5.8 正多边形和圆 同步练习

第五章圆8正多边形和圆基础过关全练知识点1正多边形的画法1.尺规作图具有特殊的魅力.传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣(如图所示):①将半径为r的☉O六等分,依次得到A,B,C,D,E,F六个分点;②分别以点A,D为圆心,AC的长为半径画弧,G是两弧的一个交点;③连接OG.问:OG的长是多少?大臣给出的正确答案应是()A.3r B.1+22r C.1+322.(2023甘肃武威中考)1672年,丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出:只用圆规可以完成一切尺规作图.1797年,意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论,并写在他的著作《圆规的几何学》中.请你利用数学家们发现的结论,完成下面的作图题:如图,已知☉O,A是☉O上一点,只用圆规将☉O的圆周四等分.(按如下步骤完成,保留作图痕迹)①以点A为圆心,OA长为半径,自点A起,在☉O上逆时针方向顺次截取AB=BC=CD;②分别以点A,点D为圆心,AC长为半径作弧,两弧交于☉O上方点E;③以点A为圆心,OE长为半径作弧交☉O于G,H两点.则点A,G,D,H将☉O的圆周四等分.3.如图,已知等边△ABC,请用直尺(不带刻度)和圆规,按下列要求作图(不要求写作法,但要保留作图痕迹):(1)作△ABC的外心O;(2)设D是AB边上一点,在图中作出一个正六边形DEFGHI,使点F,点H分别在边BC和AC上.备用图知识点2正多边形的有关概念、性质及计算4.一个正多边形绕它的中心旋转40°后与原正多边形第一次重合,则这个正多边形()A.是轴对称图形,但不是中心对称图形 B.是中心对称图形,但不是轴对称图形C.既是轴对称图形,又是中心对称图形 D.既不是轴对称图形,又不是中心对称图形5.(2023安徽中考)如图,正五边形ABCDE内接于☉O,连接OC,OD,则∠BAE-∠COD=()A.60° B.54° C.48° D.36°6.(2023山东东营文华学校期末)如图,一个亭子的地基是半径为4m的正六边形,则该正六边形地基的面积是()A.24m2 B.243m2 C.48m2 D.483m2第6题图第7题图7.如图,☉O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆,则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为()A.22∶3 B.2∶1 C.2∶3 D.1∶38.(2023上海中考)如果一个正多边形的中心角是20°,那么这个正多边形的边数为.9.如图,△ABC内接于☉O,∠ABC=125°,∠BOC=80°,AB是圆内接正n边形的一边,则n等于.第9题图第10题图10.(2021内蒙古赤峰中考)如图,在拧开一个边长为a的正六边形螺帽时,扳手张开的开口b=20mm,则边长a=mm.11.(2021河北中考)如图,☉O的半径为6,将该圆周12等分后得到表盘模型,其中整钟点为An(n为1~12的整数),过点A7作☉O的切线交A1A11的延长线于点P.(1)连接A7A11,则A7A11和PA1有什么特殊位置关系?请简要说明理由;(2)求PA7的长.能力提升全练12.(2023福建中考)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算,指出“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416.如图,☉O的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形面积近似估计☉O的面积,可得π的估计值为33A.3 B.22 C.3 D.2313.(2020四川凉山州中考)如图,等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于☉O,则AD∶AB=()A.22∶3 B.2∶3 C.3∶2 D.3∶2214.(2021山东潍坊奎文期末)如图,☉O是正八边形ABCDEFGH的外接圆,则下列四个结论中正确的是.①DF的度数为45°; ②AE=2DF;③△ODE为等边三角形; ④S正八边形ABCDEFGH=AE·DF.15.(2022浙江金华中考)如图1,正五边形ABCDE内接于☉O,阅读以下作图过程,并回答下列问题:作法:如图2.1.作直径AF.2.以F为圆心,FO为半径作圆弧,与☉O交于点M,N.3.连接AM,MN,NA.(1)求∠ABC的度数;(2)△AMN是正三角形吗?请说明理由;(3)从点A开始,以DN长为半径,在☉O上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n边形,求n的值.图1 图2素养探究全练16.(2023河北中考)将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上,其俯视图如图1,正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上.两侧螺母不动,把中间螺母抽出并重新摆放后,其俯视图如图2,其中,中间正六边形的一边与直线l平行,有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.(1)∠α=度;

(2)图2中,中间正六边形的中心到直线l的距离为(结果保留根号).

图1 图2

第五章圆8正多边形和圆答案全解全析基础过关全练1.D如图,连接CD,AC,DG,AG.∵AD是☉O的直径,∴∠ACD=90°.在Rt△ACD中,AD=2r,∠DAC=30°,∴AC=3r.由题意得直线OG为线段AD的垂直平分线,且DG=AG=AC=3r,OD=OA=r,∴OG⊥AD.∴∠GOA=90°.∴OG=AG2-OA22.解析如图,点A,G,D,H将☉O的圆周四等分.3.解析(1)如图所示,点O即为所求.(2)分别在△ABC的三边上截取BF=CH=AD,得等边△DFH;再作△DFH三边的垂直平分线,确定△DFH的外心O;最后作△DFH的外接圆,与△DFH三边的垂直平分线分别交于点E、G、I,顺次连接D、E、F、G、H、I、D.如图所示,六边形DEFGHI即为所求作的正六边形.(作图方法不唯一)4.A∵360°40°5.D∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠BAE=(5-2)×180°5=108°,∠COD=360°∴∠BAE-∠COD=108°-72°=36°,故选D.6.B下图是正六边形地基的草图,点O是中心,连接OB,OC,过O作OM⊥BC于M,则OB=OC=4m.∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠BOC=360°6∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形.∴∠BCO=60°,BC=CO=BO=4m,∴OM=OC·sin∠BCO=4×sin60°=23(m).∴S△OBC=12BC·OM=12×4×23=43(m∴S正六边形ABCDEF=6S△OBC=243m2.故选B.7.A设☉O的半径为r,则正方形ABCD的边长为2r,正六边形AEFCGH的边长为r,所以正方形ABCD的周长与正六边形AEFCGH的周长之比为42r∶6r=22∶3.故选A.8.答案18解析360°÷20°=18,故这个正多边形的边数为18.9.答案12解析如图,连接AO.∵∠BAC=12∠BOC,∠BOC=80°,∴∠BAC=1∵∠ABC=125°,∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=15°.∴∠AOB=30°.∵AB是圆内接正n边形的一边,∴n=360°30°10.答案20解析如图,设点O为正六边形ABCDEF的中心,连接OC,OD,过O作OH⊥CD于H.则∠COD=360°6∵OC=OD,∴∠COH=12∠COD=30°,CH=DH=12CD,∵OH=12∴CH=10×tan30°=103∴a=2CH=20311.解析(1)PA1⊥A7A11.理由:如图,连接A1A7,易知A1A7是☉O的直径,∴∠A7A11A1=90°.∴PA1⊥A7A11.(2)∵直线PA7是☉O的切线,∴PA7⊥A1A7.∴∠PA7A1=90°.如图,连接OA11,由题意知∠PA1A7=12∠A7OA11=60°,A1A7=12,∴PA7=A1A7·tan60°=123能力提升全练12.C如图,AB是正十二边形的一条边,点O是正十二边形的中心,OA、OB是正十二边形的半径,设OA=OB=1,过A作AM⊥OB于M.在正十二边形中,∠AOB=360°÷12=30°,∴AM=12OA=12.∴S△AOB=12OB·AM=12×1×∴正十二边形的面积为12×14∴3≈12×π,∴π≈3.∴π的近似值为3,故选C.13.B如图,连接OA,OB,OD,过O作OH⊥AB于H,则AH=BH=12∵正方形ADEF和等边三角形ABC都内接于☉O,∴∠AOB=120°,∠AOD=90°.∵OA=OD=OB,∴△AOD是等腰直角三角形,∠AOH=∠BOH=12∴AD=2OA,AH=OA·sin60°=32∴AB=2AH=2×32OA=3∴ADAB=2OA314.答案②④解析连接OF(图略).∵∠DOE=∠EOF=360°8=45°,∴∠DOF=90°.∴DF∵∠DOF=90°,OD=OF,∴OD=22∴AE=2DF.故②正确.∵∠DOE=45°,∴△ODE不可能为等边三角形,故③错误.∵S四边形ODEF=12DF·OE,∴S正八边形ABCDEFGH=4S四边形ODEF=2DF·OE.∵OE=1∴S正八边形ABCDEFGH=AE·DF,故④正确.15.解析(1)∵五边形ABCDE为正五边形,∴∠ABC=(5-2)×180°5(2)△AMN是正三角形.理由如下:如图,连接ON,FN,由作图知FN=FO.∵ON=OF,∴ON=OF=FN,∴△OFN是正三角形,∴∠OFN=60°,∴∠AMN=∠OFN=60°.同理可得,∠ANM=60°,∴∠MAN=60°,∴△AMN是正三角形.(3)∵AN的度数=2∠AMN=120°,AD的度数=2AE的度数=2×360°5∴DN的度数=AD的度数-AN的度数=144°-120°=24°,∴n=360°24°素养探究全练16.答案(1)30(2)23解析(1)如图所示,∵多边形是正六边形,∴∠ACB=360°6∵BC∥直线l,∴∠ABC=90°.∴∠α=9