专项04 切线的判定VIP

专项04切线的判定类型一有切点，连半径，证垂直1.(2023辽宁铁岭中考)如图，AB是☉O的直径，点C，E在☉O上，∠CAB=2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE=∠ABC.(1)求证：EF与☉O相切；(2)若BF=1，sin∠AFE=45，2.(2022湖南衡阳中考)如图，AB为☉O的直径，过圆上一点D作☉O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交直线CD于点E，连结BE.(1)直线BE与☉O相切吗?并说明理由；(2)若CA=2，CD=4，求DE的长.类型二无切点，作垂直，证半径3.(2022浙江台州椒江一模)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与☉O相切于点D.求证：AC是☉O的切线.4.(2023广西中考)如图，PO平分∠APD，PA与☉O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B.(1)求证：PB是☉O的切线；(2)若☉O的半径为4，OC=5，求PA的长.

专项04切线的判定答案全解全析1.解析(1)证明：如图，连结OE，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠FOE=∠OAE+∠OEA=2∠OAE，∵∠CAB=2∠EAB，∴∠CAB=∠FOE，∵∠AFE=∠ABC，∴∠CAB+∠ABC=∠FOE+∠AFE，∴∠ACB=∠OEF，∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠OEF=90°，即OE⊥EF，∵OE是☉O的半径，∴EF是☉O的切线.(2)设半径为r，即OE=OB=r，则OF=r+1，在Rt△EOF中，sin∠AFE=45=OEOF=rr+1，∴r=4，∴AB=2r=8，在Rt△ABC中，sin∠ABC=ACAB=sin∠AFE=45，∴AC=45×8=322.解析(1)直线BE与☉O相切.理由如下：如图，连结OD，∵CD与☉O相切于点D，∴∠ODE=90°，∵AD∥OE，∴∠ADO=∠DOE，∠DAO=∠EOB，∵OD=OA，∴∠ADO=∠DAO，∴∠DOE=∠EOB，∵OD=OB，OE=OE，∴△DOE≌△BOE，∴∠OBE=∠ODE=90°，即OB⊥BE，∵OB是☉O的半径，∴直线BE与☉O相切.(2)(解法1：构建方程)设☉O的半径为r，在Rt△ODC中，OD2+DC2=OC2，∴r2+42=(r+2)2，∴r=3，∴AB=2r=6，∴BC=AC+AB=2+6=8，由(1)得△DOE≌△BOE，∴DE=BE，在Rt△BCE中，BC2+BE2=CE2，∴82+BE2=(4+DE)2，∴64+DE2=(4+DE)2，∴DE=6.(解法2：平行线分线段成比例定理)设☉O的半径为r，在Rt△ODC中，OD2+DC2=OC2，∴r2+42=(r+2)2，∴r=3，∴OA=3，∵AD∥OE，∴CAAO=CD∴23=4DE3.证明如图，过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，∵AB与☉O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE=OD，即OE是☉O的半径，∵AC经过☉O的半径OE的外端点且垂直于OE，∴AC是☉O的切线.4.解析(1)证明：∵PA与☉O相切于点A，且OA是☉O的半径，∴PA⊥OA，∵PO平分∠APD，OB⊥PD于点B，∴OB=OA，∴点B在☉O上，∵OB是☉O的半径，且PB⊥OB，∴PB是☉O的切线.(2)∵OA=O