专项02 二次函数最值的应用

专项02二次函数最值的应用类型一求高度的最值1.(2023福建漳州康桥学校期末)如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，建立如图所示的平面直角坐标系，球的抛出路线是抛物线L1：y=-12x2+bx的一部分，斜坡可以看作直线L2：y=12x的一部分.若小球经过点(6，6)，(1)求抛物线L1的表达式，并直接写出抛物线L1的对称轴；(2)小球在斜坡上的落点为A，求A点的坐标；(3)在斜坡OA上的B点有一棵树，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树?通过计算说明理由；(4)直接写出小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度.类型二求几何图形面积的最值2.(2023安徽黄山休宁洪里中学期中)如图，已知抛物线过点A(4，0)，B(-2，0)，C(0，-4).(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点M是抛物线AC段上的一个动点，当图中阴影部分的面积最小时，求点M的坐标.3.(2023湖南永州冷水滩期末)为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙(墙长12m)和21m长的篱笆，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外，实线部分为篱笆，且不浪费篱笆)，请根据设计方案回答下列问题：(1)方案一：如图1，利用围墙全部的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽1m(AE=1m)的矩形水池AEFH，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；(2)方案二：如图2，若使围成的两块矩形总种植面积最大，则BC应设计为多长?此时最大面积为多少?4.(2023河南周口模拟)如图，学校准备在长为16米，宽为12米的矩形草地上规划甲、乙、丙三个区域栽种花卉，正方形AEFG和正方形CHMN面积相等，且各有两边与矩形的边重合，矩形MOFP是这两个正方形的重叠部分，设PM为x(2≤x≤4)米，PF为y米.(1)求y关于x的函数表达式；(不用写出自变量的取值范围)(2)设甲、乙、丙的总面积为S(m2)，求S关于x的函数表达式及其最大值.类型三求销售类问题的最值5.(2023湖北仙桃中考)某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表(1≤x≤60，x为整数)：第x天1≤x≤3031≤x≤60日销售价(元/件)0.5x+3550日销售量(件)124-2x设该商品的日销售利润为w元.(1)直接写出w与x的函数关系式；(2)该商品第几天的日销售利润最多?最多日销售利润是多少?6.(2023内蒙古包头中考)随着科技的发展，扫地机器人(图1)已广泛应用于生活中.某公司推出一款新型扫地机器人，统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化.设该产品2022年x(x为整数)月每台的销售价格为y元，y与x的函数关系如图2所示(图中ABC为折线).(1)当1≤x≤10时，求每台的销售价格y与x之间的函数关系式；(2)设该产品2022年第x个月的销售量为m万台，m与x的关系可以用m=110x+1来描述，求哪个月的销售收入最多， 7.(2023湖北十堰中考)“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进某品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒.根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒.设每盒售价为x元，日销售量为p盒.(1)当x=60时，p=；

(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W(元)最大?最大利润是多少?(3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大.”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的取值范围为60≤x≤80.”你认为他们的说法正确吗?若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论.

专项02二次函数最值的应用答案全解全析1.解析(1)把点(6，6)代入L1：y=-12x2+bx得6=-12×62+6b，解得b=4，∴抛物线L1的解析式为y=-12x2+4x，∵y=-12x2+4x=-12(x-4)2(2)联立y=−12x2+4x,y=1(3)小球M能飞过这棵树，理由如下：当x=2时，y=12×2=1，y=-12×22+4×2=6，6-1=5>4(4)根据题意得小球M在飞行的过程中离斜坡OA的距离为-12x2+4x-12x=-12x2+72x=-12x−722+2.解析(1)设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-4)，把C(0，-4)代入得a·2×(-4)=-4，解得a=12，∴抛物线解析式为y=12(x+2)(x-4)，即y=12(2)如图，连结AC，则AC与抛物线所围成的图形的面积为定值，当△ACM的面积最大时，图中阴影部分的面积最小，作MN∥y轴交AC于N，设Mx,12x2-x-4，由A(4，0)，C(0，-4)知线段AC所在直线的解析式为y=x-4，则N(x，x-4)，∴MN=x-4-12x2-x-4=-12x2+2x，∴S△ACM=S△MNC+S△MNA=12×4MN=-x2+4x=-(x-2)23.解析(1)∵(21-12)÷3=3(m)，∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积之和为12×3=36(m2)，设水池的长EF为am，则水池的面积为a×1=a(m2)，∴36-a=32，解得a=4，∴DG=EF=4m，∴CG=CD-DG=12-4=8(m)，故CG的长为8m，DG的长为4m.(2)设BC的长为xm，则CD的长为(21-3x)m，∴总种植面积为(21-3x)·x=-3(x2-7x)=-3x−722+1474，∵-3<0，∴当x=72时，总种植面积最大，最大为1474m2，故BC应设计为74.解析(1)由题可知，AG+MH=16+PM，AE+MN=12+PF，∴16+PM=12+PF，即16+x=12+y，∴y=x+4.(2)∵正方形AEFG和正方形CHMN的面积相等，∴AG=MH，∴2AG=16+x，∴S正方形AEFG=S正方形CHMN=16+x22，又S乙=xy=x(x+4)，∴S=S甲+S乙+S丙=16×12-(S正方形AEFG+S正方形CHMN-2S乙)=16×12-216+x22+2x(x+4)，整理得S=32x2-8x+64=32x−832+64-323，∵32>0，故当x>83时，S随x的增大而增大，当x<83时，S随x的增大而减小，∵4−5.解析(1)当1≤x≤30时，w=(0.5x+35-30)·(-2x+124)=-x2+52x+620.当31≤x≤60时，w=(50-30)(-2x+124)=-40x+2480，∴w与x的函数关系式为w=-(2)当1≤x≤30时，w=-x2+52x+620=-(x-26)2+1296，∵-1<0，∴当x=26时，w有最大值，最大值为1296；当31≤x≤60时，w=-40x+2480，∵-40<0，∴当x=31时，w有最大值，最大值为-40×31+2480=1240，∵1296>1240，∴该商品第26天的日销售利润最多，最多日销售利润是1296元.6.解析(1)当1≤x≤10时，设每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，∵图象过A(1，2850)，B(10，1500)两点，∴k+b=2850,10k+b=1500,解得k=−150,b=3000,∴当1≤x≤10时(2)设销售收入为w万元，①当1≤x≤10时，w=(-150x+3000)110x+1=-15(x-5)2∵-15<0，∴当x=5时，w有最大值，w最大=3375；②当10<x≤12时，w=1500110x+1=150x+1500，∵150>0，∴当x=12时，w有最大值，w∵3375>3300，∴5月的销售收入最多，最多为3375万元.7.解析(1)由题意可得p=500-10(x-50)=-10x+1000，即日销售量p(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式是p=-10x+1000，当x=60时，p=-10×60+1000=400.(2)由题意可得W=(x-40)(-10x+1000)=-10x2+1400x-40000=-10(x-70)2+9000，由题意可知x≥50,p≥350,即x≥50,-10x+1000≥350,解得50≤x≤65，∵-10<0，∴当x=65时，W取得最大值，此时W=-10×(65-70)2+9000=8750，故当每盒售价定为65元时，日销售利润W(元)最大(3)小强：设日销售额为y元，则y=x·p=x(-10x+1000)=-10x2+1000x=-10(x-50)2+25000，∵-10<0，50≤x≤65，∴当x=50时