寒假作业01 一元二次方程与实际运用（20道经典题型+4道中考真题）

完成时间：月日天气：寒假作业01一元二次方程与实际运用积累运用1.一元二次方程的概念：只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为(a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是(a、b、c为常数），其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.3.一元二次方程的根：能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解（根）.4.一元二次方程的解法：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法.因式分解的主要方法：提取公因式法、乘法公式、十字相乘法.5.一元二次方程根的判别式(=b2－4ac)：=1\*GB3①当时，方程有两个不相等的实数根；=2\*GB3②当时，方程有两个相等的实数根；=3\*GB3③当时，方程没有实数根.6.一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）设是一元二次方程ax2＋bx+c=0(a≠0)的两根，则，.注意：对于而言，当满足且时，才能用韦达定理.7.列一元二次方程解应用题的一般步骤=1\*GB3①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；=2\*GB3②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x；=3\*GB3③依据等量关系式和未知数x建立方程；=4\*GB3④解方程并解答.注：一元二次方程通常有两解，但是，应检验方程的两个根是否都符合实际情况.8.一元二次方程应用题常见类型：=1\*GB3①面积问题；=2\*GB3②平均变化率问题；=3\*GB3③销售利润问题；④传播问题；⑤循环问题；⑥数字问题.基础过关练1．下列关于的方程：①；②；③；④；⑤，其中一元二次方程的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．52.已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则代数式1+6m﹣2m2的值为（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣33．下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1 C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝04．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是（）A． B． C．3 D．5．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在用长为的材料砌墙，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为，则的长度为（）A．15m B．10m C．10m或15m D．12.5m6．我国古代数学专著《增减算法统宗》中记载“圆中方形”问题，其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外，圆内可耕地的面积恰好为72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的边长，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出方程正确的是（

）A． B． C． D．7．新型冠状病毒(COVID-19)是一种传染性极高的病毒，它可以通过飞沫、接触，甚至是有病毒株的污染源传播．在M市人群密集区因缺乏必要的预防措施，某新冠肺炎零号病人一天能传染人，如果统计得到两天内共有225人因此患病，求平均每天一人传染了人．列出方程为（）A． B． C． D．8．已知是方程的两个实数根，则代数式______．9．解下列一元二次方程：（1）； （2）；（3）； （4）.10.已知关于x的一元二次方程x2-5x+m=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足3x1-2x2=5，求实数m的值．11．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？设共有x家公司参加商品交易会．（1）用含x的代数式表示：每家公司与其他____________家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了______份合同；（2）列出方程并完成本题解答．能力提升练12．设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为A． B． C． D．13．已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根.（1）直接写出m的取值范围；（2）若，满足，求m的值；（3）若，求证：.14．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根；（2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．15．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2•x•4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．根据以上材料，解答下列问题：（1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系，∵x2﹣2x+3＝（x﹣______）2+______，∴x2﹣2x+3______0（填“＞”、“＜”、“＝”）；（2）将多项式x2+6x﹣9变形为（x+m）2+n的形式，并求出多项式的最小值；（3）求证：x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．16．某超市经营一款新电动玩具，其进货单价是15元．在1个月的试销阶段，售价是20元，销售量是200件．根据市场调查，销售单价若每再涨1元，1个月就会少售出5件．（1）若超市在1个月获得了2250元销售利润，求这款玩具的销售单价定为多少元时，顾客更容易接受？（2）若玩具生产厂家规定销售单价不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的销售任务，设销售单价为y（y为正整数）元，求该超市销售这款玩具有哪几种方案？哪一种方案利润最高？拓展培优练17．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长．若设门的对角线长为尺，则可列方程为()A． B．C． D．18．定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，（x﹣3）（x﹣6）＝0的实数根是3或6，x2﹣3x+2＝0的实数根是1或2，3：6＝1：2，则一元二次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0与x2﹣3x+2＝0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是（）A．x2﹣16＝0与x2＝25 B．（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0 C．x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0 D．（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝019．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如，将化成分数，设，则有，，解得，类比上述方法及思想，则____________．20．关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计，我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．（1）求黄金分割数；（2）已知实数a，b满足：，且，求ab的值；（3）已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值．中考真题练21．（2023年浙江湖州中考真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（

）A． B． C． D．22．（2023年山东济南中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是____________（写出一个即可）．23．（2023年湖北黄冈中考真题）如图是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，若与的面积相等，则____________．24．（2023年四川南充中考真题）已知关于x的一元二次方程.（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；（2）若是方程的两个实数根，且，求m的值．

寒假作业01一元二次方程与实际运用参考答案基础过关练1．下列关于的方程：①；②；③；④；⑤，其中一元二次方程的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】①当a＝0时，ax2＋bx＋c＝0不是一元二次方程；②是分式方程，不是一元二次方程；③x2＝0是一元二次方程；④x＝3x2是一元二次方程；⑤（x＋1）（x−1）＝x2＋4x，整理后不含x的二次项，不是一元二次方程．故选A．2.已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则代数式1+6m﹣2m2的值为（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3【答案】D【解析】∵m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，∴m2﹣3m﹣2＝0，∴m2﹣3m＝2，∴1+6m﹣2m2＝1﹣2（m2﹣3m）＝1﹣2×2＝1﹣4＝﹣3，故选D．3．下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0【答案】C【解析】A、∵＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，∴一元二次方程x2﹣2x+2＝0没有实数根；B、方程变形为x2﹣2x+1＝0，∵＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴一元二次方程x（x﹣2）＝﹣1有两个相等的实数根；C、方程变形为x2﹣2x﹣k2﹣1＝0，∵＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝8+4k2＞0，∴一元二次方程（x﹣k）（x+k）＝2x+1有两个不相等的实数根；D、∵＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，∴一元二次方程x2+1＝0没有实数根．故选C．4．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是（）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】关于的一元二次方程的一个根是2，设另一个根是，则，，故选A．5．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在用长为的材料砌墙，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为，则的长度为（）A．15m B．10m C．10m或15m D．12.5m【答案】A【解析】设AB=x米，则BC=（50-2x）米．根据题意可得，x（50-2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10时，BC=50-10-10=30＞25，故x1=10不合题意，舍去，故选A．6．我国古代数学专著《增减算法统宗》中记载“圆中方形”问题，其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外，圆内可耕地的面积恰好为72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的边长，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设正方形的边长是x步，则列出的方程是，故选B．7．新型冠状病毒(COVID-19)是一种传染性极高的病毒，它可以通过飞沫、接触，甚至是有病毒株的污染源传播．在M市人群密集区因缺乏必要的预防措施，某新冠肺炎零号病人一天能传染人，如果统计得到两天内共有225人因此患病，求平均每天一人传染了人．列出方程为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】平均一人传染了x人，则第一天共有（x+1）人患病，第二天共有[x+1+（x+1）x]人患病，由题意得x+1+（x+1）x=225，整理得，故选A．8．已知是方程的两个实数根，则代数式______．【答案】【解析】∵，是方程的两个根，∴，，∴.故答案为.9．解下列一元二次方程：（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1），∴，∴或，解得：.（2），∵a=2，b=-4，c=-7，∴=16-4×2×（-7）=72，∴x=，解得：.（3），∵a=1，b=1，c=-1，∴=1-4×1×（-1）=5，∴x=，解得：.（4），∴，∴或，解得：．10.已知关于x的一元二次方程x2-5x+m=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足3x1-2x2=5，求实数m的值．【解析】（1）∵一元二次方程有实数根，∴，∴，解得.（2）∵方程的两实数根分别为x1，x2，∴，∴，∵3x1-2x2=5，∴，解得，∴，∵，∴m=6．11．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？设共有x家公司参加商品交易会．（1）用含x的代数式表示：每家公司与其他_____家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了_____份合同；（2）列出方程并完成本题解答．【解析】（1）每家公司与其他（x﹣1）家公司都签订一份合同，所有公司共签订了x（x﹣1）份合同，故答案为：（x﹣1），x（x﹣1）.（2）根据题意列方程得：x（x﹣1）＝45，解得x1＝10，x2＝﹣9（舍去），所以x＝10．答：共有10家公司参加商品交易会．能力提升练12．设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为A． B． C． D．【答案】D【解析】方程有两个根和，，，设方程的两根分别为，，则，，，，，方程的两根分别为，，，，，，，，，方程的较小根的范围为．故选D．13．已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根.（1）直接写出m的取值范围；（2）若，满足，求m的值；（3）若，求证：.【解析】（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，即.（2）∵，且，，∴，整理得，解得，，由（1）知，∴.检验：当时，，故.（3）把和代入，得，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即．14．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根；（2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．【解析】（1）把x＝1代入x2﹣（k+2）x+2k＝0，得1﹣k﹣2+2k＝0，解得k＝1．设方程的另一个根为t，则t＝2k＝2，k=1，故k的值为1，方程的另一个根为2.（2）∵，∴对于任意实数k，原方程一定有实数根.（3）由x2﹣（k+2）x+2k＝0得（x﹣2）（x﹣k）＝0，此方程的两根分别为，.若，则，此等腰三角形的三边长分别为5，5，2，周长为12．若，等腰三角形的三边长分别为2，2，5，不存在此三角形，所以这个等腰三角形的周长为12．15．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2•x•4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．根据以上材料，解答下列问题：（1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系，∵x2﹣2x+3＝（x﹣_____）2+_____，∴x2﹣2x+3_____0（填“＞”、“＜”、“＝”）；（2）将多项式x2+6x﹣9变形为（x+m）2+n的形式，并求出多项式的最小值；（3）求证：x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．【解析】（1）x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2，∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+2＞0，∴x2﹣2x+3＞0，故答案为：1；2；＞.（2）x2+6x﹣9＝x2+6x+9﹣18＝（x+3）2﹣18，∵（x+3）2≥0，∴当x＝﹣3时，x2+6x﹣9有最小值，最小值为﹣18.（3）x2+y2﹣4x+2y+6＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+1＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴（x﹣2）2+（y+1）2+1＞0，∴x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．16．某超市经营一款新电动玩具，其进货单价是15元．在1个月的试销阶段，售价是20元，销售量是200件．根据市场调查，销售单价若每再涨1元，1个月就会少售出5件．（1）若超市在1个月获得了2250元销售利润，求这款玩具的销售单价定为多少元时，顾客更容易接受？（2）若玩具生产厂家规定销售单价不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的销售任务，设销售单价为y（y为正整数）元，求该超市销售这款玩具有哪几种方案？哪一种方案利润最高？【解析】（1）设销售单价为x元，由题意得，解得，，，∵，∴销售单价定为30元时，顾客更容易接受.（2）由题意得，解得，因为y取正整数，所以y取22或23或24，所以有三种销售方案：方案一：销售价为22元，销售利润为（元），方案二：销售价为23元，销售利润为（元），方案三，销售价为24元，销售利润为（元），∵，∴当销售单价定为24元时，利润最高，为1620元．拓展培优练17．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长．若设门的对角线长为尺，则可列方程为()A． B．C． D．【答案】C【解析】设门的对角线长为尺，则可列方程为：.故选C．18．定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，（x﹣3）（x﹣6）＝0的实数根是3或6，x2﹣3x+2＝0的实数根是1或2，3：6＝1：2，则一元二次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0与x2﹣3x+2＝0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是（）A．x2﹣16＝0与x2＝25 B．（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0 C．x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0 D．（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0【答案】C【解析】A、方程x2﹣16＝0的实数根是±4，x2＝25的实数根是±5，∵4：（﹣4）＝5：（﹣5），∴一元二次方程x2﹣16＝0与x2＝25为相似方程；B、方程（x﹣6）2＝0的实数根是6，x2+4x+4＝0的实数根是﹣2，∵6：6＝﹣2：﹣2，∴一元二次方程（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0为相似方程；C、方程x2﹣7x＝0的实数根是0或7，x2+x﹣6＝0的实数根是﹣3或2，∵0：7≠﹣3：2，∴一元二次方程x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0不是相似方程；D、方程（x+2）（x+8）＝0的实数根是﹣2或﹣8，x2﹣5x+4＝0的实数根是1或4，∵﹣2：﹣8＝1：4，∴一元二次方程（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0为相似方程.故选C．19．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如，将化成分数，设，则有，，解得，类比上述方法及思想，则_____．【答案】4【解析】