广东省广州市海珠区中山大学附属实验学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试题(含答案)

2024学年第一学期期中考试模拟考试卷姓名：_____________学号：_____________一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.的半径为3，点..在外，点到圆心的距离为，则需要满足的条件（）A. B. C. D.无法确定3.用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（）A. B. C. D.4.如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则..的大小为（）A.51° B.49° C.40° D.39°5.在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于的方程的根的情况为（）A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根C.有实数根 D.有两个相等的实数根6.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.7.若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（）A.3 B.0 C. D.8.如图，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，，那么旋转角等于（）A.65° B.100° C.115° D.120°9.某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为，则根据题意可列的方程为（）A. B.C. D.10.当时，函数与的图象有且只有一个交点，其中为常数.则的取值为（）A.或 B. C. D.二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11.若关于的一元二次方程有整数根，则整数的值可以是______（写出一个即可）.12.在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为______.13.一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是______.14.如图，、是的切线，点、为切点，是的直径，，则的大小是______度.15.“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面.已知截面的半径为10cm，开口宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是______cm.16.抛物线交轴于点和（点在点左侧），抛物线的顶点为，下列四个结论：①抛物线过点；②当时，是等腰直角三角形；③；④抛物线上有两点和，若，且，则.其中结论正确的序号是______________.三、解答题（共9小题，满分72分）17.（4分）解方程：.18.（4分）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点在的延长线上.求证：.19.（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，.（1）画出绕原点逆时针方向旋转90°后得到的；（2）______；20.（6分）如图，用篱笆围成一块矩形花圃，该花圃一侧靠墙，而且有一道隔栏（隔栏也用篱笆制作），已知所用篱笆的总长为24m，花圃的面积为，墙的最大可用长度为10m，求边的长.21.（8分）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接.（1）求证：为的切线；（2）若且，求的半径.22.（10分）如图，在中，，.（1）尺规作图：将绕点顺时针旋转得到，使得点的对应点在的延长线上（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，连接，判断点与直线的位置关系，并说明理由.23.（10分）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上.设抛物线的对称轴为直线.（1）当时，①直接写出与满足的等量关系；②比较，的大小，并说明理由；（2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围.24.（12分）如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：.【初步探索】小明同学思考如下：将与点顺时针旋转60°到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：（1）根据小明的思路，请你完成证明.（2）若圆的半径为8，则的最大值为_____________（直接写答案）.【类比迁移】如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值.【拓展延伸】如图3所示，等腰，点、在圆上，，圆的半径为8，连接，则的最小值为_____________（直接写答案）.25.（12分）正方形的顶点在某抛物线上，称该正方形为该抛物线的“悬正方形”.若直线与“悬正方形”以为端点的一边相交，且点到直线的距离为，则称直线为该正方形的“悬割线”.已知抛物线，其中，，，以为边作正方形（点在点的下方）.（1）证明：正方形是抛物线的“悬正方形”；（2）判断正方形是否还可能是抛物线的“悬正方形”，并说明理由；（3）若直线是正方形的“悬割线”，现将抛物线及正方形进行相同的平移，是否存在直线为平移后正方形的“悬割线”的情形？若存在，请探究抛物线经过了怎样的平移；若不存在，请说明理由.

2024学年第一学期期中考试模拟考试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.A.2.C.3.D.4.D.5.B.6.B.7.A.8.C.9.B.10.A.2.解：当时，；当时，；当时，函数的图象如图一所示：函数是由函数向上或向下平移得到的，由图象可知，①时，当时，函数与的图象有且只两个一个交点，不符合题；②把函数向下平移到过点时，得.解得，在此过程中，函数与的图象有且只有一个交点；③把函数向上平移到图象位置时，函数与的图象有且只有一个交点，此时，即，，解得.综上所述，当或时，函数与的图象在范围内有且只有一个交点.故选：A.二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11.4（答案不唯一）.12..13.14.14.40.15.18cm.16.①②④.16.解：①把代入得，，抛物线过点，故①正确；②当时，抛物线与轴的两个交点坐标分别为、，对称轴为，是等腰直角三角形，故②正确；③抛物线交轴于点和（点在点左侧），、是方程的两个根，，故③错误；④观察二次函数图象可知：当，且，则.故④正确.故答案为：①②④.三、解答题（共9小题，满分72分）17.解：，，，，，，，.18.解：绕点逆时针旋转得到，，，而点在的延长线上.，，，.19.解：（1）如图，即为所求.（2），，.故答案为：45°.20.解：设边边的长为，由题意得：，解得：（不符合题意，舍去），，答：边的长为5m.21.解：（1）证明：如图，连接，，，，，，，，即，，是半径，为的切线；（2）解：设的半径，则，，在中，由勾股定理得，，，解得，或（舍去），的半径为3.22.解：（1）如图，为所作；（2）点在直线上.理由如下：绕点顺时针旋转得到，，，，，，，，，点、、共线，即点在直线上.23.解：（1）①，；②抛物线中，，抛物线开口向上，点，点在抛物线上，对称轴为直线，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，；（2）由题意可知，点在对称轴的左侧，点，在对称轴的右侧，，都有，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，，解得，的取值范围是.24.解：初步探索：（1）证明：由旋转得，，，，，，、、三点在同一条直线上，，是等边三角形，，，是等边三角形，，；（2）是的弦，且的半径为8，当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，的最大值是16，故答案为：16；类比迁移：如图2，，，是的直径，且圆心在上，，，将绕点顺时针旋转90°到，使点与点重合，则，，，，，、、三点在同一条直线上，，，当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，的最大值为，的最大值为，周长的最大值是；拓展延伸：如图3，连接，将线段绕点逆时针旋转90°到，连接，，，，连接、，，，，，，，，，的最小值为，故答案为：.25.证明：（1）当时，，则点在抛物线上，故正方形是抛物线的“悬正方形”；（2）正方形不可能是抛物线的“悬正方形”，理由如下：假设点在抛物线上，则当时，，则，整理得，解得，与矛盾，假设不成立，所以点不在抛物线上，故正方形不可能是抛物线的“悬正方形”；解：（3）假设存在直线为平移后正方形的“悬割线”的情形，则平移后，正方形是抛物线的“悬正方形”，抛物线及正方形进行相同的平移，平移前，正方形是抛物线的“悬正方形”，则点在抛物线上，，，轴，，，在正方形中，，，则，点在抛物线上，，解得，（不合题意，舍去），，那么平移前，，，，直线与轴，轴分