专题13复数的三角表示

专题13复数的三角表示1.复数的三角表达式一般地，任何一个复数都可以表示成的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．注意：复数三角形式的特点：模非负，角相同，余弦前，加号连两个用三角形式表示的复数相等的充要条件它们的模与辐角的主值分别相等复数的辐角以x轴的正半轴为始边、向量所在的射线为终边的角，叫做复数的辐角。辐角的主值:,记作：将复数的代数形式转化为三角形式的步骤1.求出模；2.确定辐角的主值；3.写出其三角形式2.复数三角形式的乘除法及其几何意义设的三角形式分别是：乘法除法公式简记模数相乘，幅角相加模数相除，幅角相减几何意义把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是．考点一复数三角形式1.复数代数形式表示成三角形式2.复数三角形式的概念考点二复数三角形式的乘除运算1.复数三角形式乘法运算及几何意义2.复数三角形式除法运算及几何意义考点一复数三角形式1.复数代数形式表示成三角形式例1．（1984·全国·高考真题）复数的三角形式是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据对应象限角的三角函数值及诱导公式，写出复数的三角形式.【详解】由，则.故选：A练习1．（2023春·全国·高一专题练习）（多选）以下不是复数的三角形式是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．【详解】解：，所以B正确，而，故C正确.故选：AD练习2．（2023·全国·高一专题练习）将复数化为三角形式：______．【答案】【分析】根据复数的三角表示的定义计算即可.【详解】解：复数中，，设为复数的辐角主值，又所以.故答案为：.练习3．（2023·全国·高一专题练习）是不是复数的三角形式？如果不是，将它表示成三角形式．【答案】不是三角形式，三角形式表示为.【分析】根据三角形式的定义判断，再根据三角形式的结构确定辐角主值即可求解.【详解】因为三角形式是形如的形式，所以不是三角形式，因为，且，所以，即复数的三角形式为.练习4．（2023春·全国·高一专题练习）将下列复数化为三角形式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】求出各复数的模和辐角，化简成的形式即可得解.【详解】（1）（2）（3）（4）.2.复数三角形式的概念例2．（1991·全国·高考真题）复数的辐角的主值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可得，进而即得.【详解】因为，所以复数的辐角的主值是.故选：C.练习1．（2001·全国·高考真题）已知复数，则是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】应用复数除法可得，根据其对应点确定辐角的范围并求出其大小.【详解】由题设，，所以复数对应点为，故辐角在第四象限，且正切值为，则.故选：B练习2．（2023·全国·高一专题练习）已知复数和的辐角主值分别为，则__________．【答案】1【分析】由题设条件可得，代两角和的正切公式即可求解【详解】由题意，复数和的辐角主值分别为，则，所以故答案为：练习3．（2023春·全国·高一专题练习）已知复数，若复数z满足，则复数z的辐角主值为___________.【答案】##【分析】根据复数的除法运算求出复数，再化为三角形式，即可得出答案.【详解】解：因为，，所以，所以复数z的辐角主值为.故答案为：.练习4．（2022·高一课时练习）求下列复数的模和辐角主值.(1)；(2).【答案】(1)复数z的模为32，辐角主值为(2)复数的模是，辐角主值为【分析】直接求出复数的模，然后根据其对应的点可得辐角主值.（1）（1），∴复数z的模为32，辐角主值为.（2），则复数的模.设辐角为，则，∵点在第四象限，∴，，∴.考点二复数三角形式的乘除运算1.复数三角形式乘法运算及几何意义例3．（2023·全国·高一专题练习）复数的三角形式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由复数三角形式的乘法运算可直接得到结果.【详解】.故选：D.练习1．（2023春·全国·高一专题练习）计算的值是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据复数的三角运算公式运算即可.【详解】因为所以，所以，故选：B.练习2．（2022·高一课前预习）若，则（

）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【分析】根据复数乘方的三角运算得到的三角形式，即可确定辐角.【详解】由，所以60°.故选：B练习3．（2023·全国·高一专题练习）计算：（

）．A．； B．；C．； D．．【答案】D【分析】首先写成复数的三角形式，再利用乘方公式，即可化简求值.【详解】设，所以.故选：D练习4．（2022春·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考阶段练习）已知是虚数单位，复数满足，则___________.【答案】【分析】利用复数的三角形式求解.【详解】解：因为，所以，，所以，故答案为：2.复数三角形式除法运算及几何意义例4．（2023·全国·高一专题练习）设，则复数的辐角主值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解．【详解】解：，因为，所以，所以，所以该复数的辐角主值为．故选：B.练习1．（2023春·全国·高一专题练习）（多选）已知单位向量分别对应复数，且，则可能为（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据题意，设复数，，计算可得，即可选出答案.【详解】因为单位向量分别对应复数，设复数，，因为，所以，即，所以，故选：AD.练习2．（2023·全国·高一专题练习）将复数对应的向量绕原点逆时针方向旋转后，所得向量对应的复数为，则复数______．【答案】-12【分析】先求得复数对应的向量绕原点顺时针方向旋转后，所得向量对应的复数，再利用复数相等即可求得复数【详解】由题意，复数对应的向量绕原点顺时针方向旋转后，所得向量对应的复数为则，则故答案为：-练习3．（2023春·全国·高一专题练习）计算：．【答案】【分析】将除法形式化成分数形式，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，再用两角和差公式化简成的形式，由诱导公式化成含特殊角三角函数值的形式即可求得结果.【详解】.练习4．（2023·全国·高一专题练习）设，，，求的值【答案】【分析】将化为三角形式，利用复数三角形式的乘除法、乘方运算直接求解即可.【详解】，，.一、单选题1．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（

）A．1 B． C． D．i【答案】B【分析】现将复数表示为三角形式，再利用棣莫弗定理求解.【详解】，；故选：B．2．（2021秋·辽宁·高二沈阳二中校联考开学考试）（i是虚数单位），则z的辐角主值（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】复数可以写成的形式，即可求得复数的辐角主值.【详解】，所以复数的辐角主值.故选：A3．（2023·高一单元测试）的辐角主值为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的三角形式，对选项逐一分析判断即可.【详解】对于A，若辐角主值为，则，不可能为，故A错误；对于B，若辐角主值为，则，不可能为，故B错误；对于C，若辐角主值为，则，当时，，故C正确；对于D，由于辐角主值的范围为，不可能为，故D错误.故选：C.4．（2023·全国·高一专题练习）以下不满足复数的三角形式的是（

）．A．；B．；C．；D．．【答案】C【分析】逐一计算每个选项即可得答案.【详解】对于A：，符合；对于B：，符合；对于C：，不符合；对于D：，符合故选：C.5．（2023·全国·高一专题练习）已知为虚数单位，，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用复数三角形式乘法运算法则计算即可.【详解】，.故选：D.6．（1992·全国·高考真题）设函数，那么是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用特殊角的三角函数值和辐角主值的意义即可得出.【详解】，．故选：C．7．（2002·上海·高考真题）如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由图可得复数的模长、虚部的大小以及坐标，据此进行计算可得答案.【详解】由图可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），故；又复数对应点的纵坐标大于等于，故其虚部大于等于，所以阴影部分（含边界）对应的复数集合为，如图可得，可得，所以，所以阴影部分（含边界）对应的复数集合是.故选：D.8．（2004·湖北·高考真题）复数的值是（

）A． B．16 C． D．【答案】A【分析】应用复数的三角形式的乘方、除法运算化简求值即可.【详解】.故选：A9．（1990·全国·高考真题）把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意用复数乘以，化简可得结果.【详解】复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数为，故选：B10．（2023·全国·高一专题练习）已知复数，则（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知，可根据题意直接表示出，化简即可得到结果.【详解】由已知，复数，故选：A．二、多选题11．（2023·全国·高一专题练习）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式（为虚数单位，为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（

）A．表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限B．C．D．【答案】BCD【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项．【详解】解：对于A：，因为，所以，，所以表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：由，，所以，所以，选项D正确；故选：BCD12．（2023·高一单元测试）如果非零复数z有一个辐角为，那么下列对z判断错误的是（

）A．辐角唯一 B．辐角主值唯一C．辐角主值为 D．辐角主值为【答案】ACD【分析】由给出的非0复数有一个辐角为，结合辐角主值的概念得答案．【详解】辐角主值的范围是，，任何一个复数都有唯一的辐角主值，非0复数有一个辐角为，则该复数有唯一的一个辐角主值．故选：ACD．三、填空题13．（2023·高一课时练习）的三角形式是______．【答案】（答案不唯一）【分析】设，注意求出对应，即可得结果.【详解】令且，所以，则满足，所以三角形式可写成.故答案为：(答案不唯一)14．（2023·高一课时练习）写出一个的复数______．【答案】（答案不唯一）【分析】根据复数三角形式写出一个满足的复数即可.【详解】由题设，且，而，所以满足要求.故答案为：（答案不唯一）四、解答题15．（2023春·全国·高一专题练习）计算：(1)；(2).【答案】(1)6；(2).【分析】（1）（2）根据复数三角形式