【数学】函数的概念及其表示（第一课时）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章函数概念与性质

3.1函数的概念及其表示（第1课时）天宫二号“函数”名字的由来在1859年和英国传教士伟烈亚力和译的《代微积拾积》中首次将“function”译做“函数”．由清代数学家李善兰引入凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数李善兰1811－1882清朝数学家初中所学函数的定义是什么？

设在一个变化过程中有两个变量

x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自变量，y叫因变量.【思考】

1.是函数吗？2.正方形的周长

与边长

的对应关系是

与正比例函数是同一函数吗？【创设情境，抽象概念】问题1.某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为S=350t。（2）根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km，这个说法正确吗？不正确。（1）路程S是运行时间t的函数吗？匀速运行半小时问题1.某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为S=350t。（3）怎样更准确地描述路程S和运行时间t的关系？

【创设情境，抽象概念】分析：t的变化范围是数集S的变化范围是数集问题2某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？【创设情境，抽象概念】分析：d的变化范围是数集w的变化范围是数集对应关系：

仿照问题1，尝试更准确地描述工资w与工作天数d的关系。【创设情境，抽象概念】对应关系：对应关系：【思考】它们是同一个函数吗？问题1：t的变化范围是数集

S的变化范围是数集问题2：d的变化范围是数集

w的变化范围是数集问题3如图是北京市2016年11月23日的空气质量指（AQI)变化图。（1）如何找到中午12时的AQI值？这个值唯一吗？（2）如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数的值I？【创设情境，抽象概念】问题3如图是北京市2016年11月23日的空气质量指数（AQI)变化图。（3）尝试用集合语言描述空气质量指数I与时间t之间的关系。

对应关系:图象【创设情境，抽象概念】问题4国际上常用恩格尔系数反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。（1）按表中给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？【创设情境，抽象概念】（2）按表中给出的对应关系，尝试用集合语言描述恩格尔系数r与年份y之间的函数关系。r的变化范围为数集{0.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0.3515，0.3353,0.33870.2989,0.2935，0.2857}y的取值范围为数集{2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}对应关系:表格【创设情境，抽象概念】？（3）如果我们引入集合B={r|0≤r≤1}，将对应关系表示为对于任意一个年份y都有B中唯一确定的r与之对应，你认为有道理吗？【创设情境，抽象概念】归纳

上述问题1至问题4中的函数有哪些共同特征？问题情境自变量的集合对应关系函数值所在的集合函数值的集合问题1问题2

问题3问题4【创设情境，抽象概念】归纳

上述问题1至问题4中的函数有哪些共同特征？问题情境自变量的集合对应关系函数值所在的集合函数值的集合问题1A1={t|0≤t≤0.5}S=350tB1={S|0≤S≤150}B1问题2A2={1,2,3,4,5,6}W=350dB2={350，700，1050，1400，1750，2100}B2问题3A3={t|0≤t≤24}图1B3={I|0<I<150}C3(C3⊑B3)问题4A4={2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}表1B4={r|0<r≤1}C4={0.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0.3515，0.3353,0.33870.2989,0.2935，0.2857}C4⊑B4【创设情境，抽象概念】共同特征有：（1）都包含两个非空数集，可以用A，B来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应。结合特征，试用集合语言与集合关系刻画函数的概念.【创设情境，抽象概念】

函数的概念：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．

记作：y＝f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

显然，值域是集合B的子集．

可见，构成函数的要素为：定义域，对应关系和值域．【创设情境，抽象概念】【概念辨析，强化概念】512336AB(1)432-249AB(3)12354AB(2)集合A,B与对应关系f如下图所示：f:AB是否为从集合A到集合B的函数？如果是，写出定义域、值域和对应关系；如果不是，说明理由。【思考】

1.是函数吗？2.正方形的周长

与边长

的对应关系是

与正比例函数是同一函数吗？【概念辨析，强化概念】【学以致用，巩固新知】

用函数的定义重新表述一次函数，二次函数与反比例函数：函数一次函数二次函数反比例函数a＞0a＜0对应关系定义域值域x→ax＋b

R

R

x→ax2＋bx＋c

R

R

{x|x≠0}

{y|y≠0}

【学以致用，巩固新知】例1

函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变化关系和规律.

试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述.解

把看成二次函数，则它的定义域是

值域是

对应关系f把

中的任意一个数,对应到B中唯一确定的数.【学以致用，巩固新知】【课堂小结】1.知识：2.数学素养：函数的概念数学抽象【课堂小结】每一个

唯一的变化过程中对应函数的表示法：