专题03小题中函数的单调性奇偶性和对称性的应用

专题03小题中函数的单调性、奇偶性和对称性的应用目录TOC\o"13"\h\z\u类型一：利用函数的奇偶性求参数值 1类型二：利用函数的奇偶性解抽象函数不等式 2类型三：函数的单调性、奇偶性和周期性的综合应用 4类型四：利用函数的周期性求函数值 6类型一：利用函数的奇偶性求参数值典型例题：已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=e【答案】2试题分析：根据给定条件，确定ln2>0，再借助奇函数性质及给定值列式计算作答详细解答：函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x于是f(ln2)=-所以实数a的值为-2故答案为：-题型专练：1．若fx=ln13A．ln13 B．-ln33 C【答案】A【分析】根据奇函数的定义结合对数运算求解即可.【详解】由题意得13-2则fx的定义域为x|x所以f0=ln当n=ln1其定义域为x|f=ln13故n=故选：A.2．若f(x)=lnmA．-ln33 B．ln33 C【答案】A【分析】根据奇函数的定义结合对数运算求解.【详解】若f(x)=ln则ln=lnm可得12m-4=0lnm故选：A.3．“φ=-π2”是“函数y=sinA．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根据充分必有条件的定义求解.【详解】若φ=-π2，则若y=sinx+φ是偶函数，对于任意的x，有sin-2sinxcosφ=0，cosφ=0,φ所以“φ=-π2”是“y故选：A.4．若fx=xx+1A．1 B．0 C．1 D．1或1【答案】A【分析】根据奇函数的定义，取特殊情况f-1+f1【详解】由题得：f-1+故选:A.5．已知定义在R上的偶函数fx=x-m+1-2，若正实数a、A．95 B．9 C．85 D【答案】A【分析】根据偶函数的对称性可得m=1，由题意分析可得a+2【详解】若函数fx为偶函数，则f即x-m+1整理得m-1x=0，故∴fx若正实数a、b满足fa+f2b可得1a当且仅当2ba=∴1a+2故选：A.6．已知f(x)=1+a【答案】2【分析】利用奇函数的定义f(x)=-f【详解】由题意得f(x)=-f(-7．已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(【答案】-【分析】根据给定条件，确定ln2>0，再借助奇函数性质及给定值列式计算作答.【详解】函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x于是f(ln2)=-f(-ln2)=-所以实数a的值为-2故答案为：-8．若奇函数f(x)=x【答案】6【分析】根据函数为奇函数，求得a的值，再代入求值即得答案.【详解】依题意f(-x3+(a可得a-5=0，即a=5则f(1)=故答案为：6类型二：利用函数的奇偶性解抽象函数不等式典型例题：已知fx是定义在R上的奇函数，f3=0，若∀x1，x2∈0,+∞A．-∞,-3∪3,+C．-3,0∪3,+【答案】A试题分析：根据给定条件，确定函数fx的单调性，再变形不等式，利用单调性分段求解作答详细解答：因为∀x1，x2∈(0,+∞)且x1因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(3)=0，则f(-3)=0由f(x)+2当x>0时，由f(x)>0=f(3)，得x>3所以原不等式的解集为(-∞故选：A题型专练：9．设函数fx在R上存在导数f'x，gx=fx-sinx是偶函数，在0,+A．-∞,πC．π4,π【答案】A【分析】根据题意可得gx在0,+∞上单调递增，在-∞,0上单调递减，将不等式等价转化为gt<【详解】在0,+∞上有f'x>cos故gx在0,+∞上单调递增，根据偶函数的对称性可知，gx在由fπft即gt<g即t2<π故选：A.10．已知偶函数fx与其导函数f'x的定义域均为R，且f'x+eA．-∞,2 BC．2,+∞ D．【答案】B【分析】由偶函数的定义结合导数可得出f'x=-f'-x，由已知可得出f'x+e-x+x=【详解】因为fx为偶函数，则fx=f因为函数f'x+e联立①②可得f'令gx=f'x所以，函数gx在R上为增函数，即函数f'x故当x>0时，f'x>f由f2a-所以，2a-1<a故选：B.11．已知fx是定义在R上的奇函数，f3=0，若∀x1，x2∈0,+∞且A．-∞,-3∪3,+C．-3,0∪3,+【答案】A【分析】根据给定条件，确定函数fx的单调性，再变形不等式，利用单调性分段求解作答【详解】因为∀x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(3)=0，则f(-3)=0由f(x)+2当x>0时，由f(x)>0=f(3)，得x>3所以原不等式的解集为(-∞,-3)∪(3,+∞).故选：A12．函数fx是定义在R上的奇函数，且在0,+∞上单调递增，f1=0，则不等式A．-∞,0∪C．-∞,0∪【答案】D【分析】利用奇函数的性质及条件，得到fx的单调性，再结合函数的对称性、f1=0和【详解】因为函数fx是奇函数，且在0,+∞上单调递增，所以函数fx在又因为f1=0，所以f-1=0，不等式xf即x>00<x-1<1故选：D．13．函数fx是定义在R上的奇函数，且在0,+∞上单调递增f1=0，则不等式A．-∞,0∪C．-∞,0∪【答案】B【分析】根据函数的奇偶性及单调性可得函数的正负情况，进而可解不等式.【详解】因为函数fx是奇函数，且在0,+∞所以函数在-∞,0又因为f1=0，所以不等式xfx<0等价于x>0所以-1<x<0故选：B.14．已知fx是定义在R上的奇函数，对任意正数x，y，都有fxy=fx+fy-12A．2,+∞ B．C．-14,0【答案】B【分析】通过条件，利用定义法证明抽象函数f(x)的单调性，通过赋值，求得f-【详解】令x=y=1，则f令x=2，y=12，则f1不妨取任意正数x2>=f因为x22x1>12，所以f又fx是定义在R上的奇函数，故fx在区间令x=y=令x=12，y∴f-又因为efx-1>1=e0，即fx>1故选：B.15．已知偶函数fx的定义域为-π2,π2，其导函数为f'x，当0≤xA．-π3,C．-π2,-【答案】C【分析】构造函数g(x【详解】构造函数g(g(所以函数g(x)=因为函数fx为偶函数，所以函数g且函数g(x)=f(x)因为x∈-π关于x的不等式fx>2fπ3所以g(x)>g(π3故选:C.16．已知函数fx是定义在R上的偶函数，fx在0,+∞上单调递减，且f3【答案】(-1,0)∪(5,+∞)【分析】由题意和偶函数的性质可知函数f(x)在[0,+∞)上为减函数，在(-∞,0]上为增函数，结合f(3)=f(-3)=0【详解】因为函数f(x)是定义在R所以f(x)由f(3)=0，得ff(x-2)x有x-2<0x当x>0时，f有x-2>0x综上，不等式f(x-故答案为：(-1,0)∪(5,+∞).17．已知函数fx满足：对于任意x1,x2∈-∞,+∞，且x1【答案】-∞【分析】根据题目条件构造函数，然后结合函数的奇偶性和单调性，逐步转化，即可求得不等式的解集.【详解】因为对于任意的x1,x2∈不妨设x1>x2，则所以gx=f又y=fx是定义域为R的奇函数，所以f因为fa>2a，所以f因为gx=f所以a<0，即不等式fa>2a的解集为aa故答案为：-∞类型三：函数的单调性、奇偶性和周期性的综合应用典型例题：已知函数fx，gx的定义域均为R，g'x为gx的导函数，且fx+g'A．0 B．1 C．2 D．4试题分析：根据已知，利用导数、函数的奇偶性、周期性，建立方程组求解.详细解答：根据已知，利用导数、函数的奇偶性、周期性，建立方程组求解.【详解】依题意，因为gx为定义在R为偶函数，所以gx=所以g'x为奇函数且g'0=0令x=2，则有f(2)+g因为fx-g又g'x=-由fx+g所以fx是以4为周期的周期函数，所以f所以f2022+2=4，故A，B，故选：D.题型专练：18．定义在R上的函数fx满足fx+2=-fx，且fx-1A．0 B．18 C．-18【答案】A【分析】由fx+2=-fx和fx-12为偶函数，可知【详解】因为fx+2=-fx又fx-12为偶函数，所以则f2023故选：A.19．已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)为奇函数且f(6-x)=f(A．10 B．10 C．32 D．【答案】A【分析】根据函数f(x)的奇偶性与对称性得函数的周期，再根据已知区间内的解析式求得a,【详解】由f(x+1)为奇函数可得：f(x+1)=-f(-x+1)，即f由f(6-x)=f(x由①②可得：f(6-x)=-f(2-x)，即f(x所以f(5)=f(1)=2联立2a+b=0a+b=-1故选：A.20．已知函数fx,gx的定义域均为R，且fx+f2-x=2,gA．5 B．4 C．3 D．0【答案】C【分析】依题意可得g2-x=g2+x，结合已知可得f-x=f【详解】∵gx的图象关于直线x=2对称，∴由gx=fx-∴f-x-2=fx∴f-(2-x由fx+f2-x∴fx+2+f所以fx+2=fx所以fx的周期为4∵g4=f4-2∵fx+f2-x=2f2022故选：C．21．定义在R上的奇函数fx满足f(x)=f(2-x)，当A．-3 B．-1 C．1 D【答案】B【分析】先求出函数的周期，再根据对称性求解.【详解】因为fx是定义在R上的奇函数，所以f0=又fx=f2-x，所以fx=-f∴f2023=故选:B.22．已知函数fx，gx的定义域均为R，g'x为gx的导函数，且fx+g'A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【分析】根据已知，利用导数、函数的奇偶性、周期性，建立方程组求解.【详解】依题意，因为gx为定义在R为偶函数，所以gx=所以g'x为奇函数且g'0=0令x=2，则有f(2)+g因为fx-g又g'x=-由fx+g所以fx是以4为周期的周期函数，所以f所以f2022+2=4，故A，B，C故选：D.23．已知函数fx及其导函数f'x定义域均为R，满足f32+x-f32A．0 B．3 C．4 D．1【答案】D【分析】根据题设知g'(x)关于(3,0)、x=32对称且g'(3)=0，即可求g'【详解】由g'3-x关于原点对称，则g(3-x所以g(x)关于x=3对称，g'又f'32+x+f综上，g(6-x)=g(所以g(6-32)+g又g'(x)-g'(3-所以g'(x所以g'故选：D24．已知定义在R上的函数fx满足fx+2=-fA．fx的周期为2 B．fC．f0=0 D【答案】C【分析】由函数的奇偶性对称性与周期性得概念直接判断各选项.【详解】由fx+2=-f2-x，得所以fx+6=-fx+4=由fx+2=-f2-x可知fx由fx+3=f3-x知fx进一步可知fx图象的对称轴方程为x=m（m为奇数），所以ffx的对称中心为点n,0（n为偶数），无法得到f1故选：C.25．函数fx与gx的定义域为R，且fxgx+2=4,f(xA．fx的图像关于直线x=-1C．gx的一个周期为4 D．gx的图像关于点【答案】AC【分析】根据条件可得f-x-2=fx，即可判断A，然后可得fx【详解】A选项：由fxg-x=4所以f-x-2=B选项：由fx的图像关于点0,2对称，得f-x+f所以fx-2+f即fx的一个周期为4因为f0所以k=12024C选项：由fx=f则fx+4g-x-4=4D选项：取fx=sin与gx的图像关于点0,2对称矛盾，D故选：AC.26．已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，f(xA．f(xB．fC．kD．方程f(x)=cos【答案】AC【分析】利用对称性证明选项A正确；利用函数的周期得到f(2023)=0，即可判断选项B；利用周期性证明k=1100[k⋅f(k)]=-50【详解】因为f(x+2)为偶函数，所以f又f(可得f(2-故f(x)的图象关于点(1,0)f(故f(x)根据题意，f(0)=-1,故f(2023)=f(4×505+3)=(4m+1)f(4m故k=1100[y=cosπ4x是周期函数，最小正周期是8，由π4x=kπ方程f(x)=cosπ4在同一坐标系内作出f(x)与y可知x1+x由图易知f(x)在[-2,6],[6,14],⋯,[30,38]上的三个零点之和构成首项为4故f(x)=cosπ4x在区间故选：AC【点睛】方法点睛：零点问题的求解常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（作出函数f(x)的图象分析判断）；（3）方程+图象法（令f(x)=0得到g27．已知函数fx及其导函数gx的定义域均为R．f2x=f4-2x，fxA．fx的图象关于xB．gxC．gD．不等式gex【答案】BCD【分析】根据fx=f4-x可判断A,求导即可根据f'x=gx判断B【详解】由f2x=f4-2x可得fx由fx+f-x=0得f'x-由fx=f4-x可得f'x=-f'4-由gx为偶函数且gx+gx+4=0又当x∈2,4时，g'x<0故结合gx的性质可画出符合条件的g由性质结合图可知：当-1+8k≤由g1=1得gex当k<0且k∈Z当k=0时，-1≤ex当k>0且k∈Z时，由综上可得gex≥1的解集为-∞故选：BCD【点睛】本题考查了函数性质的综合运用，题目综合性较高，要对函数基本性质比较熟练，可根据性质利用图象求解问题.对于函数的性质综合运用题目可从以下几个方面解题.(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．28．已知fx是定义在R上的函数，fx-f-x=0，且满足fA．f1=0 B．fC．fx的图象关于点1,0中心对称 D．【答案】ACD【分析】由fx+1为奇函数可得f-x+1=-fx+1，取x=0【详解】因为fx所以f-所以f-所以f1=0，因为当x∈0,1时，所以f0因为f-所以f2=-f所以2不是fx故B错误；因为fx所以函数fx所以fx的图象关于点1,0中心对称，C由f-x+1可得fx所以fx所以函数fx为周期函数，周期为4所以f2023又当x∈0,1时，所以f20232=-cos故选：ACD.29．已知函数fx满足：fx≠0,A．fxB．fx是周期函数且最小正周期为C．fD．fx的图象关于直线x【答案】BD【分析】根据赋值法可得f(0)=12判断A，令s=t+2可得f(t+1)=f(t【详解】令s=t=1，则f1f0=令s=t+2，则有f∴f(t故f(t+6)+f(t+3)=0，两式相减可得f∵f(t+2)=f(t+3)+f(t+1)，∴f(1)=f(2)+f令s=x,t=-所以f(x)=f(-又函数f(x)为偶函数，所以f所以函数图象关于直线x=3对称，故D正确故选：BD【点睛】关键点点睛：首先根据fs+t2fs30．定义在R上的函数fx满足fx+3+fx+1=fA．2是fx的一个周期 B．C．fx的图象关于x=1对称 D【答案】BCD【分析】根据题意推得fx+3=f(x-1)，即fx+4=f(x)，可判定A不正确；令x=-1，求得f0=0【详解】因为∀∈R，fx+3所以fx+3=所以fx是周期为4的周期函数，所以A在fx+3+fx+1=因为f2-x=f4+x=因为f0=0，所以所以f2020=f由函数fx的对称性与周期性可得f因为f(x+3)+所以f7则f1结合函数fx是以4为周期的周期函数，可得k=1202故选：BCD.31．已知函数fx的定义域为R，若fx+1-2【答案】2【分析】推导出函数fx为周期函数，确定该函数的周期，计算出f1的值，结合f1+【详解】因为fx+1-所以，f1+在等式f1+x+f1-x=4又因为f1-x=f所以，fx+3由①②可得fx+5=所以，函数fx为周期函数，且该函数的周期为4所以，f2023故答案为：2.类型四：利用函数的周期性求函数值典型例题：已知函数fx是定义在R上的奇函数，且fx的图象关于x=1对称．若f1=3A．3 B．2 C．0 D．50【答案】C试题分析：根据奇函数的性质得到f0=0和f-x=-fx，再结合函数对称性得到fx=f详细解答：因为函数fx是定义在R所以f-x=-又fx的图象关于x=1对称，则即fx=-fx-2在①中，令x→x+2则fx=fx+4，所以函数f则有f1所以f==12×0+f故选：C.题型专练：32．设f(x)是定义域为R的偶函数，且f2+xA．-12 B．12 C．-【答案】B【分析】利用条件和偶函数的性质，得出函数f(x)的周期为【详解】因为f(x)是定义域为所以f(x)所以f2023故选：B.33．已知定义在R上的函数fx满足fx+3=-fx，A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由题意推出函数fx的周期以及满足等式fx+f【详解】因为fx+3=-fx，所以f又gx=fx-令x=0，得2f0所以f198故选：C.34．已知定义在R上的函数fx满足fx=2-f-x，且函数fx+1是偶函数，当A．925 B．1625 C．3425【答案】C【分析】由函数f(x+1)是偶函数，可得函数f(x)的图像关于直线x=1对称，从而有f(-x)=f(x+2)【详解】因为函数f(x+1)是偶函数，所以f因为f(x)=2-f(-所以f(x)=f(所以f(因为f(35故选：C.35．已知fx是周期为4的奇函数，f3=2，则A．6 B．-6 C．2 D．【答案】D【分析】根据函数的周期性和奇偶性计算即可.【详解】fx是周期为4∴f故选：D36．已知函数fx是定义在R上的奇函数，且fx的图象关于x=1对称．若f1=3A．3 B．2 C．0 D．50【答案】C【分析】根据奇函数的性质得到f0=0和f-x=-fx，再结合函数对称性得到fx=f【详解】因为函数fx是定义在R所以f-x=-又fx的图象关于x=1对称，则即fx=-fx-2在①中，令x→x+2则fx=fx+4，所以函数f则有f1所以f==12×0+f故选：C.37．定义在R上的函数fx满足1+fxfx+1+1=0A．f0=-12 BC．fx在2,52上单调递增【答案】ABD【分析】给x赋值可求得f(0)的值可判断A项，运用函数周期性定义可判断B项，求得当x∈2,52时，f(【