山西省运城市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（含解析）

山西省运城市2024-2025学年高二上学期11月期中测评数学试题全卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则A.1 B.2 C. D.32.抛物线的焦点到准线的距离为A. B.3 C. D.13.记水的质量为，则当时，水的质量为A. B. C.1 D.24.已知，则A.-5 B.-3 C. D.25.若双曲线的离心率为2，则双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为A. B. C. D.6.已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的方程为A. B. C. D.7.如图，已知多面体ABCDMN中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面平面，若异面直线AT与MD所成的角的余弦值为，则的值为A. B. C. D.8.已知.直线为上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知圆与圆内切，则的值可以为A.-1 B.0 C.1 D.210.如图，在正三棱柱中，为空间内一动点，若，则A.若，则点的轨迹为线段BC1 B.若，则点的轨迹为线段C.存在，使得平面 D.存在，使得平面11.已知椭圆且为常数）的左、右两个焦点分别为和，动直线经过椭圆的左焦点与椭圆交于A，B两点，且的最大值为7；O为坐标原点，则下列说法正确的是A. B.椭圆的离心率C. D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，内角A，B，C所对的边分別为a，b，c，若，则的面积为______.13.如图，在正四面体PABC中，为AB中点，则的值是______.14.已知抛物线的焦点为，则抛物线的准线方程为______；抛物线16x的焦点为，若直线分别与交于P，Q两点，且，则______.（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，直线与的交点是圆的圆心，直线与圆相切．（1）求圆的标准方程；（2）若过点的直线与圆有且只有一个公共点，求直线的方程.16.（本小题满分15分）如图，在正三棱柱中，，点为AC的中点.（1）求证：平面；（2）求直线AB与平面所成的角的正弦值.17.（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆上的任意一点到直线的距离的最值.18.（木小题满分17分）如图，已知正四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，点是棱上的动点（包括端点）．（1）证明，平面平而；（2）若平面与平而PCD的夹角的余弦值为，求点到平面的距离.19.（本小题满分17分）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，虚轴长为2.（1）求双曲线的方程；（2）直线与双曲线的左支交于A，B两点，点与点关于轴对称.（i）求的取值范围；（ii）求证：直线BD过定点.

数学参考答案、提示及评分细则题号12345678答案CBDABDCD题号91011答案BDABBC一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【解析】依题意，，则．故选C.2.【答案】B【解析】由抛物线的标准方程为，有，有，可得抛物线的焦点到准线的距离为3.故选B.3.【答案】D【解析】当时，水的质量为.故选D.4.【答案】A【解析】由，得，则，所以，故选A.5.【答案】B【解析】由双曲线的离心率为2，可得，解得，所以，又由双曲线的定义，可得双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为.故选B.6.【答案】D【解析】设，因为直线与相交于A，B两点，所以由题意得，直线的方程为，整理为，故选D.7.【答案】C【解析】以为原点，分别以AB，AD，AM所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，所以，有，可得，又由，有，可得．故选C.8.【答案】D【解析】由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2，所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离，所以当PA，PB分别为圆的切线，且最小时，最大，又，则最大，所以最大，此时最小，此时．故选D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.【答案】BD（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，因为圆与圆内切，所以，即，解得或2.故选BD.10.【答案】AB（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）【解析】对于A：由，得点在侧面内（含边界），若，则，故点的轨迹为线段，故A正确；对于B：若，则，所以，即，又，1]，故点的轨迹为线段，故B正确；对于C：取棱BC的中点，连接AD，由题意易证平面，当点与重合时，平面，此时，故不存在，使得平面，故C错误；对于D：若使平面，则点必在棱BC上，此时，故不存在，使得平面，故D错误.故选AB.11.【答案】BC（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）【解析】如图所示：易知，由椭圆定义可知，因为的最大值为7，所以的最小值为，当轴，即为通径时，最小，所以，有，解得，所以A错误；可得粗圆方程为，易知，所以离心率，所以B正确；当为长轴时，最大，此时，所以，所以C正确；因为，可设直线的方程为，联立，整理可得，因此；若，可得，即，所以；有，整理得，解得．有.所以D错误.故选BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】 【解析】由余弦定理可得，即，解得或-1（舍去），所以.13.【答案】－1 【解析】.14.【答案】 【解析】由抛物线，可得，抛物线的准线方程为.设，则，故，所以，所以，解得.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.【答案】（1）（2）或【解析】（1）联立方程，解得………2分可得圆的圆心的坐标为，……………3分又由圆与直线相切，可得圆的半径为，……5分可得圆的标准方程为；…………6分（2）由直线与圆有且只有一个公共点，可得直线与圆相切，…………………7分①若斜率不存在，此时直线方程为：，与圆相切，……………8分②当直线与圆相切斜率存在时，设，即，……10分根据圆心到切线距离等于半径可得，得，所以此时直线的方程为，………………12分综上，直线的方程为或．…………13分16.【答案】（1）详见解析（2）【解析】（1）连接与交于点，连接DE，………2分在正三棱柱中，四边形是矩形，所以点是的中点，……3分又点是AC的中点，所以，……………………4分又平面平面，……………………5分所以平面；………………………6分（2）解法一：取的中点，连接DF，因为为等边三角形，点为AC的中点，所以，………7分如图，以点为原点，分别以DB，DC，DF所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．则，………………9分设平面的一个法向量为，则令，得，………………12分由，有，所以直线AB与平面所成角的正弦值为.………15分解法二：由，有，…………8分又由，有，……10分设点到平面的距离为，有，………………12分又由，有，有，故直线AB与平面所成角的正弦值为.……15分17.【答案】（1）（2）最小值为，最大值为【解析】（1）由椭圆的离心率为，可得，………………1分可得，设椭圆的方程为：，……………………3分又因为椭圆经过点，所以，解得，可得，………………5分所以椭圆的方程为：；………………………6分（2）解法一：设与直线平行的直线的方程为，…………………7分联立，整理可得：，……………9分，可得，则，………11分所以直线到直线的距离为.所以直线到直线的距离为.所以椭圆上的点到直线的距离的最小值为，最大值为.……15分解法二：设点为椭圆上任意一点，…………8分点到直线的距离为（其中为锐角且），……………12分可得当时，，…………13分当时，.……………………14分所以椭圆上的点到直线的距离的最小值为，最大值为.……15分18.【答案】（1）详见解析（2）【解析】（1）以下底面正方形的中心为原点，建立如图所示空间直角坐标系，由于，上、下底面分别是边长为2和4的正方形，可求出四棱台的高为，………2分则，于是，………………………4分设平面的法向量为，则，取，可得，…………6分设平面的法向量为，则，取，可得，………………8分由于，则平面的法向量与平面法向量垂直，则平面平面；…9分（2）设，且，则…………10分设平面PCD的法向量为，则，取，可得，…………………………12分设平面与平面PCD的夹角为，则，化简即（，解出，………………………15分因此，则点到平面的距离为.………17分19.【答案】（1）（2）（i）（ii）详见解析【解析】（1）由已知得解得，………………2分所以双曲线的方程为；