2024-2025学年新教材高中数学第六章计数原理6.3.2二项式系数的性质教师用书教案新人教A版选择性必修第三册

PAGE6.3.2二项式系数的性质新版课程标准学业水平要求通过杨辉三角,了解中华优秀传统文化中的数学成就,进一步理解二项式定理.★水平一1.了解杨辉三角,并探究其中的规律.(数学抽象)2.驾驭二项式系数的性质及其应用,驾驭“赋值法”并会敏捷运用.(逻辑推理、数学运算)★水平二通过杨辉三角,了解中华优秀传统文化中的数学成就,初步体会“数学的美”(数学抽象)必备学问·素养奠基1.对称性(1)与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即QUOTE=QUOTE.(2)直线r=QUOTE将函数f(r)=QUOTE的图象分成对称的两部分,是图象的对称轴;2.增减性与最大值(1)当QUOTE>1,即k<QUOTE时,QUOTE随k的增加而增大;当k>QUOTE时,QUOTE随k的增加而减小.(2)当n是偶数时,中间一项QUOTE取得最大值;当n是奇数时,中间的两项QUOTE与QUOTE相等,且同时取最大值.(1)二项式的系数取得最大值的项的系数肯定是系数中最大的吗?提示:不肯定.假如项的系数中还有其他的常数,则该项的系数不肯定最大.(2)QUOTE,QUOTE,QUOTE之间有什么关系?提示:QUOTE=QUOTE+QUOTE.3.各二项式系数的和2n=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTEQUOTE+QUOTE+QUOTE…=?QUOTE+QUOTE+QUOTE…=?提示:QUOTE+QUOTE+QUOTE…=QUOTE+QUOTE+QUOTE…=2n-1.4.杨辉三角的特点(1)在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.(2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,即QUOTE=QUOTE+QUOTE.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)二项绽开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项).()(2)二项式绽开式的偶数项系数和等于奇数项系数和.()(3)二项绽开式项的系数是先增后减的.()(4)杨辉三角中每行两端的数都是1.()提示:(1)×.二项绽开式中项的系数与二项式系数是不同的,二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项),但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关.(2)×.在二项式(a+b)n中只有当a,b的系数都为1时,绽开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和.(3)×.二项式系数是随n的增加先增后减的,二项式项的系数和a,b的系数有关.(4)√.依据杨辉三角的特点可知.2.QUOTE的绽开式中第8项是常数,则绽开式中系数最大的项是()A.第8项 B.第9项C.第8项和第9项 D.第11项和第12项【解析】选D.二项式绽开式的通项公式为Tr+1=QUOTE·QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE,令r=7,则QUOTEn-QUOTE=0,解得n=21,通项公式可化简为QUOTE·QUOTE.由于n=21,QUOTE一共有22项,其中最大的项为r=10,11两项,即绽开式的第11项和第12项.3.(2x-1)6绽开式中各项系数的和为________;各项的二项式系数和为________.【解析】令绽开式左、右两边x=1,得各项系数和为1;各二项式系数之和为26=64.答案:1644.(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8=________.

【解析】由题意可知a8是x8的系数,所以a8=QUOTE·22=180.答案:180关键实力·素养形成类型一二项式系数性质的应用【典例】1.(2024·重庆高二检测)(mx+QUOTE)n(n∈N+)的绽开式中,各二项式系数之和为32,各项系数之和为243,则绽开式中x3的系数为()A.40 B.30 C.20 D.102.已知在QUOTE的绽开式中,第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.(1)求绽开式中的全部有理项.(2)求绽开式中系数肯定值最大的项.(3)求n+9QUOTE+81QUOTE+…+9n-1QUOTE的值.【思维·引】1.由题意利用二项式系数的性质求出n的值,从而求出m的值,再利用二项绽开式的通项公式,求出绽开式中x3的系数.2.依据二项式定理的通项找出第5项与第3项的系数,由其比值求出n的值.(1)借助二项式定理的通项找出有理项;(2)写出绽开式系数的通项,利用系数肯定值最大的项,其系数的肯定值不小于前后两项的系数的肯定值,即可得出关于项数的不等式组,结合项数为正整数这一前提条件即可求出系数肯定值最大的项;(3)将所求式子改为二项绽开式的形式,依据二项式定理求解.【解析】1.选D.因为(mx+QUOTE)n的绽开式中,各二项式系数之和为2n=32,所以n=5.再令x=1,可得各项系数之和为(m+1)5=243=35,所以m=2,则绽开式中的通项公式为Tk+1=QUOTE·25-kQUOTE,令5-QUOTE=3,可得k=4,故绽开式中x3的系数为QUOTE·2=10.2.(1)由QUOTE(-2)4∶QUOTE(-2)2=56∶3解得n=10,因为通项:Tr+1=QUOTE(QUOTE)10-rQUOTE=(-2)rQUOTE,当5-QUOTE为整数时,r可取0,6绽开式是常数项,于是有理项为T1=x5和T7=13440.(2)设第r+1项系数肯定值最大,则QUOTE解得QUOTE又因为r∈{1,2,3,…,9},所以r=7,当r=7时,T8=-15360QUOTE,又因为当r=0时,T1=x5,当r=10时,T11=(-2)10QUOTE=1024QUOTE,所以系数肯定值最大的项为T8=-15360QUOTE.(3)原式=10+9QUOTE+81QUOTE+…+910-1QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.【类题·通】二项式定理应用的常见类型及相关解题策略(1)求特别项及系数,此类问题的求解关键在于求出指定项是第几项;(2)近似计算问题,解决此类问题要留意题目结果精确到什么或保留几位有效数字,以便考虑最终一项的取值一般要四舍五入,求数的n次幂的近似值时,把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数的形式;(3)证明有关的不等式问题,有些不等式可应用二项式定理,结合放缩法证明,即把二项绽开式中的某些正项适当删去(缩小),或把某些负项删去(放大),使等式转化为不等式,然后再依据不等式的传递性进行证明;(4)整除与求余问题,此类题目往往考虑用数学归纳法证明,但是步骤较为烦琐,而用二项式定理明显更简洁;(5)利用赋值法求各项系数的和的问题.【习练·破】若等差数列{an}的首项为a1=QUOTE-QUOTE(m∈N*),公差是QUOTE绽开式中的常数项,其中k为7777-15除以19的余数,求通项公式an.【解析】由题意可得QUOTE解得QUOTE≤m≤QUOTE,因为m∈N*,所以m=2,所以a1=QUOTE-QUOTE=100,又因为7777-15=(1+19×4)77-15=QUOTE+QUOTE(19×4)+…+QUOTE(19×4)77-15=(19×4)[QUOTE+QUOTE(19×4)+…+QUOTE(19×4)76]-19+5,所以7777-15除以19的余数为5,即k=5.又Tk′+1=QUOTE=QUOTE(-1)k′,令5k′-15=0,可解得k′=3,所以d=QUOTE(-1)3=-4,所以an=a1+(n-1)d=104-4n.类型二绽开式中项的应用角度1求绽开式的系数和【典例】1.若QUOTE=a0+a1x+…+a9x9,x∈R,则a1·2+a2·22+…+a9·29的值为()A.29 B.29-1 C.39 D.39-12.设QUOTE=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a2=________,(a0+a2+a4+…+a10)2-QUOTE的值为________.

【思维·引】1.先令x=0求出a0,再令x=2求出a0+2a1+22a2+…+22.结合二项式系数公式计算a2,令x=1或-1,代入,计算结果即可.【解析】1.选D.令x=0,则a0=1,令x=2,则a0+2a1+22a2+…+29a9=39,所以2a1+22a22.利用二项式系数公式,T3=QUOTEx2=720x2,故a2=720,利用赋值法,令x=±1有a0+a1+…+a10=QUOTE,a0-a1+a2-…+a10=QUOTE,故(a0+a2+a4+…+a10)2-QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE=1.答案:7201角度2绽开式中的最大项问题【典例】1.(2024·随州高二检测)在QUOTE的绽开式中,只有第5项的二项式系数最大,则绽开式中系数最小的项的系数为()A.-126 B.-70 2.已知(1+3x)n的绽开式中,末三项的二项式系数的和等于121,求:(1)绽开式中二项式系数最大的项.(2)绽开式中系数最大的项.(结果可以以组合数形式表示)【思维·引】1.中间有一项是第5项得n=8,奇数项的系数与二项式系数相同,偶数项的系数是二项式系数的相反数.2.(1)先依据末三项的二项式系数的和等于121,求n,再依据二项式系数性质求最大项.(2)依据二项式绽开式通项公式得项系数,再依据相邻项关系列不等式组,解得系数最大的项的项数,最终依据二项式绽开式通项公式得项.【解析】1.选C.由题意可得:n=8.所以二项绽开式的通项公式Tk+1=QUOTEx8-kQUOTE=QUOTE(-1)kQUOTE,要使该项系数QUOTE(-1)k最小,k为奇数,取1,3,5,7,经过检验,当k=3或5时,系数QUOTE(-1)k最小,即第4项系数等于第6项系数,且最小,所以绽开式中系数最小的项的系数为-56.2.(1)由已知得QUOTE+QUOTE+QUOTE=121,则QUOTEn(n-1)+n+1=121,即n2+n-240=0,解得n=15,或n=-16(舍去),所以,绽开式中二项式系数最大的项是T8=QUOTE(3x)7和T9=QUOTE(3x)8.(2)Tr+1=QUOTE(3x)r,设QUOTE≤1,则QUOTE≤1,即QUOTE≤1,解得r≤12,同理,由QUOTE≥1,解得r≥11,所以绽开式中系数最大的项对应的r=11,12,即绽开式中系数最大的项是T12=QUOTE(3x)11和T13=QUOTE(3x)12.【类题·通】(1)求二项式系数最大的项,要依据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行探讨.(2)求绽开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的.求绽开式系数最大的项,如求(a+bx)n(a,b∈R)绽开式中系数最大的项,一般是采纳待定系数法.设绽开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第r+1项系数最大,应用QUOTE解出r来,即得系数最大的项.【发散·拓】1.对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其绽开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其绽开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.2.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)绽开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=QUOTE,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=QUOTE.【延长·练】1.若(1-2x)2019=a0+a1x+a2x2+…+a2018x2018+a2019x2019,则(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2019)=________.(用数字作答)

【解析】由题意,可知(1-2x)2019=a0+a1x+a2x2+…+a2018x2018+a2019x2019,令x=0,可得a0=1,令x=1,可得a0+a1+a2+a3+…+a2019=-1,所以(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2019)=2018a0+(a0+a1+a2+a3+…+a2019)=2018×1-1=2017.答案:20172.在二项式(2x-3y)9的绽开式中,求:(1)二项式系数之和.(2)各项系数之和.(3)全部奇数项系数之和.【解析】设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.(1)二项式系数之和为QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=29.(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,令x=1,y=1,所以a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.(3)令x=1,y=-1,可得a0-a1+a2-…-a9=59,又a0+a1+a2+…+a9=-1,将两式相加可得a0+a2+a4+a6+a8=QUOTE,即全部奇数项系数之和为QUOTE.【习练·破】1.已知Sn是数列{an}的前n项和,若(1-2x)2021=b0+b1x+b2x2+…+b2021x2021,数列{an}的首项a1=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,an+1=Sn·Sn+1,则S2021=()A.-QUOTE B.QUOTEC.2021 D.-2021【解析】选A.令x=QUOTE,得(1-2×QUOTE)2021=b0+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=0.又因为b0=1,所以a1=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=-1.由an+1=SnSn+1=Sn+1-Sn,得QUOTE=QUOTE-QUOTE=1,所以QUOTE-QUOTE=-1,所以数列QUOTE是首项为QUOTE=-1,公差为-1的等差数列,所以QUOTE=-1+(n-1)·(-1)=-n,所以Sn=-QUOTE,所以S2021=-QUOTE.2.若QUOTE绽开式中前三项的系数之和为15,(1)绽开式中是否有常数项,说明理由.(2)求绽开式中系数最大的项.【解析】(1)Tr+1=(-1)rQUOTE,所以由已知得:1-QUOTE+QUOTE=15,解得n=7,所以Tr+1=(-1)rQUOTE(r=0,1,2…7),因为7-QUOTE=0无整数解,所以绽开式中无常数项.(2)由Tr+1=(-1)rQUOTE知绽开式中各项系数的肯定值就为二项式系数,所以绽开式中的第5项为系数最大的项,即T5=35x.【加练·固】1.已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10,若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈Z)是一个单调递增数列,则k的最大值是________.

【解析】(x+1)n绽开式的各项系数为其二项式系数,当n=10时,绽开式的中间项第六项的二项式系数最大,故k的最大值为6.答案:62.已知f(x)=QUOTE绽开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求绽开式中二项式系数最大的项.(2)求绽开式中系数最大的项.【解析】(1)令x=1,则二项式各项系数的和为f(1)=(1+3)n=4n,又绽开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知,4n-2n=992.所以(2n)2-2n-992=0,所以(2n+31)(2n-32)=0,所以2n=-31(舍),或2n=32,所以n=5.由于n=5为奇数,所以绽开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是T3=QUOTE(QUOTE)3(3x2)2=90x6,T4=QUOTE(QUOTE)2(3x2)3=270QUOTE.(2)绽开式的通项公式为Tr+1=QUOTE3r·QUOTE.假设Tr+1项系数最大,则有QUOTE所以QUOTE所以QUOTE所以QUOTE≤r≤QUOTE,因为r∈N,所以r=4.所以绽开式中系数最大的项为T5=QUOTE·34QUOTE=405QUOTE.类型三与杨辉三角有关的问题【典例】1.如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.

2.如图所示,在“杨辉三角”中,从1起先箭头所指的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,记其前n项和为Sn,求S16的值.【思维·引】1.先表示出第n行的第14与第15个数,依据其比值得出关于n的方程,进而求出n的值.2.先表示出Sn,结合组合数性质求解.【解析】1.设第n行从左至右第14与第15个数之比为2∶3,则QUOTE∶QUOTE=2∶3.所以3QUOTE=2QUOTE,即QUOTE=QUOTE,得QUOTE=QUOTE,所以n=34.答案:342.由题意及杨辉三角的特点可得S16=(1+2)+(3+3)+(6+4)+(10+5)+…+(36+9)=(QUOTE+QUOTE)+(QUOTE+QUOTE)+(QUOTE+QUOTE)+…+(QUOTE+QUOTE)=(QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE)+(2+3+…+9)=QUOTE+QUOTE=164.【类题·通】解决与杨辉三角有关的问题的一般思路【习练·破】1.如图所示,满意①第n行首尾两数均为n;②表中的递推关系类似杨辉三角,则第n行(n≥2)的第2个数是________.

1223434774511141156162525166【解析】由题图中数字规律可知,第n行的第2个数是QUOTE+1=QUOTE+1.答案:QUOTE2.在杨辉三角中,除1以外每一数值是它左上角和右上角两个数值之和,三角形开头几行如下:第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051…………利用杨辉三角绽开(1-x)6.【解析】由杨辉三角知,第6行二项式系数为:1,6,15,20,15,6,1.所以(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6.令其中a=1,b=-x,得(1-x)6=1-6x+15x2-20x3+15x