专题04圆与方程-2021-2022学年高二数学上学期期中考试好题汇编(人教A版2019)

专题04圆与方程考点一圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准圆心半径为r一般充要条件：圆心坐标：半径：1．（2020·北京市第十二中学高二期中）已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程．【详解】解：由题意可知，，的中点为，又圆的半径为，故圆的方程为．故选：B．2．（2021·北京牛栏山一中高二期中）已知点A的坐标是（1，0），点M满足|MA|=2，那么M点的轨迹方程是（）A．x2+y2+2x3=0 B．x2+y22x3=0 C．x2+y2+2y3=0 D．x2+y22y3=0【答案】A【分析】设出点的坐标，利用已知条件列出方程化简求解即可．【详解】解：设，点的坐标是，点满足，可得：，即：，所以M点的轨迹方程是.故选：A．3.（2020·黔西南州同源中学高二期中）圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是_________【答案】【分析】结合圆的标准方程即可得出结果.【详解】由题意知，圆的圆心为，半径为3，所以圆的标准方程为：.故答案为：4.（2020·上海徐汇·南洋中学高二期中）方程表示一个圆，则m的取值范围是_______【答案】【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得实数m的取值范围．【详解】方程，即表示圆，，求得，则实数m的取值范围为，故答案为：5.（2020·合肥市庐阳高级中学）（1）求过点，，且圆心在直线上的圆的标准方程.（2）已知圆C：，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为求圆的一般方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求得线段的垂直平分线方程，由此求得圆心坐标以及圆的半径，即而求得圆的标准方程.（2）设出圆心坐标，利用圆心的位置以及半径求得，由此求得圆的一般方程.【详解】（1）线段的中点为，线段的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，线段的垂直平分线方程为.，即圆心坐标为，半径为，所以圆的标准方程为.（2）圆心，∵圆心在直线上，∴，即.①又∵半径长，∴.由①②可得或又∵圆心在第二象限，∴，即.则.故圆的一般方程为.考点二点与圆的位置关系点与圆的位置关系理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外；③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内．1.（2020·青海湟川中学高二期中）过点可以向圆引两条切线，则的范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据方程表示圆，以及点在圆外，列不等式即可求解.【详解】因为表示圆，所以，解得：，若过点可以向圆引两条切线，则点在圆外，所以，解得，所以的范围是，故选：C.2.（2021·全国高二期中练习）圆上与点距离最大的点的坐标是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判断点（0，5）和圆的位置关系，进而通过数形结合找到距离最大值的位置，即在该点与圆心所确定的直线上，最后解出直线与圆的交点得到答案.【详解】因为，所以点在圆外，过圆心与点的直线的斜率，则直线方程为：.联立或,由两点间的距离公式，点（3，2）与点（0，5）之间的距离为：，点（1，4）与点（0，5）之间的距离为：.故选：B.3.（2021·全国高二期中练习）已知圆的方程为，要使过定点的圆的切线有两条，求实数a的取值范围.【答案】【分析】由过点的圆的切线有两条，可知点A必在圆外，由点和圆的位置关系，列出不等关系，即得解【详解】将圆的方程配方得，圆心的坐标为，半径，其中，若过点的圆的切线有两条，则点A必在圆外，即.化简得.由，解得，故a的取值范围是.考点三圆与圆的位置关系两圆圆心距与两圆半径之间的关系与两圆的位置关系设圆O1半径为r1，圆O2半径为r2相离外切相交内切内含图形量的关系1.（2020·四川省泸县第二中学高二期中）已知圆和圆，则圆与圆的位置关系为（）A．外切 B．内切 C．相交 D．外离【答案】A【分析】根据圆的方程确定圆的圆心和半径，再根据两圆圆心间的距离与两圆半径的大小关系判断两圆的位置关系.【详解】因为圆，所以，半径为5,因为圆，所以，半径为5，由于，等于两圆半径之和，所以圆与圆外切.故选：A2.（2021·全国高二期中）（多选题）圆与圆的公共弦长为，则实数的值可能为（）A． B． C． D．【答案】CD【分析】先求得公共弦所在直线的方程为，结合弦长公式，求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，列出方程即可求解.【详解】由圆和圆，两式相减，可得公共弦所在直线的方程为，因为两圆的公共弦长为，且圆的圆心为，半径为2，设圆心到直线的距离为的距离，可得，又由圆心到直线的距离为，即，解得或.故选：CD.3.（2021·安徽高二期中）以圆：与圆：相交的公共弦为直径的圆的方程为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先两圆相减，求公共弦所在的直线方程，和圆心连线的方程联立求圆心，再根据弦长公式求半径，最后表示圆的方程.【详解】∵圆与圆，∴两圆相减可得公共弦方程为，即又∵圆的圆心坐标为(−2,0),半径为；圆的圆心坐标为(−1,−1)，半径为1，∴的方程为∴联立可得公共弦为直径的圆的圆心坐标为(−1,−1)，∵(−2,0)到公共弦的距离为：，∴公共弦为直径的圆的半径为：，∴公共弦为直径的圆的方程为故选：B.4.（2020·江西宜春九中高二期中）已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】根据两圆有三条公切线得到两圆的位置关系，从而得到满足的等式，再根据的几何意义求解出的最小值.【详解】因为圆与圆有三条公切线，所以圆与圆外切，因为，，，，所以，所以，所以的轨迹是圆心在原点、半径为的圆，又因为表示与的距离，所以.故选：B.5.（2021·全国高二期中）已知两圆，．（1）求证：此两圆相切，并求切点坐标；（2）求过点且与两圆相切于上述切点的圆的方程．【答案】（1）证明见解析，；（2）．【分析】（1）求出两圆的圆心和半径，比较圆心距等于半径之和即可求证两圆相切；两圆方程相减可得公切线方程，再求出直线的方程，联立两条直线的方程即可求得切点坐标；（2）由题意可得所求圆的圆心必在直线上，设圆心为，再结合点和切点到圆心的距离相等列方程可得圆心的坐标，进而可得半径，即可求解.【详解】（1）由圆可得：，由圆可得：，因此两圆心分别为，，两圆的半径，圆心距，所以两圆外切．由两式相减得，易知直线经过切点，且的方程为，即，由解得所以切点坐标为．（2）与两圆切于点的圆的圆心必在已知两圆的圆心连线：上，设圆心为，则，解得，所以，故所求圆的方程为．1.（2020·永丰县永丰中学高二期中）圆关于直线对称的圆的方程是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出圆心关于直线对称的圆的圆心，即可求解.【详解】圆的圆心为，半径，则不妨设圆心关于直线对称的圆的圆心为，半径为，则由，解得，故所求圆的方程为.故选：D2.（2020·辽宁大连市·高二期中）圆与圆的位置关系为（）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离【答案】A【分析】根据圆心距与半径的关系可判断.【详解】圆，即，表示以为圆心，半径等于1的圆.圆，表示以为圆心，半径等于3的圆.两圆的圆心距，，故两个圆相内切.故选：A.3.（2018·四川雅安中学高二期中）已知实数x，y满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，则，再求函数的取值范围即可【详解】解：设，则因为，所以的取值范围为，故选：C4．（2020·浙江高二期中）已知圆C：上存在两个点到点的距离为，则m可能的值为（）A．5 B．1 C． D．【答案】C【分析】根据题意可知以为圆心，以为半径的圆与圆C有两个交点，由两圆相交满足：，列式求解即可.【详解】以为圆心，以为半径的圆：，圆C：圆心为，半径，圆心距，由题意可得两圆相交，即，解得.故选：C5.（2021·浙江温州·高二期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼期圆．已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值可以为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】设动点P的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程，由点P是圆C：上有且仅有的一点，可得两圆相切，进而可求得r的值．【详解】设动点，由，得，整理得，又点是圆：上有且仅有的一点，所以两圆相切.圆的圆心坐标为，半径为2，圆C：的圆心坐标为，半径为r，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，，得，当两圆内切时，，，得．故选：A.6．（2020·永丰县永丰中学高二期中）已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）．A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】首先根据题意得到若圆上存在点，使得，则以为直径的圆与圆有交点.从而得到圆与圆内切时，取得最大值，再求最大值即可.【详解】圆，圆心，半径.若圆上存在点，使得，则以为直径的圆与圆有交点.如图所示：当圆与圆内切时，取得最大值..故选：D7．（2020·安徽立人中学高二期中）已知点，Q为圆上一点，点S在x轴上，则的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】本题目是数形结合的题目，根据两点之间线段最短的原则，可以将转换为，连接，找到点的位置，从而求出线段和的最小值【详解】将圆方程化为标准方程为：，如下图所示：作点关于x轴的对称点，连接与圆相交于点，与x轴相交于点，此时，的值最小，且，由圆的标准方程得：点坐标为，半径，所以，，所以最小值为9故选：C8．（2019·安徽滁州·高二期中）已知圆，点，分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用圆的方程求出圆心坐标和半径，利用对称性和三点共线求最值的方法即可得出结果.【详解】解：由题意可知，圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为，要使得取最大值，需的值最大，的值最小.其中的最大值为,的最小值为则的最大值为点关于轴的对称点，，所以的最大值为.故选：C.9．（2021·广东广州市第二中学高二期中）在平面直角坐标系中，已知圆：，若直线：上有且只有一个点满足：过点作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为（）A．1 B． C．3 D．7【答案】C【分析】根据四边形PMCN为正方形可得，转化为圆心到直线的距离为可求得结果.【详解】由可知圆心，半径为，因为四边形PMCN为正方形，且边长为圆的半径，所以，所以直线：上有且只有一个点，使得，即，所以圆心到直线的距离为，所以，解得或（舍）.故选：C10．（2020·青海西宁市·湟川中学高二期中）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过的定点（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，可得以为直径的圆的方程，两圆方程相减，可得其公共弦，化为，由可得结果.【详解】由可得：，因为点为直线上一动点，设，是圆的切线，，是圆与以为直径的两圆的公共弦，的中点为，可得以为直径的圆的方程为：，①又，②①与②相减得：，化为，由可得，可得总满足直线方程，即过定点，故选：B.11．（2020·浙江高二期中）已知点Q是圆上任意一点，点，点，点P满足，则的最小值为___________.【答案】【分析】根据题意易求出点的轨迹为圆，轨迹方程为，再根据两圆的位置关系即可求出的最小值．【详解】设，由可得，，化简得，，所以点的轨迹为圆，圆心坐标为，点Q在圆上，两圆的圆心距为，所以两圆相离，故的最小值为．故答案为：．12．（2020·江苏金陵中学）在平面直角坐标系中，若圆和圆关于直线对称，则直线的方程为________.【答案】【分析】直线为两个圆心的中垂线，分别求圆心，利用点斜式求解即可.【详解】若圆和圆关于直线对称，则直线为两个圆心的中垂线，的圆心为，的圆心为.，中点为可得直线为，整理得：.故答案为：.13．（2021·台州市书生中学高二期中）已知实数、满足方程．求：的取值范围为_______；的最小值为________；的取值范围为__________.【答案】【分析】设，可得出直线与圆有公共点，可求得的取值范围；设，可得出直线与圆有公共点，可求得的取值范围；设，可得出圆与圆有公共点，可求得的取值范围，即可求得的取值范围.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为.设，可得，则直线与圆有公共点，则，解得，则的取值范围为；设，可得，则直线与圆有公共点，则，解得，则的最小值为；设，由于，则原点在圆外，因为圆与圆有公共点，圆心距为，故，解得，故.即的取值范围为.故答案为：；；.14．（2018·珠海市第二中学高二期中）已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为_____________．【答案】【分析】根据两圆外切可得(a＋b)2＝(2＋1)2并结合基本不等式计算即可.【详解】由两圆外切可得圆心(a，－2)，(－b，－2)之间的距离等于两圆半径之和，即(a＋b)2＝(2＋1)2，即9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以ab≤，当且仅当a＝b时取等号，即ab的最大值是．故答案为：15．（2019·安徽铜陵一中高二期中）若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为，则a＝________.【答案】1【分析】先求得相交弦所在直线方程，然后利用勾股定理列方程，解方程求得的值.【详解】将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为.圆的圆心为，半径为.到直线的距离为：，解得.故答案为：16．（2019·浙江台州·高二期中）两圆相交于两点和，两圆圆心都在直线上，且、均为实数，则__________．【答案】【分析】设两圆交点为和，根据题意可知：直线是线段的垂直平分线，故可求得所在直线斜率，进而求得，在利用中点公式和的值求出线段中点，代入，即可求出的值，即可得的值.【详解】由题意可知：直线时线段的垂直平分线，又直线的斜率为，则，且，解得，则，故答案为：17．（2020·山东济宁市兖州区教学研究室高二期中）在①，；②，；③，中任选一个，补充在下列问题中，并解答.已知，的中点坐标是，且______.（1）求直线的方程；（2）求以线段为直径的圆的方程.【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.【分析】先分别选①②③，利用中点坐标公式求出，两点的坐标，（1）先利用，两点的坐标，求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程；（2）求出线段的中点坐标，就是圆的圆心，再利用两点间的距离公式求出的长度，就是圆的直径，从而可求出圆的方程【详解】若选①，则，所以，；若选②，则，所以，；若选③，则，所以，；（1）设直线上的点的坐标为，，，则有，化简得.（2）由，所以圆的半径，圆心坐标为，所以圆的方程为.18．（2020·山东潍坊市·高二期中）已知圆：过点.（1）求圆的标准方程及其圆心、半径；（2）若直线分别与轴，轴交于、两点，点为圆上任意一点，求面积的取值范围.【答案】（1），圆心为，，半径为（2），【分析】（1）把点的坐标代入圆的方程求得值，可得圆的方程，配方化为圆的标准方程，求得圆心坐标与半径；（2）由题意得与的坐标，求得，再求出圆心到直线的距离，可得点到直线的距离的最小值与最大值，则面积的取值范围可求．【详解】（1）由题意，，解得；圆的方程为，化为标准方程：，圆心为，，半径为；（2）由题意得，，，，，圆心到直线的距离，点到直线的距离的最小值为，最大值为．的面积的最小值为，最大值为．面积的取值范围是，．19．（2020·青海西宁市·湟川中学高二期中）已知圆与圆相外切，切点为，过点的直线与圆交于点，，线段的中点为.（1）求