数列的递推关系与通项-高考数学一轮复习(新高考专用)

第42讲数列的递推关系与通项【基础知识回顾】1、正确选用方法求数列的通项公式(1)对于递推关系式可转化为an＋1＝an＋f(n)的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式．(2)对于递推关系式可转化为eq\f(an＋1,an)＝f(n)的数列，并且容易求数列{f(n)}前n项的积时，采用累乘法求数列{an}的通项公式．(3)对于递推关系式形如an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的数列，采用构造法求数列的通项．2、避免2种失误(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到eq\f(a2,a1)，漏掉a1而导致错误；二是根据连乘求出an之后，不注意检验a1是否成立．(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．1、数列{an}的前几项为eq\f(1,2)，3，eq\f(11,2)，8，eq\f(21,2)，…，则此数列的通项可能是()A．an＝eq\f(5n－4,2) B．an＝eq\f(3n－2,2)C．an＝eq\f(6n－5,2) D．an＝eq\f(10n－9,2)【答案】A【解析】数列为eq\f(1,2)，eq\f(6,2)，eq\f(11,2)，eq\f(16,2)，eq\f(21,2)，…，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故通项公式为an＝eq\f(5n－4,2).2、在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋eq\f(－1n,an－1)(n≥2)，则a5等于()A.eq\f(3,2) B.eq\f(5,3)C.eq\f(8,5) D.eq\f(2,3)【答案】D【解析】a2＝1＋eq\f(－12,a1)＝2，a3＝1＋eq\f(－13,a2)＝eq\f(1,2)，a4＝1＋eq\f(－14,a3)＝3，a5＝1＋eq\f(－15,a4)＝eq\f(2,3).3、(2022·湘豫名校联考)已知数列{an}满足：对任意m，n∈N*，都有anam＝an＋m，且a2＝2，那么a20＝()A.240 B.230 C.220 D.210【答案】D【解析】由anam＝an＋m，a2＝2，得a20＝a2a18＝a2a2a16＝aeq\o\al(10,2)＝210.故选D.4、已知数列{an}中，a1＝1中，an＋1＝an＋n(n∈N*)中，则a4＝________，an＝________.【答案】7eq\f(n2－n＋2,2)【解析】由题意可得a1＝1，an＋1－an＝n，则：an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝1＋eq\f(nn－1,2)＝eq\f(n2－n＋2,2)，则a4＝eq\f(42－4＋2,2)＝7.考向一有递推关系研究数列的通项例1、（多选题）（2021·山东济南市·高三二模）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（）A． B．是等比数列C． D．【答案】ABC【解析】因为，，所以，由可得，所以，所以，分别是以2,1为首项，公比为2的等比数列，所以，所以，，综上可知，ABC正确，D错误.故选：ABC变式1(2021·崇左二模)数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*).将数列{an}的每一项除以4所得的余数构成一个新的数列{bn}，则b21＝()A.1 B.2 C.3 D.0【答案】B【解析】∵数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*).∴a3＝2，a4＝3，a5＝5，a6＝8，a7＝13，a8＝21，a9＝34，a10＝55，a11＝89，数列{an}的每一项除以4所得的余数构成一个新的数列{bn}为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，…，可得数列{bn}构成一个周期为6的数列.∴b21＝b3＝2.变式2、(多选)在数列{an}中，an＝(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq\s\up12(n)，则数列{an}中的最大项可以是()A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项【答案】AB【解析】假设an最大，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an＋1，,an≥an－1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（n＋1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))\s\up12(n)≥（n＋2）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))\s\up12(n＋1)，,（n＋1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))\s\up12(n)≥n·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))\s\up12(n－1)，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＋1≥\f(7,8)（n＋2），,\f(7,8)（n＋1）≥n，))即6≤n≤7，所以最大项为第6项和第7项.变式3、（2020·山东泗水·期中（文））已知数列中，，，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】在数列中，，，则，，，.故选：B.变式4、已知数列{an}满足若a1=,则a2019=(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，又∵a1，∴a2＝2a1﹣1＝21，a3＝2a2，a4＝2a3＝2，a5＝2a4﹣1＝21，故数列的取值具备周期性，周期数是4，则＝＝，故选B．方法总结：给出了两种不同形式的递推关系，经常采取其它方法：取倒数后，相邻两项的差是一个等比数列，迭加即可；变形为eq\f(an＋1,an)＝eq\f(3n－2,3n＋2)，再用累乘处理，累加、累乘是递推数列的基本而常用的方法，考查我们的观察、变形和转化的能力，需要牢固掌握．考向二由Sn与an的递推关系求通项公式例2、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列中，，其前项和满足，则__________；__________.【答案】【解析】（1）由题：，令，，得：，所以；（2）由题，，化简得：，，是一个以2为首项，1为公差的等差数列，，，故答案为：(1).(2).变式1、在数列{an}中，an＋1＝eq\f(n,n＋2)an(n∈N*)，且a1＝4，则数列{an}的通项公式an＝________.【答案】eq\f(8,n（n＋1）)【解析】由an＋1＝eq\f(n,n＋2)an，得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋2)，故eq\f(a2,a1)＝eq\f(1,3)，eq\f(a3,a2)＝eq\f(2,4)，…，eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n＋1)(n≥2)，以上式子累乘得，eq\f(an,a1)＝eq\f(1,3)·eq\f(2,4)·…·eq\f(n－3,n－1)·eq\f(n－2,n)·eq\f(n－1,n＋1)＝eq\f(2,n（n＋1）).因为a1＝4，所以an＝eq\f(8,n（n＋1）)(n≥2).因为a1＝4满足上式，所以an＝eq\f(8,n（n＋1）).变式2、(1)若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________.【答案】2n＋1－3【解析】设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，解得t＝3.故an＋1＋3＝2(an＋3).令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋1＋3,an＋3)＝2.所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列.∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.(2)(2022·广州调考)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________.【答案】an＝2n－1，n∈N*【解析】因为Sn＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＝2Sn＋1.因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式，所以an＝2n－1，n∈N*.方法总结：an与Sn关系的应用(1)仅含有Sn的递推数列或既含有Sn又含有an的递推数列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)实施消元法，将递推关系转化为仅含an的关系式或仅含Sn的关系式，即“二者消元留一象”．(2)究竟消去an留Sn好，还是消去Sn留an好？取决于消元后的代数式经过恒等变形后能否得到简单可求的数列关系，如等差数列关系或等比数列关系，若消去an留Sn可以得到简单可求的数列关系，那么就应当消去an留Sn，否则就尝试消去Sn留an，即“何知去留谁更好，变形易把关系找”．(3)值得一提的是：数列通项公式an求出后，还需要验证数列首项a1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”。考向三构造等差、等比数列研究通项例3、（2021·四川宜宾市·高三二模（文））已知数列的前项和为，且满足，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，而当时，，即，则，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，即有，而，∴，故选：A.变式1、（2021·山东青岛市·高三二模）已知数列，满足，，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，所以，，所以，所以数列是等差数列，公差为1，首项为，所以，，所以，所以．故选：C．变式2、已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋3n，求数列{an}的通项公式；【解析】两边同除以3n＋1，得eq\f(an＋1,3n＋1)＝eq\f(2,3)·eq\f(an,3n)＋eq\f(1,3)，bn＝eq\f(an,3n)，则原式变为bn＋1＝eq\f(2,3)bn＋eq\f(1,3)，设bn＋1＋x＝eq\f(2,3)(bn＋x)，与原式待定系数，得－eq\f(1,3)x＝eq\f(1,3)，得x＝－1，an＋3n，eq\f(bn＋1－1,bn－1)＝eq\f(2,3)，∴数列{bn－1}是一个公比为eq\f(2,3)的等比数列，首项为bn－1＝eq\f(1,3)－1＝－eq\f(2,3)，∴bn－1＝－eq\f(2,3)(eq\f(2,3))n－1，bn＝1－(eq\f(2,3))n，∴an＝3n(1－(eq\f(2,3))n)＝3n－2n.方法总结：构造等差、等比数列求通项，常见形式一：an＋1＝pan＋q(p，q为常数，p≠0，p≠1)，常利用待定系数构造，可化为an＋1＋x＝p(an＋x)，从而解出x＝eq\f(q,p－1).常见形式二：an＋1＝pan＋qn(p，q为常数，p≠0，p≠1，q≠0)，可以通过两边同时除以qn＋1，得eq\f(an＋1,qn＋1)＝eq\f(p,q)·eq\f(an,qn)＋eq\f(1,q)，换元bn＝eq\f(an,qn)，即转化形式一．1、（2020·江苏南通·高三期中）已知数列的前n项和为，，当时，，，则S2019的值为（）A．1008 B．1009 C．1010 D．1011【答案】C【解析】当时，，①可得，②由②－①得，，整理得，又由所以.故选：C.2、（2020届山东省德州市高三上期末）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中.若，且，则数列的通项公式为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据题中定义可得，即，即，等式两边同时除以，得，且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，因此，.故选：B.3、（2021·山东高三二模）已知数列中，，，若，则（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解析】，所以为以为首项公差的等差数列，所以，所以，由，所以，故选：C.4、（多选题）（2021·山东济南市·高三一模）年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线.如图，取一个边长为的正三角形，在每个边上以中间的为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的擦掉，得到第个图形，重复上面的步骤，得到第个图形.这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线.云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，这门学科叫“分形几何学”.下列说法正确的是（）A．第个图形的边长为B．记第个图形的边数为，则C．记第个图形的周长为，则D．记第个图形的面积为，则对任意的，存在正实数，使得【答案】BCD【解析】由题意，各个图形的边长成首项为，且的等比数列，可得可设边长为，则，所以A错误；由各个图形的边数也成等比数列且，所以，所以B正确；由第个图形的周长为，可得周长为，所以C正确；当时，图形无限接近于圆，可得，所以D正确.故选:BCD.5、（2020·苏州湾（