专题96直线与椭圆抛物线的位置关系2022年高考数学一轮复习（新高考浙江）（讲）

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）第九章平面解析几何专题9.6直线与椭圆、抛物线的位置关系（讲）【考试要求】1.会解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的问题.2．了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法.3．理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想.了解圆锥曲线的简单应用.【高考预测】（1）考查直线与椭圆的位置关系；（2）考查直线与抛物线的位置关系；（3）考查直线与圆、圆锥曲线的综合问题.（4）命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.浙江卷中考查直线与抛物线的位置关系较多.【知识与素养】知识点1．直线和圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0，))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．【典例1】（2021·山东高考真题）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是．（1）求抛物线的标准方程；（2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据抛物线的定义，结合到焦点、轴的距离求，写出抛物线方程.（2）直线的斜率不存在易得与不垂直与题设矛盾，设直线方程联立抛物线方程，应用韦达定理求，，进而求，由题设向量垂直的坐标表示有求直线方程即可.【详解】（1）由己知，可设抛物线的方程为，又到焦点的距离是1，∴点到准线的距离是1，又到轴的距离是，∴，解得，则抛物线方程是．（2）假设直线的斜率不存在，则直线的方程为，与联立可得交点、的坐标分别为，，易得，可知直线与直线不垂直，不满足题意，故假设不成立，∴直线的斜率存在．设直线为，整理得，设，，联立直线与抛物线的方程得，消去，并整理得，于是，，∴，又，因此，即，∴，解得或．当时，直线的方程是，不满足，舍去．当时，直线的方程是，即，∴直线的方程是．【规律方法】直线与圆锥曲线位置关系的判定方法及关注点(1)判定方法：直线与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)后当得到关于x(或y)的一元二次方程时，设其判别式为Δ，①Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ＜0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)关注点：①联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零．②判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根；第三：若Δ的表达式非常复杂，则可以采用列而不求，最后验证的策略．提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．【变式1】（2019·全国高考真题（理））已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设直线方程为：，，由抛物线焦半径公式可知：联立得：则，解得：直线的方程为：，即：（2）设，则可设直线方程为：联立得：则，，则知识点2．“弦”的问题1.弦长公式设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).2．处理中点弦问题常用的求解方法(1)．点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，eq\f(y1－y2,x1－x2)三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)．根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．【典例2】（2021·江苏高考真题）已知椭圆的离心率为.（1）证明：；（2）若点在椭圆的内部，过点的直线交椭圆于、两点，为线段的中点，且.①求直线的方程；②求椭圆的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（2）①；②.【分析】（1）由可证得结论成立；（2）①设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；②将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，可求出的值，即可得出椭圆的方程.【详解】（1），，因此，；（2）①由（1）知，椭圆的方程为，即，当在椭圆的内部时，，可得.设点、，则，所以，，由已知可得，两式作差得，所以，所以，直线方程为，即.所以，直线的方程为；②联立，消去可得.，由韦达定理可得，，又，而，，，解得合乎题意，故，因此，椭圆的方程为.【总结提升】求解弦长的四种方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2或(y1－y2)2，代入两点间的距离公式．(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．提醒：利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在，可直接求交点坐标再求弦长．涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．【变式2】（2021·北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的焦点在y轴上，且抛物线上的点P(x0,4)到焦点F的距离为5.斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点.（1）求抛物线C的标准方程，及抛物线在P点处的切线方程；（2）若AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M，N两点（M，N位于直线l两侧），当四边形AMBN为菱形时，求直线l的方程.【答案】（1）；切线方程为或；（2）.【分析】（1）利用抛物线定义，结合已知即可求参数，写出抛物线标准方程，即可得P点坐标，利用导数的几何意义求P点处切线的斜率，即可写出切线方程.（2）设直线为，，，联立抛物线并整理，应用韦达定理求，，再根据中点公式求的中点，并写出的垂直平分线方程，利用菱形的对称性求N点坐标，由点在直线上求参数m，即可得直线l的方程.【详解】（1）依题意,设抛物线C：，由P到焦点F的距离为5，∴P到准线的距离为5，又P(x0,4)，∴由抛物线准线方程得：，即，则抛物线的标准方程为.∴，则，点P(±4,4)，∴，.∴(4,4)处抛物线切线方程为，即；(4,4)处抛物线切线方程为，即.综上，点处抛物线切线方程为或.（2）设直线的方程为，，，联立抛物线得：，消y得，.∴，，则，，即的中点为.∴的垂直平分线方程为.∵四边形AMBN为菱形，∴，，关于对称，则，又在抛物线上，∴，即，故直线的方程为.【重点难点突破】考点1直线和圆锥曲线的位置关系【典例3】（2021·浙江高三月考）已知抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为5.（1）求的值；（2）如图，已知为抛物线上过焦点的任意一条弦，弦的中点为垂直与抛物线准线交于点，若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由抛物线的定义可得，由此即可求解；（2）先设出直线：，与联立，再由根与系数的关系，结合垂直平分线的性质与点到直线的距离公式即可求解【详解】（1）抛物线（）的焦点为，准线方程为，由抛物线定义得：，所以.（2）由（1）得抛物线方程为设直线：，与联立，消去x，整理得：，设，，，有，则弦长，弦中点故弦的垂直平分线方程为令得，即故点P到直线的距离.所以所以，直线方程为【总结提升】1.研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．2.直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．3.直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．4.直线和圆锥曲线的位置关系利用代数方法判断，其中直线和双曲线的位置关系，还可以通过比较直线的斜率和渐近线斜率来判断.【变式3】（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线和圆，直线经过的焦点，自上而下依次交和于A，B，C，D四点，则的值为A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】因为抛物线的焦点为，又直线经过的焦点，设直线，由得，设，则由题意可得：，同理，所以.故选C考点2弦长问题和中点弦问题【典例4】（2021·西城区·北京育才学校高三月考）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，.（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程.【答案】（1）；（2）1，.【分析】（1）由顶点坐标、离心率以及椭圆参数的关系即可求椭圆方程；（2）由直线与椭圆关系，联立方程应用韦达定理得到交点横坐标数量关系，再利用弦长公式及点线距离公式表示出的面积，然后利用基本不等式即可求出三角形面积的最值及此时的直线方程.【详解】（1）由题意得，解得，∴所以椭圆C的方程为.（2）由得，.设，，则，，∴，又点到直线的距离为.所以的面积为，当且仅当即时，的面积有最大值为1，此时直线的方程为.【总结提升】处理中点弦问题的常用求解方法1．处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：2．解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意“如果点A，B关于直线l对称，则l垂直于直线AB且A，B的中点在直线l上”的应用．【变式4】（2021·河南高三开学考试（文））已知过的直线与抛物线交于，两点，为弦的中点，为坐标原点，直线与抛物线的另一个交点为，则两点、纵坐标的比值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先设出直线，与抛物线方程联立，利用韦达定理求得中点的坐标，并求出直线的方程，与抛物线联立，求得点的纵坐标，即可求得的范围.【详解】设直线，代入得，，，，直线，代入得，.故选：A【典例5】（2021·河南高三月考（理））已知抛物线的焦点为，过作一条直线与抛物线及抛物线的准线相交，交点从上到下依次为，，，若，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求得直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示焦点弦长.【详解】作垂直于准线，垂足为，根据抛物线的定义可知，，，，即，所以直线的斜率，设直线方程为，，，与抛物线方程联立，，得，所以焦点弦长.故选：C【特别提醒】1.中点坐标公式一个作用是可以利用“设而不求”技巧解题，其二是可以将未知点坐标和已知点坐标联系起来；涉及求范围问题，注意方程不等式思想的运用．2.涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.【变式5】（2021·河南（文））抛物线：的焦点为，过点且平行于轴的直线与线段的中垂线交于点，若点在抛物线上，则（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】若点在抛物线外部，由已知可得此种情况不存在；若点在抛物线内部，设线段的中点为，得，再由抛物线定义得可得答案.【详解】若点在抛物线外部，如下图，设线段的中点为，因为线段的中垂线是，所以，由抛物线定义，又等于点到准线的距离，而图中，所以点不在抛物线外部；若点在抛物线内部，如下图，设线段的中点为，，，因为线段的中垂线是，所以，再由抛物线定义得，解得或，所以时，，时，，故选：A.【典例6】（2021·全国高考真题（理））已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．（1）求；（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值；（2）设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值.【详解】（1）抛物线的焦点为，，所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，设点、、，直线的方程为，即，即，同理可知，直线的方程为，由于点为这两条直线的公共点，则，所以，点、的坐标满足方程，所以，直线的方程为，联立，可得，由韦达定理可得，，所以，，点到直线的距离为，所以，，，由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.【变式6】（2021·江西景德镇市·景德镇一中高三月考（理））已知椭圆的短轴长为，过下焦点且与轴平行的弦长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若、分别为椭圆的右顶点与上顶点，直线与椭圆相交于、两点，求四边形的面积的最大值及此时的值.【答案】（1）；（2）四边形的面积的最大值为，此时.【分析】（1）根据题意求出、的值，可得出椭圆的标准方程；（2）不妨设、且，可知，求出、，计算出点、到直线的距离，利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得四边形的面积的最大值及其对应的值.【详解】（1）由题意可得，则，将代入椭圆方程可得，则，得，由题意可得，所以，，因此，椭圆的方程为；（2）易知点、，直线的方程为，即.不妨设、且，，，则，设到直线的距离为，到直线的距离为，当且仅当时，等号成立，因此，四边形的面积的最大值为，此时.【学科素养提升】分类与整合思想1.分类整合思想的含义：分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合．2.分类与整合思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．3.简化分类讨论的策略:(1)消去参数;(2)整体换元;(3)变更主元;(4)考虑反面;(5)整体变形;(6)数形结合;(7)缩小范围等.4.分类讨论遵循的原则是:不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论.5.解题时把好“四关”.(1)要深刻理解基本知识与基本原理,把好“基础关”;(2)要找准划分标准,把好“分类关”;(3)要保证条理分明,层次清晰,把好“逻辑关”;(4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息,合理取舍,把好“检验关”.【典例1】（2021·全国高二专题练习）设，是椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（）A．，，