化归与转化思想在高中数学中的应用

摘

要：基于当前的教学变化与发展，高中数学解题教学模式亟待创新与升级。而在高中数学解题过程中渗透并深入应用转化思想，将帮助学生明晰转化思想的内涵与应用特点，继而培养学生应用转化思想的意识和能力，从而提高学生解决数学问题的能力。此外，此举还将帮助教师挖掘数学学科的精髓，锻炼学生的数学思维，让学生拥有清晰的解题思路，最终更新数学教学模式。因此，促进化归与转化思想在高中数学解题中的教学应用，对教师的教和学生的学都有着十分重要的意义。关键词：化归与转化思想；高中数学；数学思想数学问题的解决过程就是一系列问题的转化过程，具体表现为由难到易、由繁到简、由未知到已知等。也就是说，在数学解题教学中，教师要善于引导学生学会将一个复杂的问题通过转化分析，化归为一个简单的熟悉问题，从而使问题得到有效解决。因此，文章将探讨化归思想在高中数学解题过程中的应用。一、化归与转化思想的内涵化归与转化思想是高中数学中的一种重要思维方式和工作方法，它通过将一个复杂的问题转化为另一个更简单的问题，从而帮助学生解决难题。化归指的是将复杂或抽象的问题化简为具体、易于处理的问题，通过转化使问题的难度降低，从而更容易找到问题的解决方法。转化则是指通过改变问题的形式或角度，将问题转化为与已知知识相关的问题，利用已有的数学知识和方法来解决问题。换句话说，化归与转化思想能够帮助学生从不同的角度理解和解决问题，提高数学问题的分析能力和解决能力。二、化归与转化思想在高中数学解题中的应用意义化归与转化思想在高中数学解题中的应用，不仅可以帮助学生更好地理解和解决问题，还能培养他们的抽象思维能力、问题转化能力以及创新思维能力。具体而言，通过化归与转化思想，学生可以将原问题转化为已知的或更容易处理的问题。这样一来，问题的难度得以降低，学生可以利用已有的知识和解题方法更快地找到解决方案。例如，在解代数方程时，化归思想可以将复杂的高次方程转化为一次或二次方程，进而应用解方程的方法求解。这种思维方式使学生能够应对更加复杂的数学问题，提高解题效率和准确性。另外，通过将问题从具体的形式抽象化，学生可以发现问题之间的共性和规律，从而掌握一类问题的解决方法。这对学生深入掌握数学知识和解决不同类型的问题具有重要意义。化归与转化思想还促进了学生的创新思维能力，在解决数学问题时，问题的转化要求学生有发散性思维和创造性灵感。通过不断转化问题，学生可以发现问题的多种角度和解法，形成对问题的独特见解和创新的解决方法。三、高中数学思想方法教学原则高中数学教学中应合理且有效地应用数学思想方法，以便引导学生主动学习、思考及探究，提高个人知识水平、个人能力以及个人素养等。但要想真正做到这一点，需要遵循以下原则：其一，重视过程性。数学思想方法并不是游离在数学学习之外的另一种学习内容，它产生于数学理论知识与解题过程，不能单独存在。所以，为了使数学思想方法在数学教学中充分发挥作用，首先需要教师正确认识数学思想方法的应用价值，其次需要教师在组织学生学习数学知识、引导学生解答数学习题的过程中，和学生一起发现、认识、了解及总结数学思想方法，逐渐形成数学思想应用体系，使学生能够在自主学习或者独立解题的过程中，灵活应用数学思想方法，达到事半功倍的效果。其二，重视反复性。帮助学生构建数学思想应用体系并非一朝一夕就能够实现的，需要反复练习、反复总结、反复积累，如此才能够达到融会贯通的状态。基于此，数学教师在组织学生进行数学学习或者复习的过程中，要为他们创造实践锻炼的机会。比如针对不同类型习题，要求学生运用不同数学思想方法进行思考与解答。教师在这一过程中观察学生解题实际情况，进而判断他们是灵活地运用数学思想方法还是生搬硬套。如若后者，教师应注意了解学生数学学习的特点，遵循因材施教原则，采取恰当的方式方法来指导学生。四、化归与转化思想在高中数学中的应用（一）充分挖掘数学思想理论教学与解题教学是中学数学教学的两条主线，数学思想的教学应贯穿于这两条主线中。由于学生对数学思想从了解到认识，从理解到掌握应用，需经历较长的时间，而且解题教学更侧重于数学思想的应用，因此，教师必须把数学知识的教学过程作为渗透数学思想的主渠道，充分挖掘教材中基础知识部分蕴含的数学思想，尽可能创造较多的机会展现数学思想，让学生在掌握知识的同时，逐步感知、理解数学思想的真谛。例如，立体几何中多面体与旋转体直观图的画法，其实是借助于平面图形来刻画空间图形，通过“展开图”将柱体、锥体、台体的侧面置于某平面，把空间曲面的面积转化为平面图形的面积来计算。这些看似平淡的内容，无一不体现着转化思想——空间问题平面化，教师在教学中若因其简单而忽视，就会失去渗透数学思想的良机。（二）转化导入，促进知识迁移数学学科表现出强烈的逻辑性，很多知识之间均有密切的联系，受数学知识连贯性的限制，要求教师的“教”与学生的“学”具有整体性，教师要充分利用学生认知范围内已学习的、使用熟练的旧知识，作为新知识的生长点，采用转化的方式，使学生自然轻松地获得新知识。转化导入就是以此作为突破口，充分利用学生的原有经验，教师采用具有针对性的问题引导，使学生在旧知识的基础上生长出新概念，从而获取新知的导入方式。转化导入通过有效的自我思维转化全过程与教师的引导，不仅有助于学生学习新知识，也可以促进学生新旧知识融会贯通，厘清知识之间的清晰脉络，将学习的新知识點纳入自己的知识结构，经过一系列的冲突与融合，逐渐形成全新的知识体系。例如，在讲解《直线与平面平行关系的判定》时，利用学生已有的丰富生活经验，引导学生观察门边框与墙面、书的纸张边缘与书脊的位置关系，归纳其共有属性，将实物位置关系转化为数学模型，培养学生的抽象概括能力。教师在讲授平面与在归纳推理判定定理的过程中，其核心在于要将直线与平面平行的空间问题转化为直线与直线平行的平面问题，将直线与平面内无数条线条直线平行的无限问题，转化为已知直线与一条直线平行的有限问题。在本节课的导入过程中，教师要依靠学生对生活模型的理解和与平面三个基本事实及推论的掌握，作为新知识的生长点，精心设计问题串，为学生指明探究的方向，使转化过程自然流畅地进行，并让学生从中学习这种降维的转化思想，提升学生在独立解决立体几何的相关习题时的转化意识，这对学生的数学学习有很大益处。（三）强化专题训练，提高解题效率化归、类比思想也是函数解题过程中常用的思想方法，其在函数解题过程中的应用，能有效化抽象为直观、化复杂为简洁，从而有效提升函数问题的解题效率，提高函数问题解题的准确性。例如，在函数教学中，教师可以设计以下题目，将化归、类比思想渗透于解题过程中。“已知f（x）为奇函数，当x>0时，f（x）=x2-sinx。问，若x<0，f（x）的解析式又当如何表示？”在分析这一问题时，教师可以先引导学生了解化归思想，思考如何通过转化题目条件得到问题的答案。x<0可以转化为-x>0，然后推导出f（-x）=-f（x），从而得出当x<0时，f（x）=x2-sinx。在该函数问题的整个分析、推导过程中，化归思想发挥了重要作用。所以，对函数问题的分析、解决，化归思想是最基础、最关键的数学思想与方法。在教学过程中，教师应循序渐进地引导学生掌握该思想与方法。（四）数形转化思想促进思维发展分析数学是研究空间形式与数量关系的一门学科，解析几何就是将数与形真正统一起来，利用代数方法解决代数问题。在这一部分中，数形转化是重要的转化思维，其中包含“数转形”“形转数”等类型。数形转化将抽象的数学知识與直观图形联系起来，可以使知识直观化、简单化，提高学生的学习效率，加深学生对数学知识的本质与知识之间的内在联系的理解。同时数形转化可以促进学生抽象思维与形象思维的协同发展，数形转化意识使学生跳出思维定式，从不同的角度去思考条件与结论的等价转化，数形结合是重要的数学解题途径和有效策略，会恰当地使用数形结合，有助于学生事半功倍地解决数学问题。下面以数学实例说明数形结合在解决数学问题中的妙用。已知点P是抛物线y2=4x上的一动点，问点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值？根据抛物线的性质，点P到该抛物线准线的距离，等于点P到该抛物线焦点的距离。因此，该问题便可以转化为动点P到点（0，2）与到点（1，0）的距离和的最小值，根据两点之间线段最短与图像，即可确定点P的位置与最短距离。（五）掌握函数题根，化复杂为简单复杂化为简单是化归思想的核心内涵之一，也是高中数学函数教学渗透化归思想的不二之选。对此，高中数学教师应当重视函数问题的题根的发掘，对同类型或者题根相同的函数题目进行分门别类，要求学生掌握不同题根的辨别方法，并传授一些行之有效的题根转化法，使学生在面对一些较为困难复杂的函数问题时，能够准确地发掘该函数的题根，根据题根所衍生的函数问题来选择对应的解题方法。教师可以通过这样的题根转化模式来培养学生举一反三的数学思维能力，培养其“化复杂为简单”的“化归”能力。例如，以题目“已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数m，n都有f（m+n）=f（m）·f（n）数量关系，并且当x>0时，都有0<f（x）0验证得出f（0）=1成立，求出实数a的取值范围为（0，1），解题步骤如下：</f（x）代入x=0可得f（0）=f（0+0）=f（0）·f（0）=f2（0）。化简得f（0）-f2（0）=f（0）［1-f（0）］=0。所以f（0）=1或f（0）=0。设f（0）=0，得f（n-n）=f（n）·f（-n）=0。所以f（n）或f（-n）至少有一个为0。设f（n）=0，有f（x）=0。因为x>0时，0<f（x）<p=""></f（x）<>（六）注重类比思想解题，锻炼学生的转化能力高中数学教学主要分为理论知识讲授与解题训练两大部分，类比思想不仅可以运用于理论知识讲授中，也可以运用于解题过程中，运用类比思想解题往往能够收到意想不到的效果。这就要求高中数学教师在解题训练中重视指导学生运用类比思想，先把数学题目做简化处理，结合相关数学概念与公式，确定解题的切入点；再通过类比命题的解题思路，让学生利用逻辑推理找到新的解题思路和方法，进而高效地处理数学试题，并进一步提高学生的转化能力。在高中数学问题中，动和静之间的转化是化归思想的主要内容，这一内容常常体现在函数问题中。函数问题常包含了生活中的变量关系，对事物的变化和运动规律进行研究。在教授函数知识的过程中，教师要引导学生探究变量间的关系，提炼出数学模型，借助化归思想，将静态问题转化成变量动态问题，