【数学】指数课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章指数函数与对数函数4.1指数

问题1：初中我们就已经学习过平方根，立方根。同学们是否还记得它们是怎样定义的吗？问题2：一个数的平方根有几个？立方根有几个？一个数的平方根有2个，立方根有1个复习导入

新知探究

n次方根

新知探究

先乘n次方再开n次方看奇偶，先开n次方再乘n次方取本身名师点睛1.在n次方根的概念中,关键是数a的n次方根x满足xn=a,因此求一个数a的n次方根,就是求一个数x使得这个数的n次方等于a.2.n次方根实际上就是平方根与立方根的推广.3.n次方根的概念表明,乘方与开方是互逆运算.过关自诊

提示不是,当n为大于1的奇数时,a∈R;当n为大于1的偶数时,a≥0.6或-2x解析原式=|x+3|-(x-3),当x≥-3时,原式=6;当x<-3时,原式=-2x.探究点一根式的概念【例1】(1)27的立方根是

;16的4次方根是

.

3±2(2)已知x6=17,则x=

.

[-3,+∞)规律方法根式概念问题应关注的两点(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数;(2)n为奇数时,被开方数a的正负决定着n次方根的符号.变式训练1已知a∈R,n∈N*,给出下列4个式子:A.1个

B.2个

C.3个

D.0个

A探究点二根式的化简(求值)【例2】求下列各式的值:解原式=a-b+b-a=0.∵-3<x<3,∴当-3<x<1时,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;当1≤x<3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4.解由例题解析可知原式=|x-1|-|x+3|.(1)若x<-3,则x-1<0,x+3<0,故原式=-(x-1)-[-(x+3)]=4.变式探究(1)该例中的,若x<-3呢?

追问1：观察上述式子，你能发现什么吗？

新知探究

分数指数幂

也可称为有理指数幂问题4：若根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？追问2：观察上述式子，你能发现什么规律吗？分子为被开方数的指数，分母为根指数新知探究

分数指数幂

也可称为有理指数幂

对于任意正数a,b和实数r,s,指数幂均满足下面的运算性质:(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R);(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R);(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).(4)ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈R);负整数指数幂a-n=.新知探究

分数指数幂

也可称为有理指数幂1.正数的正分数指数幂的意义:2.正数的负分数指数幂的意义:3.0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.（0不可作为分母）规定了分数指数幂的意义以后,幂ax中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数.

没有意义

名师点睛

2.正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数.3.我们可以类似得出:一般地,给定正数a,对任意无理数α,aα都是一个确定的实数.同理规定a-α=.这样指数幂中指数的范围就扩展到了全体实数.过关自诊1.[人教B版教材例题]计算下列各式的值:过关自诊

分数指数不能随意约分，因为约分之后可能会改变根式有意义的条件3.[北师大版教材例题]把下列各式中的正数b写成正分数指数幂的形式:(1)b5=20;(2)b4=25;(3)bn=3m(m,n∈N*);(4)b3n=π9m(m,n∈N*).探究点三分数指数幂的简单计算【例3】计算:规律方法1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既含有分母又含有负指数.变式训练2计算:

探究点四条件求值【例4】[北师大版教材习题]已知x+x-1=3(x>0),求下列各式的值:规律方法解决条件求值问题的一般方法——整体法对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.当字母的取值未知或不易求出时,可将所求代数式恰当地变形,构造出与已知条件相同的结构,从而通过“整体法”巧妙地求出代数式的值.解∵x+y=12,xy=9,∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.本节要点归纳1.知识清单:(1)n次方根.(2)正分数指数幂和负分数指数幂.(3)指数幂的运算性质.2.方法归纳:转化法、整体代换.3.常见误区:(1)0的任意负实数指数幂没有意义;(2)在运用分数指数幂的运算性质化简时,其结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既含有分母又含有负指数.01成果验收·课堂达标检测123456C123456A.5-2a

B.2a-5

C.1

D.-1

C解析∵2<a<3,∴a-2>0,a-3<0,123456D1234564.计算-0.01-0.5+0.2-2-(2