,a－b)>0，eq\f(1,b－c)>0，eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－c)，所以eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)－eq\f(1,a－c)>0，所以eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)为正数．]用不等式(组)表示不等关系【例1】配制A，B两种药剂，须要甲，乙两种原料．已知配一剂A种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B种药需甲料5克，乙料4克．今有甲料20克，乙料25克，若A，B两种药至少各配一剂，设A，B两种药分别配x，y剂(x，y∈N＋)，请写出x，y所满意的不等关系．[解]依据题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋5y≤20，,5x＋4y≤25，,x≥1，x∈N＋，,y≥1，y∈N＋.))1将不等关系表示成不等式组的思路①读懂题意，找准不等关系所联系的量；②用适当的不等号连接；,③若有多个不等关系，依据状况用不等式组表示.2用不等式组表示不等关系时应留意的问题,在用不等式组表示不等关系时，应留意必需是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个或几个量之间不能用不等式组来表示.eq\o([跟进训练])1．b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再加入m克糖(m>0)，则糖水更甜了，试依据这个事实写出一个不等式．解：由题意得eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b)．比较两个数(式)的大小【例2】比较下列各式的大小：(1)当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小．(2)当x，y，z∈R时，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．[解](1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．因为x≤1，所以x－1≤0，而3x2＋1>0．所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1．(2)因为5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝eq\f(1,2)且z＝1时取到等号．比较大小的方法1作差法：比较两个代数式的大小，可以依据它们的差的符号进行推断，一方面留意题目本身供应的字母的取值范围，另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后推断正负.,作差法的一般步骤：作差——变形——判号——定论.2作商法：作商比较通常适用于两代数式同号的情形，然后比较它们的商与1的大小.,作商法的一般步骤：作商——变形——与1比较大小——定论.3单调性法：利用函数单调性比较大小，通常先构造一个函数，再利用单调性进行推断.eq\o([跟进训练])2．已知a>b>0，试比较aabb与abba的大小．[解]因为eq\f(aabb,abba)＝aa－b·bb－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up24(a-b)，因为a>b>0，所以a－b>0，eq\f(a,b)>1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up24(a-b)>1，故aabb>abba．不等式的性质及应用[探究问题]1．“若a＞0，b＞0，则ab＞0，a＋b＞0”成立吗？反之成立吗？[提示]成立，反之也成立，即“若ab＞0，a＋b＞0，则a＞0，b＞0”．2．“若a＞1，b＞1，则ab＞1，a＋b＞2”成立吗？反之成立吗？[提示]成立，但反之不成立，即“若ab＞1，a＋b＞2，则a＞1，b＞1”不成立，反例：a＝4，b＝eq\f(1,2)，满意ab＞1，a＋b＞2，但不满意a＞1，b＞1．3．如何用a＋b和a－b表示2a－3b?[提示]设2a－3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，即2a－3b＝(x＋y)a＋(x－y)b，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－y＝－3))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(5,2)，))故2a－3b＝－eq\f(1,2)(a＋b)＋eq\f(5,2)(a－b)．【例3】设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．思路探究：用f(－1)，f(1)表示f(－2)，再利用f(－1)，f(1)的取值范围求f(－2)的取值范围．[解]由f(x)＝ax2＋bx得，f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b，设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,n－m＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1.))∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10，∴f(－2)的取值范围是[5,10]．(变结论)例3的条件不变，求f(2)的取值范围．[解]由例3的解答可知f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，又f(2)＝4a＋2b，设4a＋2b＝x(a－b)＋y(a＋b)，即4a＋2b＝(x＋y)a＋(y－x)b，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,－x＋y＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))则4a＋2b＝(a－b)＋3(a＋b)，即f(2)＝f(－1)＋3f(1)，由1≤f(－1)≤2,6≤3f(1)≤12，两式相加得7≤f(－1)＋3f(1)≤14．即f(2)的取值范围是[7,14]．利用性质求范围问题的基本要求1利用不等式性质时，要特殊留意性质成立的条件，犹如向不等式相加，不等号方向不变，两边都是正数的同向不等式才能相乘等.2要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，留意变形的等价性.[提示]本例中假如由1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4得到a，b的取值范围，再求f－2的取值范围，那么得到的结果不是正确答案.这是因为求得的a，b的取值范围与已知条件不是等价关系.1．比较两个实数的大小，只要探讨它们的差就可以了．a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b．2．不等式的性质(1)留意不等式性质的运用条件，例如，只有同向不等式才可以相加．(2)不等式的性质是解(证)不等式的基础，对不等式变形时要依据不等式的性质进行．1．推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a＞b，则ac＞bc． ()(2)a2肯定大于a． ()(3)若a＞b，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)． ()[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)错误，当c＝0时，ac＝bc；当c＜0时，ac＜bc；(2)错误，当0≤a≤1时，a2≤a；(3)错误，反例2＞－1，但eq\f(1,2)＞－1．2．已知a，b，c，d∈R且ab>0，－eq\f(c,a)>－eq\f(d,b)，则()A．bc<ad B．bc>adC．eq\f(a,c)＞eq\f(b,d) D．eq\f(a,c)<eq\f(b,d)A[∵ab>0，∴在－eq\f(c,a)＞－eq\f(d,b)两侧乘ab不变号，即－bc>－ad，即bc<ad．]3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系为．M＞N[M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1