2024-2025学年新教材高中数学第二章平面向量及其应用2.5.2向量数量积的坐标表示2.5.3利用数量积计算长度与角度课时作业含解析北师大版必修第二册

PAGE课时分层作业(二十)向量数量积的坐标表示利用数量积计算长度与角度(建议用时：40分钟)一、选择题1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x＝()A．3 B．－3C．eq\f(5,3) D．－eq\f(5,3)A[a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.]2．已知a＝(－eq\r(3)，－1)，b＝(1，eq\r(3))，那么a，b的夹角θ＝()A．30° B．60°C．120° D．150°D[cosθ＝eq\f(－\r(3)－\r(3),2×2)＝－eq\f(\r(3),2)，又因为θ∈[0°，180°]，所以θ＝150°.]3．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b()A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向 D．平行且反向A[∵a·b＝－5×6＋6×5＝0，∴a⊥b.]4．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是()A．x＝－eq\f(1,2) B．x＝1C．x＝5 D．x＝0D[a⊥b(x－1)·2＋2×1＝0x＝0，故选D．]5．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|aA．1 B．eq\r(2)C．2 D．4C[∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n∴n＝±eq\r(3).∴|a|＝eq\r(12＋n2)＝2.]二、填空题6．已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________.2[由题意，得－2×3＋3m＝0，∴m7．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影数量是________．eq\f(\r(65),5)[a·b＝13，|b|＝eq\r(65)，|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(13,\r(65))＝eq\f(13\r(65),65)＝eq\f(\r(65),5).]8．已知平面对量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.8eq\r(2)[∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c＝a－6b，∴c2＝a2－12a·b＋36b2＝20－12×6＋36×∴|c|＝8eq\r(2).]三、解答题9．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．(1)求a与b的夹角θ的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ[解](1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝eq\r(42＋32)＝5，|b|＝eq\r(－12＋22)＝eq\r(5)，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2,5\r(5))＝eq\f(2\r(5),25).(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，又(a－λb)⊥(2a＋∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ∴λ＝eq\f(52,9).10．在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图)．已知点A(16,12)，B(－5,15)．(1)求|eq\o(OA,\s\up8(→))|，|eq\o(AB,\s\up8(→))|；(2)求∠OAB．[解](1)由eq\o(OA,\s\up8(→))＝(16,12)，eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)，得|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝eq\r(162＋122)＝20，|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(－212＋32)＝15eq\r(2).(2)cos∠OAB＝eq\f(\o(AO,\s\up8(→))·\o(AB,\s\up8(→)),|\o(AO,\s\up8(→))||\o(AB,\s\up8(→))|).其中eq\o(AO,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝－eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝－(16,12)·(－21,3)＝－[16×(－21)＋12×3]＝300，故cos∠OAB＝eq\f(300,20×15\r(2))＝eq\f(\r(2),2).∴∠OAB＝45°.11．设A(a,1)、B(2，b)、C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若eq\o(OA,\s\up8(→))与eq\o(OB,\s\up8(→))在eq\o(OC,\s\up8(→))方向上的投影数量相同，则a与b满意的关系式为()A．4a－5b＝3 B．5a－4C．4a＋5b＝14 D．5a＋4A[依定义知，eq\f(\o(OA,\s\up8(→))·\o(OC,\s\up8(→)),|\o(OC,\s\up8(→))|)＝eq\f(\o(OB,\s\up8(→))·\o(OC,\s\up8(→)),|\o(OC,\s\up8(→))|)，∴eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))·eq\o(OC,\s\up8(→))＝0，∴eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(OC,\s\up8(→))＝0，∴4(a－2)＋5(1－b)＝0，即4a－5b12．平面对量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于()A．eq\r(3) B．2eq\r(3)C．4 D．12B[a＝(2,0)，|b|＝1，∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos60°＝1.∴|a＋2b|＝eq\r(a2＋4a·b＋4b2)＝2eq\r(3).]13．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形态是()A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形A[∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1,1)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－3,3)，∴eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝1×(－3)＋1×3＝0，∴eq\o(AB,\s\up8(→))⊥eq\o(AC,\s\up8(→))，∴∠BAC＝90°.即△ABC为直角三角形．]14．在平面直角坐标系xOy中，已知eq\o(OA,\s\up8(→))＝(－1，t)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．5[∵∠ABO＝90°，∴eq\o(AB,\s\up8(→))⊥eq\o(OB,\s\up8(→))，∴eq\o(OB,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝0.又eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝(2,2)－(－1，t)＝(3,2－t)，∴(2,2)·(3,2－t)＝6＋2(2－t)＝0.∴t＝5.]15．已知平面对量a＝(eq\r(3)，－1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).(1)证明：a⊥b；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t)．[解](1)证明：∵a·b＝eq\r(3)×eq\f(1,2)－1×eq\f(\r(3),2)＝0，