河南省部分学校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题（解析版）

第1页/共1页2024-2025年度河南省高三期中考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合、函数、导数、三角函数、向量、复数、数列.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据交集和补集的知识求得正确答案.【详解】.故选：B2.已知为实数，则实数等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将化成，再根据复数为实数的条件求解即可【详解】因为为实数，则，∴故选：B.3.命题“若，则”的否定是（）A.若，则B.若，则C.存在一个实数，满足，但D.对任意实数，满足，但【答案】C【解析】【分析】求出给定命题的否定即可得解.【详解】命题“若，则”的否定是存在一个实数，满足，但.故选：C4.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：汽车启动加速过程，随时间增加路程增加的越来越快，汉使图像是凹形，然后匀速运动，路程是均匀增加即函数图像是直线，最后减速并停止，其路程仍在增加，只是增加的越来越慢即函数图像是凸形．故选A．考点：函数图像的特征．5.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒转动的角速度为，如图所示，盛水桶M（视为质点）的初始位置距水面的距离为3m，则3s后盛水桶M到水面的距离近似为（）（，）．A.4.5m B.4.0m C.3.5m D.3.0m【答案】B【解析】【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，构造三角函数模型，求得三角函数解析式，进而求解问题即可.【详解】根据题意，建立如下所示平面直角坐标系：根据题意，盛水桶M到水面的距离与时间满足：；因为筒转动的角速度为，故；又；，解得，则；又当时，，则，，则；故当时，.故选：B.6.数列的通项公式为，则当该数列的前项和取得最小值时，的值为（）A.5 B.7 C.7或8 D.6或7【答案】D【解析】【分析】根据给定的通项公式，判断其单调性及值的正负即可得解.【详解】由，得当时，数列递减，当时，数列递增，由，得，因此，当时，，所以当该数列前项和取得最小值时，的值为6或7.故选：D7.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性，借助基本不等式比较大小.【详解】依题意，，，因此，所以.故选：C8.若直线通过点，则下列结论错误的是（）A.当且时，存在唯一的值，使得B.当且时，存在两个值，使得C.当且时，无最大值D.当时，存在无数个值，使得【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，可得点的轨迹，再结合直线与圆或圆弧的位置关系逐项分析判断.【详解】当时，点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，对于A，当时，直线，点到直线的距离，直线与圆相切，因此值存在且唯一，A正确；对于B，当时，直线，点到直线的距离，直线与圆相交，因此值有两个，B正确；对于C，当且时，，函数在上单调递增，函数在上单调递减，则函数在上单调递增，当且仅当时，函数取最大值，因此有最大值，C错误；对于D，由选项C知，当，时，，使得的所有角均有，即；当，时，，令，取点，直线的斜率，而每个点，存在唯一点，因此存在无数个值，使得，D正确.故选：C【点睛】关键点点睛：解析本题的关键是确定出点的轨迹，利用直线与圆的位置关系求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于，的方程，下列说法正确的是（）A.若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上B.若，则该方程表示圆，其半径为C.若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上D.若，，则该方程表示两条直线【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，结合椭圆方程及圆的方程特征，逐项分析判断.【详解】对于A，当时，，，方程表示椭圆，其焦点轴上，A正确；对于B，当时，方程表示圆，其半径为，B错误；对于C，当时，，，方程表示椭圆，其焦点在轴上，C正确；对于D，，，方程表示两条直线，D正确.故选：ACD10.记实数，，，中的最大数为，最小数为.已知函数，，其中，，分别为内角，，的对边，且，则下列说法正确的是（）A.当时，的最小值为B.若的图象关于直线对称，则C.“”是“为等边三角形”的充要条件D.“”是“为等边三角形”的必要不充分条件【答案】BD【解析】【分析】化函数为分段函数，求出最小值判断A；求出对称轴判断B；利用充分条件、必要条件的定义判断CD【详解】对于A，当时，，当或时，取最小值0，A错误；对于B，当时，图象的对称轴为，不符合题意；当时，图象对称轴，不符合题意；当时，图象对称轴，由，得，B正确；对于CD，为等边三角形，则，；取，，此时，而是不是等边三角形，所以“”是“为等边三角形”的必要不充分条件，C错误，D正确.故选：BD11.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.函数的图象与函数的图象只有一条公切线B.函数的图象上任一点关于直线的对称点都在函数的图象上C.当时，恒成立D.函数的图象与函数的图象和直线分别交于，两点，则的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】对于A，先设直线与两曲线相切于，两点，结合导数的几何意义可得，进而构造函数，结合导数分析方程的根的情况，进而判断；对于B，结合反函数的性质即可判断；对于C，转化问题为判断，构造函数，进而利用导数分析判断即可；对于D，设，，可得，设，进而利用导数求解判断即可.【详解】对于A，设直线与函数的图象相切于点，与的图象相切于点，，因为，，所以，，则，消去得，，令，则，设，则，令，得；令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，，且时，，所以存在，使得，所以当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，所以方程有两个不相等的实数根，则函数的图象与函数的图象有两条公切线，故A错误；对于B，函数与函数互为反函数，图象关于直线对称，所以函数的图象上任一点关于直线的对称点都在函数的图象上，故B正确；对于C，由，得，由于，则，设，，则，因为函数和在上单调递增，所以函数在上单调递增，又，，所以存在，使得，即，所以当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，所以，所以当时，恒成立，故C正确；对于D，由，，设，，其中，且，所以，设，则，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即的最小值为，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题A选项关键在于结合导数的几何意义可得，进而构造函数，结合导数分析方程的根的情况，进而判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，，则____________.【答案】【解析】【分析】首先需要求出向量和的坐标，然后根据向量夹角余弦值公式来计算.【详解】已知，，则.已知，，则..，..故答案为：.13.过双曲线的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、若，则双曲线的离心率是______．【答案】【解析】【分析】求出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出和，进而根据求得a和b的关系，根据c2﹣a2=b2，求得a和c的关系，则离心率可得．【详解】直线l：y=﹣x+a与渐近线l1：bx﹣ay=0交于B（，），l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（，），∵A（a，0），∴=（﹣，），=（，﹣），∵，∴﹣=，∴b=2a，∴c2﹣a2=4a2，∴e2==5，∴e=，故答案为．【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．14.某工厂去年12月试产1050个某款电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的若干年中将正式生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加，那么从正式生产这款产品算起，在第__________个月，月不合格品的数量达到最大.【答案】5或6【解析】【分析】设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，bn，则各月不合格品的数量构成数列．由题意可知，数列是等比数列，bn是等差数列．由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法．【详解】设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，bn．由题意，知，，其中，2，…，24，则从今年1月起，各月不合格产品的数量是．由通项公式列表，n1234567105.0105.8106.5107.0107.2107.2106.9n891011121314106.4105.5104.2102.6100.698.195.0观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，由，得．所以，当时，单调递减．所以在第5或6个月，月不合格品的数量达到最大，故答案为：5或6四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设的内角，，所对的边分别为，，，且.（1）求的值；（2）若，当取得最大值时，求的面积.【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦化简求解.（2）由（1）的结论，利用差角的正切，结合基本不等式求出得，进而求出三角形面积.【小问1详解】在中，由及正弦定理，得，因此，所以.【小问2详解】由（1）知，，则，当且仅当时取等号，因此当，，即时，取得最大值，此时，由，得，所以的面积.16.已知向量，.若存在不同时为零的实数和，使得，，且.（1）求的解析式；（2）求（1）中的在上的极值.【答案】（1）；（2）当，没有极大值，也没有极小值；当，有极小值为，没有极大值.【解析】【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示可得答案；（2）利用导数判断出的单调性，分、讨论，结合单调性可得答案.【小问1详解】因为，，所以，又因为，所以，所以，所以；小问2详解】由（1）得，当或时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，由题可得，当时，在上单调递减，所以没有极大值，也没有极小值；当，在上单调递减，在上单调递增，所以在时有极小值，为，没有极大值.综上所述，当，没有极大值，也没有极小值；当，有极小值为，没有极大值.17.已知数列是等差数列，，.（1）若，求的通项公式；（2）若，证明：中的任意不同的三项均不能成等比数列.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求得等差数列的首项和公差，从而求得.（2）先求得，然后利用反证法，先假设存，然后推出矛盾，从而证得结论成立.【小问1详解】设等差数列的公差为，，，依题意，解得，所以.【小问2详解】设等差数列的公差为，，，则，解得，所以，假设存在，且两两不相等，使得，所以，，，由于两两不相等，上式两边不同时为，且是整数，是无理数，两边不相等，所以假设不成立，所以中的任意不同的三项均不能成等比数列.18.已知函数，.（1）求的单调区间与极值.（2）当且时，证明：.（3）设函数，若和的图象有两个交点，求实数的取值范围.【答案】（1）递减区间，递增区间，极小值为；无极大值（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）求函数单调区间与极值，需要用到导数知识，导数大于零的区间为单调增区间，导数小于零的区间为单调减区间，导数为零的点可能为极值点；（2）可构造函数，通过研究其单调性来证明不等式；（3）函数图象有两个交点，可转化为方程有两个解，通过参变分离，研究函数的单调性和极值等情况来确定参数的取值范围.【小问1详解】首先对求导，得，令，即，解方程，得，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，那么在处取得极小值，故函数的单调减区间为，单调增区间为，函数极小值为，无极大值；【小问2详解】设，对求导得,由（1）知在单调递增，因为，且，所以,又因为，所以，即,所以在上单调递增，，即；【小问3详解】因为，和的图象有两个交点，所以方程有两个解，整理得，当时，，显然无解.当，参变分离，即.设，导数.令，即，因为，，所以，解得或.当时，，，函数单调递增.当时，，，函数单调递减.当时，，，函数单调递减.当时，