山西省部分学校2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试题（B卷）

2024~2025学年高二期中质量检测卷数学（B卷）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第1节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，若，则（）A.2 B.3 C.4 D.52.直线l：的倾斜角为（）A. B. C. D.3.如图，在四面体中，，，，且，，则（）A. B.C. D.4.若点在圆外，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.5.如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合，则集合A中元素个数为（）A.3 B.4 C.6 D.96.已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（）A.3 B. C. D.57.已知实数a，b，c，d满足，，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.48.椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）.在平面直角坐标系xOy中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭圆”C的方程为，则该“斜椭圆”C的离心率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线均可用方程表示B.方程（m，n为常数）不能表示垂直于y轴的直线C.经过点的直线均可用方程（，不同时为0）表示D.经过两个不同的点，的直线均可用方程表示10.在正方体中，，，则（）A.若，则点P的轨迹为线段B.若，则点P的轨迹为连接棱AD的中点和棱中点的线段C.若，则三棱锥的体积为定值D.若，则BP与平面ABCD所成角的余弦值的最大值为11.已知圆C：，为圆C上一点，点，，则（）A.当最小时， B.当最大时，C.的取值范围为 D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆的焦距为2，则______.13.若圆C：与曲线有两个公共点，则r的取值范围为______.14.如图，在平行四边形ABCD中，，，沿AC将折起到的位置，使得点P到点B的距离为，则二面角的大小为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）（1）求两焦点分别为，，且过点的椭圆的标准方程；（2）求与x轴相切，圆心在直线上，且截直线所得弦长为的圆的方程.16.（本小题满分15分）已知圆C：和点.（1）过点M作一条直线与圆C交于A，B两点，且，求直线AB的方程；（2）过点M作圆C的两条切线，切点分别为E，F，求EF所在的直线方程.17.（本小题满分15分）如图，在以P为顶点的圆锥中，点O是圆锥底面圆的圆心，AB是圆锥底面圆的直径，C，D为底面圆周上的两点，且为等边三角形，E是母线PB的中点，.（1）求平面ADE与平面ACE的夹角的余弦值；（2）设AE与PO交于点M，求直线CM与平面ADE所成角的正弦值.18.（本小题满分17分）已知点A，B是椭圆C：的上、下顶点，点P满足.（1）求点P的轨迹方程；（2）是否存在点P，使得过点P的动直线l交椭圆C于M，N两点，且BM与BN的斜率之和为定值？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分17分）如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ADEF，四边形ADEF为平行四边形，，，，，，P为EC的中点.（1）求证：；（2）求点P到平面ABF的距离；（3）在线段BC上是否存在一点H，使得平面DHP与平面BEF的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

2024~2025学年高二期中质量检测卷·数学（B卷）参考答案1.B因为，所以，所以，，所以.故选B.2.D由题意知l的斜率为，设l的倾斜角为，，则，所以.故选D.3.C由题意得，.故选C.4.B由题意得，解得.故选B.5.A因为平面，平面，平面均与直线AB垂直，所以终点在这三个平面上的相应向量在向量上的投影向量分别相同，且互不相等，故共有3个不同的值.故选A.6.D将直线l的方程变形为，由，得，所以直线l过定点，当时，点P到l的距离最大，故最大距离为.故选D.7.D由题意知点和点分别是直线：和直线：上的点，表示，即两平行直线，上的两个点之间距离的平方，其最小值为与之间距离的平方，又与之间距离，所以的最小值为4.故选D.8.A由题知“斜椭圆”的中心为坐标原点，由椭圆的对称性得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值，短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值，由基本不等式，得，故，当且仅当时，成立，当且仅当时，成立，所以椭圆的长半轴长为，短半轴长为，所以椭圆的离心率为.故选A.9.BC对于A，当时，不可以用方程表示，故A错误；对于B，无论实数m，n取何值，方程均不可以表示垂直于y轴的直线，故B正确；对于C，当直线垂直于x轴，则直线方程为时，此时存在，；当直线不垂直x轴时，此时存在，，故过点均可表示为，故C正确；对于D，过，的直线方程为，故D错误.故选BC.10.BCD若，因为，，则点P与D，三点共线，故点P的轨迹为线段，故A错误；若，则，故点P的轨迹为连接AD的中点和的中点的线段，故B正确；若，则点P在线段上，易知平面，且，所以三棱锥的体积为定值，故C正确；若，点P的轨迹为连接和的中点的线段，过P作，垂足为E，易证平面ABCD，连接BE，则BP与平面ABCD所成的角为，所以，所以当时，取得最大值为，故D正确.故选BCD.11.ABD当取得最大值或最小值时，直线AP与圆C相切，利用切线长相等的性质，这两种情况的切线长均等于，故A，B均正确；设，则点在直线上，又在圆C上，故直线与圆C有公共点，所以，所以，解得，故C错误；表示点与点P距离的平方，点与点P的最小距离为，故的最小值为，故D正确.故选ABD.12.5或7由题意知，所以.当椭圆的焦点在x轴上时，且，解得；当椭圆的焦点在y轴上时，且，解得，故m的值为5或7.13.曲线为折线，如图所示，当时，圆C与折线有两个交点，当圆C与折线相切时，也有两个公共点，此时，故r的取值范围为.14.因为，所以，由题意知，，，，，所以，所以，设的大小为，则与互补，故，又，所以.15.解：（1）设椭圆的方程为，则，……3分所以，……4分由题意知椭圆的半焦距，……5分所以，故所椭圆的标准方程为.……7分（2）设所求圆的方程为，由题意得，……10分解得，或，故所求圆的方程为或.……13分16.解：（1）圆C：，则圆心，半径.……1分①若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，即，所以C到直线AB的距离，……3分所以，故AB的方程为，即.……5分②若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为，代入圆C的方程，得，解得，，此时，满足题意.综上所述，直线AB的方程为或.……8分（2）连接CE，CF，则M，E，C，F四点在以线段MC为直径的圆上，线段MC的中点为，，……10分故过M，E，C，F四点的圆的方程为，即，……13分与圆C：的方程相减，得，即直线EF的方程为.……15分17.解：（1）设AB交CD于点F，连接EF，因为等边是圆锥底面圆O的内接三角形，AB为直径，所以，所以，所以，……1分所以，所以，所以F是OB的中点，又E是母线PB的中点，所以.……2分由题意知底面圆O，AB，底面圆O，所以，，所以，.……3分以F为坐标原点，直线CD，AB，FE分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），则，，，，所以，，.……4分设平面ADE的一个法向量，则，即，令，解得，，所以.……6分设平面ACE的一个法向量，则，即，令，解得，，所以，……8分设平面ADE与平面ACE的夹角为，则.……10分（2）由（1）知，因为AE与PO交于点M，，所以，即，所以，所以，所以，……12分由（1）知平面ADE的一个法向量为，设直线CM与平面ADE所成的角为，则，即直线CM与平面ADE所成角的正弦值为.……15分18.解：（1）由点A，B是椭圆C：的上、下顶点，则，，……1分设，由，得，……2分化简整理，得，所以点P的轨方程为.……4分（2）假设存在点P满足题意，由（1）知，设动直线l的方程为，，，由题意知，……6分联立l和C的方程，得，消去y并整理，得，所以，即，，，……8分所以.……10分由题意知为定值，设为t，即，……11分所以，所以，所以，所以令，得，所以，……13分所以直线l过定点，代入圆，得，解得，故存在点P，其坐标为.……17分19.（1）证明：在中，因为，，，所以，所以，所以，……2分又平面平面ADEF，平面平面，平面ADEF，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以.……5分（2）解：由（1）可得，，又，所以DA，DC，DF两两垂直，以DA，DC，DF所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立