2025版新教材高考数学一轮复习课时质量评价27解三角形应用举例含解析新人教A版

PAGE课时质量评价(二十七)(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1．某船起先望见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15nmile后，望见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()A．5nmile B．10nmileC．5eq\r(3)nmile D．5eq\r(2)nmileC解析：作出示意图(如图)，点A为该船起先的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在△ABC中，有∠BAC＝60°－30°＝30°，C＝30°，B＝120°，AC＝15.由正弦定理，得eq\f(15,sin120°)＝eq\f(AB,sin30°)，即AB＝eq\f(15×\f(1,2),\f(\r(3),2))＝5eq\r(3)，所以这时船与灯塔的距离是5eq\r(3)nmile.2．在△ABC中，已知AC＝eq\r(7)，∠ABC＝60°，AB<BC，且△ABC的面积为eq\f(3\r(3),2)，则BC边上的高等于()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2C解析：设BC＝a，AC＝b，AB＝c.因为∠ABC＝60°，△ABC的面积为eq\f(3\r(3),2)，所以eq\f(1,2)acsin60°＝eq\f(3\r(3),2)，即ac＝6.①又AC＝eq\r(7)，所以b2＝a2＋c2－2accos60°＝7，即a2＋c2－ac＝7.②联立①②，结合a>c，解得a＝3，c＝2.设BC边上的高为h，所以h＝csin60°＝eq\r(3).3．某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40nmile/h的速度由A处动身，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B处时，发觉北偏西45°方向有一艘船C.若船C位于A处北偏东30°方向上，则缉私艇B与船C的距离是()A．5(eq\r(6)＋eq\r(2))nmile B．5(eq\r(6)－eq\r(2))nmileC．10(eq\r(6)＋eq\r(2))nmile D．10(eq\r(6)－eq\r(2))nmileD解析：如图，由题意得AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝75°.所以∠ACB＝75°，由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，得BC＝eq\f(20sin30°,sin75°)＝10(eq\r(6)－eq\r(2))nmile，故缉私艇B与船C的距离为10(eq\r(6)－eq\r(2))nmile.4．小华想测出操场上旗杆OA的高度，在操场上选取了一条基线BC，请从测得的数据①BC＝10m，②B处的仰角60°，③C处的仰角45°，④cos∠BAC＝eq\f(3\r(6),8)，⑤∠BOC＝30°中选取合适的，计算出旗杆的高度为()A．9eq\r(3)mB．10mC．10eq\r(2)mD．10eq\r(3)mD解析：选①②③⑤.设旗杆的高度OA＝h，则OC＝h，OB＝eq\f(h,\r(3)).在△BOC中，由余弦定理得BC2＝OB2＋OC2－2OB·OC·cos∠BOC，即102＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,\r(3))))eq\s\up12(2)＋h2－2·h·eq\f(h,\r(3))·eq\f(\r(3),2)，解得h＝10eq\r(3).5．我国南宋闻名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五的“田域类”中写道：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里、14里、15里，求三角形沙田的面积．则该沙田的面积为________平方里．84解析：如图，由题意画出△ABC，且AB＝13，BC＝14，AC＝15.在△ABC中，由余弦定理得，cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(132＋142－152,2×13×14)＝eq\f(5,13)，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(12,13)，则该沙田的面积S＝eq\f(1,2)AB·BC·sinB＝eq\f(1,2)×13×14×eq\f(12,13)＝84(平方里)．6．如图，为了测量A，B两处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40nmile至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为________nmile.20eq\r(6)解析：连接AB(图略)，由题意可知，CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，所以∠CAD＝45°，∠ADB＝60°.在△ACD中，由正弦定理，得eq\f(AD,sin30°)＝eq\f(40,sin45°).所以AD＝20eq\r(2).在Rt△BCD中，因为∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，所以BD＝eq\r(2)CD＝40eq\r(2).在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝800＋3200－2×20eq\r(2)×40eq\r(2)×cos60°＝2400(nmile)，即AB＝20eq\r(6)(nmile)．7．如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝eq\f(π,2)，∠ABC＝eq\f(π,6)，∠ADB＝eq\f(π,12)，则tan∠ACD＝______.eq\f(3－\r(3),4)解析：不妨设∠ACD＝θ，AC＝1，则AB＝eq\r(3)，AD＝sinθ.在△ABD中，∠BAD＝eq\f(π,2)＋eq\f(π,2)－θ＝π－θ，∠ADB＝eq\f(π,12)，则∠ABD＝θ－eq\f(π,12).由正弦定理得eq\f(AD,sin∠ABD)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，即eq\f(sinθ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12))))＝eq\f(\r(3),sin\f(π,12))，所以sineq\f(π,12)sinθ＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθcos\f(π,12)－cosθsin\f(π,12)))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,12)－\r(3)cos\f(π,12)))sinθ＝－eq\r(3)sineq\f(π,12)cosθ，所以2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,6)sin\f(π,12)－cos\f(π,6)cos\f(π,12)))·sinθ＝－eq\r(3)sineq\f(π,12)·cosθ，所以2coseq\f(π,4)sinθ＝eq\r(3)sineq\f(π,12)cosθ，所以tanθ＝eq\f(\r(3)sin\f(π,12),2cos\f(π,4))＝eq\f(\r(3),\r(2))×eq\f(\r(6)－\r(2),4)＝eq\f(3－\r(3),4).8．在社会实践中，小明视察一棵桃树．他在点A处发觉桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4米后，在点B处发觉桃树顶端点C的仰角大小为75°.(1)求BC的长；(2)若小明身高为1.70米，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01米，其中eq\r(3)≈1.732)．解：(1)在△ABC中，∠CAB＝45°.又∠DBC＝75°，则∠ACB＝75°－45°＝30°.由正弦定理得，eq\f(BC,sin45°)＝eq\f(AB,sin30°)，将AB＝4代入上式，得BC＝4eq\r(2)(米)．(2)在△CBD中，∠CBD＝75°，BC＝4eq\r(2)，所以CD＝4eq\r(2)sin75°.因为sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，所以CD＝2＋2eq\r(3)，所以CE＝2＋2eq\r(3)＋1.70＝3.70＋2eq\r(3)≈7.16(米)．所以这棵桃树顶端点C离地面的高度约为7.16米．B组新高考培优练9．(2024·福建质量检测)20世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1)，充分展示了我国古代超群的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的亲密联系．图2为骨笛测量“春(秋)分”“夏(冬)至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽视不计)，夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角．图1图2图3由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年头如下表：黄赤交角23°41′23°57′24°13′24°28′24°44′正切值0.4390.4440.4500.4550.461年头公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年依据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年头是()A．公元前2000年到公元元年B．公元前4000年到公元前2000年C．公元前6000年到公元前4000年D．早于公元前6000年D解析：由题意可画示意图，如图，其中AO⊥BO(BO代表骨笛)，得到AO＝10，BC＝9.4，BO＝16，故求得OC＝6.6.设黄赤交角为θ，由题意得∠BAC＝∠CAD＝θ，故可得θ＝∠BAO－∠CAO，其中tan∠BAO＝eq\f(16,10)＝1.6，tan∠CAO＝eq\f(6.6,10)＝0.66，所以tanθ＝tan(∠BAO－∠CAO)＝eq\f(tan∠BAO－tan∠CAO,1＋tan∠BAO·tan∠CAO)，代入数据得tanθ＝eq\f(1.6－0.66,1＋1.6×0.66)＝eq\f(0.94,2.056)≈0.457.比照年头表格，由0.455<0.457<0.461，得该骨笛的年头早于公元前6000年，故选D.10．(多选题)如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，eq\r(3)(acosC＋ccosA)＝2bsinB，且∠CAB＝eq\f(π,3).若点D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，下列说法正确的是()A．△ABC的内角B＝eq\f(π,3)B．△ABC的内角C＝eq\f(π,3)C．四边形ABCD面积的最大值为eq\f(5\r(3),2)＋3D．四边形ABCD面积无最大值ABC解析：因为eq\r(3)(acosC＋ccosA)＝2bsinB，所以eq\r(3)(sinAcosC＋sinCcosA)＝2sin2B，所以eq\r(3)sin(A＋C)＝2sin2B，所以eq\r(3)sinB＝2sin2B，所以sinB＝eq\f(\r(3),2).因为∠CAB＝eq\f(π,3)，所以B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，所以B＝eq\f(π,3)，所以C＝π－A－B＝eq\f(π,3)，因此A，B正确．S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq\f(\r(3),4)AC2＋eq\f(1,2)AD·CD·sin∠ADC＝eq\f(\r(3),4)(AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC)＋eq\f(1,2)AD·DC·sin∠ADC＝eq\f(\r(3),4)(9＋1－6cos∠ADC)＋eq\f(1,2)×3sin∠ADC＝eq\f(5\r(3),2)＋eq\f(3,2)(sin∠ADC－eq\r(3)cos∠ADC)＝eq\f(5\r(3),2)＋3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠ADC－\f(π,3)))≤eq\f(5\r(3),2)＋3，因此C正确，D错误．故选ABC.11．若△ABC的面积为eq\f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝________，eq\f(c,a)的取值范围是________．eq\f(π,3)(2，＋∞)解析：由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，所以a2＋c2－b2＝2accosB.又因为S＝eq\f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)，所以eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),4)×2accosB，所以tanB＝eq\r(3)，所以B＝eq\f(π,3).又因为C为钝角，所以C＝eq\f(2π,3)－A>eq\f(π,2)，所以0<A<eq\f(π,6).由正弦定理得eq\f(c,a)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A)),sinA)＝eq\f(\f(\r(3),2)cosA＋\f(1,2)sinA,sinA)＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)·eq\f(1,tanA).因为0<tanA<eq\f(\r(3),3)，所以eq\f(1,tanA)>eq\r(3)，所以eq\f(c,a)>eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)＝2，即eq\f(c,a)>2.12．我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供应的东西部连接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展．输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为27米峡谷拐入宽为8米的峡谷．如图所示，位于峡谷悬崖壁上E，F两点的连线恰好经过拐角内侧顶点O(点E，O，F在同一水平面内)．设EF与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为θ，则EF的长为eq\f(27,sinθ)＋eq\f(8,cosθ)(用θ表示)米．要使输气管顺当通过拐角，其长度不能超过________米．13eq\r(13)解析：EF＝OE＋OF＝eq\f(27,sinθ)＋eq\f(8,cosθ)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).令f(θ)＝eq\f(27,sinθ)＋eq\f(8,cosθ)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则f′(θ)＝－eq\f(27cosθ,sin2θ)＋eq\f(8sinθ,cos2θ)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).令f′(θ)＝0，得3cosθ＝2sinθ>0，结合sin2θ＋cos2θ＝1，解得sinθ＝eq\f(3,\r(13))，cosθ＝eq\f(2,\r(13))，此时EF取得最大值为27×eq\f(\r(13),3)＋8×eq\f(\r(13),2)＝13eq\r(13).13．(2024·北京卷)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值．(2)sinC和△ABC的面积．条件①：c＝7，cosA＝－eq\f(1,7)；条件②：cosA＝eq\f(1,8)，cosB＝eq\f(9,16).解：选择条件①.(1)因为c＝7，cosA＝－eq\f(1,7)，a＋b＝11，a2＝b2＋c2－2bcc