高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理二导学案新人教A版必修5

1.1.2余弦定理(二)教学目标1.娴熟驾驭余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形态推断等问题．教学过程一、创设情景老师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生与大家共享自己对余弦定理及其变形形式的了解。通过举例说明和相互沟通.做好老师对学生的活动的梳理引导，并赐予主动评价.二、自主学习1.在△ABC中，若B＝30°，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，可以先用正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)求出sinC＝eq\f(\r(3),2).那么能不能用余弦定理解此三角形？假如能，怎么解？提示：能．在余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB中，已知三个量AC＝b，AB＝c，cosB，代入后得到关于a的一元二次方程，解此方程即可．2.已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满意条件的三角形个数为0,1,2，详细推断方法为：设在△ABC中，已知a，b及A的值．由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可求得sinB＝eq\f(bsinA,a).(1)当A为钝角时，则B必为锐角，三角形的解唯一；(2)当A为直角且a>b时，三角形的解唯一；(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系：①当a<CD时，无解；②当a＝CD时，一解；③当CD<a<b时，则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角，此时B的值有两个．④当a≥b时，一解．(4)假如a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．二、合作探究探究点1：推断三角形的形态问题1三角形的形态类别许多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形．在推断三角形的形态时是不是要一个一个去推断？提示：不须要．假如所知条件便利求角，只需推断最大的角是钝角，直角，锐角；假如便利求边，假设最大边为c，可用a2＋b2－c2来推断cosC的正负．而推断边或角是否相等则一目了然，不需多说．问题2△ABC中，sin2A＝sin2B.则A，B肯定相等吗？提示：∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).例1在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试推断△ABC的形态．解由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2).∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3).又sinA＝2sinBcosC.∴由正弦、余弦定理，得a＝2b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－c2,a)，∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形．变式训练：将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－a2bc，其余条件不变，试推断△ABC的形态．解由(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－a2bc，得(b2＋c2－a2)2＝bc(b2＋c2－a2)，∴(b2＋c2－a2)(b2＋c2－a2－bc)＝0，∴b2＋c2－a2＝0或b2＋c2－a2－bc＝0，∴a2＝b2＋c2或b2＋c2－a2＝bc，由a2＝b2＋c2，得A＝90°，由b2＋c2－a2＝bc，得cosA＝eq\f(1,2)，∴A＝60°，∴△ABC为等边三角形或等腰直角三角形．名师点评：(1)推断三角形形态，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出推断．(2)在余弦定理中，留意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2＝2bccosA，b2＋c2＝(b＋c)2－2bc等等．探究点2：证明三角形中的恒等式问题：前面我们用正弦定理化简过acosB＝bcosA，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？提示：由余弦定理得aeq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝beq\f(b2＋c2－a2,2bc)，去分母得a2＋c2－b2＝b2＋c2－a2，化简得a＝b.例2在△ABC中，有(1)a＝bcosC＋ccosB；(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA，这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．证明方法一(1)由正弦定理，得b＝2RsinB，c＝2RsinC，∴bcosC＋ccosB＝2RsinBcosC＋2RsinCcosB＝2R(sinBcosC＋cosBsinC)＝2Rsin(B＋C)＝2RsinA＝a.即a＝bcosC＋ccosB.同理可证(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA.方法二(1)由余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，∴bcosC＋ccosB＝b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋b2－c2,2a)＋eq\f(a2＋c2－b2,2a)＝eq\f(2a2,2a)＝a.∴a＝bcosC＋ccosB.同理可证(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA.名师点评：证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系．四、当堂检测1．在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于()A．60° B．45°或135°C．120° D．30°2．在△ABC中，若b2sin2C＋C2sin2B＝2bccosBcosC，则△ABC的形态肯定是()A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形3．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，则满意条件的三角形有几个？提示：1．C2.B3．解设BC＝a，AC＝b，AB＝c，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，∴22＝a2＋(2eq\r(3))2－2a×2eq\r(3)cos30°，即a2－6a＋8＝0，解得a＝2或a＝4.当a＝2时，三边长为2,2,2eq\r(3)，可组成三角形；当a＝4时，三边长为4,2,2eq\r(3)，也可组成三角形．∴满意条件的三角形有两个．五、课堂小结本节课我们学习过哪些学问内容?1．已知两边及其中一边的对角解三角形，一般状况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要留意进行探讨．假如采纳余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采纳余弦定理较简洁．2．依据所给条件确定三角形的形态，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．4．利用余弦定理求三角形的边长时简洁出现增解，缘由是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实