55指数对数函数的应用导学案

第五章指数函数与对数函数5.5指数、对数函数的应用预习探究知识点1指数型函数模型形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0且a≠1)的函数是指数型函数模型．思考：设原有量为N，每次的增长量为p，经过x次增长，该量增长到y，则x，y之间满足的关系式是什么？提示：y＝N(1＋p)x(x∈N)．知识点2二种函数的性质及增长速度比较指数函数对数函数解析式y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)单调性在(0，＋∞)上单调递增图象(随x的增大)逐渐与y轴平行逐渐与x轴平行增长速度(随x的增大)y的增长速度越来越快y的增长速度越来越慢考点类析题型一指数型函数的实际应用例1随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为(B)A．3000×1.06×7元 B．3000×1.067元C．3000×1.06×8元 D．3000×1.068元【解析】由题意知，2021年底该地区农民人均收入为3000×(1＋6%)7＝3000×1.067，故选B．例2调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/ml.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过__________小时后才可以驾驶机动车．(B)A．1 B．2C．3 D．4【解析】设n小时后才可以驾车，据题意得0．8(1－50%)n≤0.2，∴0.5n≤eq\f(1,4)，∴n≥2，即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车，故选B．[归纳提升]关于指数型函数模型设原有量为N，每次的增长(衰减)率为p，经过x次增长(衰减)，该量增长到y，则y＝N(1±p)x(x∈N)．【变式】已知某种产品的生产成本每年降低25%.若该产品2017年底的生产成本为6400元/件，那么2020年底的生产成本为2_700元/件．【解析】2020年底生产成本6400×(1－25%)3＝2700元．题型二对数函数在实际问题中的应用例3某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq\f(1,4)，问至少应过滤多少次，才能使产品达到市场要求？(参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)【解析】设过滤y次后杂质含量为x，则x＝0.02(1－eq\f(1,4))y，即50x＝(eq\f(3,4))y，则y＝logeq\s\do9(\f(3,4))(50x)，令x＝0.001，则y＝logeq\s\do9(\f(3,4))0.05＝logeq\s\do9(\f(3,4))eq\f(1,20)＝－eq\f(lg20,lg\f(3,4))＝eq\f(lg20,lg4－lg3)＝eq\f(1＋0.3010,2×0.3010－0.4771)≈10.42，所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求．[归纳提升]建立对数函数模型解决应用问题对数运算是求指数的运算，因此要建立对数函数模型，可设指数变量为y，利用指数与对数的互化得到对数函数解析式，再利用已知数据或计算工具计算解题．【变式】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，求该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)．【解析】设经过y年后公司的研发资金为x，则x＝130(1＋12%)y，即eq\f(x,130)＝1.12y，所以y＝log1.12eq\f(x,130)，令x＝200，所以y＝log1.12eq\f(200,130)＝log1.12eq\f(2,1.3)＝eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)≈3.8，所以到2021年，公司研发资金开始超过200万元．当堂自测：1．下列说法正确的个数是(C)(1)函数y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x的衰减速度越来越慢．(2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．(3)若a>1，n>0，对于任意x0∈R，一定有ax0>xeq\o\al(n,0).A．0 B．1C．2 D．3【解析】对于(1)，由函数y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x的图象可知其衰减速度越来越慢，正确；对于(2)，一次函数的图象是直线，因此其增长速度不变，正确；对于(3)，如23<32，错误．故选C．2．专家预测，在我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为(D)【解析】由题意可知y＝(1＋10.4%)x，故选D．3．某地为了保护水土资源，实行退耕还林，如果2015年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2020年需退耕(B)A．8×1.14万公顷 B．8×1.15万公顷C．8×1.16万