全等三角形模型(教案)

全等三角形模型适用学科初中数学适用年级初中一年级适用区域江苏课时时长（分钟）60知识点全等三角形的性质、全等三角形的判定、直角三角形的全等的判定教学目标熟练掌握三角形全等的判定定理，能够灵活运用这些定理进行推理和证明；能够从模型的观点去理解复杂的几何图形的推理。教学重点熟练掌握三角形全等的判定定理教学难点能够从模型的观点去理解复杂的几何图形的推理教学过程一、课堂导入【问题】如图，你能感觉到哪两个三角形全等吗？【思考】△ABD≌△ACE二、复习预习【问题】工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON．移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合．则过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的角平分线，为什么？请你说明理由．【解答】OP平分∠AOB理由如下：∵OM=ON，PM=PN，OP=OP∴△MOP≌△NOP（SSS）∴∠MOP=∠NOP∴OP平分∠MON（即OP是∠AOB的角平分线）三、知识讲解考点1全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的高、中线相等，对应角的平分线相等。考点2全等三角形的判定：所有三角形SAS、ASA、AAS、SSS；直角三角形HL四、例题精析【例题1】【题干】如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．求证：AE=BF．【答案】证明：∵正方形ABCD，∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AGB=∠BAG+∠ABG=90°，∵∠ABG+∠CBF=90°，∴∠BAG=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF．【解析】根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AGB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABG与∠BAG的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAG与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案．【例题2】【题干】如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）求证：AE⊥CF．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，∴∠ABE=∠CBF，在△AEB和△CFB中，∴△AEB≌△CFB（SAS），∴AE=CF．（2）延长AE交BC于O，交CF于H，∵△AEB≌△CFB，∴∠BAE=∠BCF，∵∠ABC=90°，∴∠BAE+∠AOB=90°，∵∠AOB=∠COH，∴∠BCF+∠COH=90°，∴∠CHO=90°，∴AE⊥CF【解析】（1）利用△AEB≌△CFB来求证AE=CF．（2）利用全等三角形对应角相等、对顶角相等、等量代换即可证明．【例题3】【题干】（2014•顺义区一模）已知：如图1，△MNQ中，MQ≠NQ．（1）请你以MN为一边，在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中，∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D．求证：CD=AB．【答案】：（1）如图1，以N为圆心，以MQ为半径画圆弧；以M为圆心，以NQ为半径画圆弧；两圆弧的交点即为所求．主要根据“SSS”判定三角形的全等．（2）如图3，延长DA至E，使得AE=CB，连结CE．∵∠ACB+∠CAD=180°，∠DACDAC+∠EAC=180°∴∠BACBCA=∠EAC在△EAC和△BAC中，∴△AECEAC≌△BCA（SAS），∴∠B=∠E，AB=CE∵∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∴CD=AB．【解析】（1）以点N为圆心，以MQ长度为半径画弧，以点M为圆心，以NQ长度为半径画弧，两弧交于一点F，则△MNF为所画三角形．

（2）延长DA至E，使得AE=CB，连结CE．证明△EAC≌△BCA，得：∠B=∠E，AB=CE，根据等量代换可以求得答案．【例题4】【题干】问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【答案】问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立．证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．【解析】问题背景：根据全等三角形对应边相等解答；探索延伸：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可；实际应用：连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出∠EAF=∠AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可．五、课堂运用【基础】1.在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：（1）BH=DE．（2）BH⊥DE．【答案】证明：（1）在正方形ABCD与正方形CEFH中，BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH，即∠BCH=∠DCE，在△BCH和△DCE中，，∴△BCH≌△DCE（SAS），∴BH=DE；（2）∵△BCH≌△DCE，∴∠CBH=∠CDE，又∵∠CGB=∠MGD，∴∠DMB=∠BCD=90°，∴BH⊥DE．【解析】（1）根据正方形的性质可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE，再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBH=∠CDE，然后根据三角形的内角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根据垂直的定义证明即可．2.（1）操作发现如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B，C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN，猜想∠ABC与∠ACN有何数量关系？并证明你的结论；（2）类比探究如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【答案】（1）∵在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠BAM+∠MAC=60°在等边△AMN中，AM=AN，∠MAN=∠NAC+∠MAC=60°∴∠BAM=∠NAC=60°-∠MAC，在△ABM和△ACN中，，∴△ABM≌△ACN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．（2）∵在等边△ABC中，AB=AC，∠BAM=∠BAC+∠MAC=60°+∠MAC在等边△AMN中，AM=AN，∠NAC=∠NAM+∠MAC=60°+∠MAC，∴∠BAM=∠NAC=60°+∠MAC，在△ABM和△ACN中，，∴△ABM≌△ACN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．【解析】（1）由全等三角形可以判定AB=AC，AM=AN，即可求证△ABM≌△ACN，即可求得∠ABC=∠ACN；（2）和（1）同理，由全等三角形可以判定AB=AC，AM=AN，即可求证△ABM≌△ACN，即可求得∠ABC=∠CAN.【巩固】1.如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．【答案】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AD=AE，AB=AC，又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，∴∠DAB=∠EAC，∵在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE．【解析】求出AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠EAC，根据SAS证出△ADB≌△AEC即可．2.如图，△ABC与△BEF都是等边三角形，D是BC上一点，且CD=BE，求证：∠EDB=∠CAD．【答案】如图，过点D作DG∥AB交AC于G，∵△ABC是等边三角形，∴∠GDC=∠ABC=∠C=60°，AC=BC，∴△CDG是等边三角形，∴DG=CD=CG，∠AGD=120°，∴BD=AG，∵CD=BE，∴BE=DG，又∵△BEF是等边三角形∴∠EBF=60°，∴∠EBD=∠DGA=120°，在△EBD和△DGA中．．∴△EBD≌△DGA（SAS），∴∠EDB=∠CAD．【解析】过点D作DG∥AB交AC于G，求出∠EBD=∠AGD=120°，BD=AG，根据SAS证△EBD≌△DGA，根据全等三角形的性质推出即可．【拔高】正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF．（1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为：；（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FQ，连接EQ，请猜想BF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．（3）若点P为CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出BF、EQ、BP三者之间的数量关系：．【答案】（1）∵点E、F分别是边AD、AB的中点，G是BC的中点，∴AE=AF=BF=BG，在△AEF和△BFG中，，∴△AEF≌△BFG（SAS），∴EF=FG，∠AFE=∠BFG=45°，∴EF⊥FG，EF=FG；（2）BF+EQ=BP．理由：如图2，取BC的中点G，连接FG，则EF⊥FG，EF=FG，∴∠1+∠2=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△FQE和△FPG中，，∴△FQE≌△FPG（SAS），∴QE=PG且BF=BG，∵BG+GP=BP，∴BF+EQ=BP；（3）如图3所示，BF+BP=EQ．【解析】（1）根据线段中点的定义求出AE